天津南開中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末檢測模擬試題含解析

天津南開中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若方程恰有三個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若X是離散型隨機變量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．33．在中，內(nèi)角所對應的邊分別為，且，若，則邊的最小值為（）A． B． C． D．4．設a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c5．若，則（）A．8 B．7 C．6 D．56．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．-832 B．-672 C．-512 D．-1927．已知命題R，使得是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增．命題：“R，”的否定是“R，”，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．8．函數(shù)在處的切線斜率為（）A．1 B． C． D．9．函數(shù)的極值點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．10．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖的上半部分均為半圓，下半部分為等腰直角三角形，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．11．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”.那么從長方體八個頂點中任取四個頂點，則這四個頂點組成的幾何體是“鱉臑”的概率為（）A． B． C． D．12．（2017新課標全國I理科）記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為A．1 B．2C．4 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某同學在研究函數(shù)時，給出下列結(jié)論：①對任意成立；②函數(shù)的值域是；③若，則一定有；④函數(shù)在上有三個零點．則正確結(jié)論的序號是_______.14．在平面直角坐標系xOy中，角的頂點為坐標原點，且以Ox為始邊，它的終邊過點，則的值為________．15．如果，且為第四象限角，那么的值是____.16．已知甲盒中僅有一個球且為紅球，乙盒中有3個紅球和4個藍球，從乙盒中隨機抽取個球放在甲盒中，放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)為，則的值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公司訂購了一批樹苗，為了檢測這批樹苗是否合格，從中隨機抽測株樹苗的高度，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中最高的株樹苗的高度的莖葉圖如圖2所示，以這株樹苗的高度的頻率估計整批樹苗高度的概率.（1）求這批樹苗的高度于米的概率，并求圖中的值；（2）若從這批樹苗中隨機選取株，記為高度在的樹苗數(shù)量，求的分布列和數(shù)學期望；（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，如果這批樹苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布，則認為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗是否被簽收？18．（12分）某小組共有10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動1次的有2人、2次的有4人、3次的有4人.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.（I）設為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件發(fā)生的概率；（II）設為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.19．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，極坐標系中，弧所在圓的圓心分別為，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出的極坐標方程；（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點的直角坐標為，若直線與曲線有兩個不同交點，求實數(shù)的取值范圍，并求出的取值范圍.20．（12分）在各項為正的數(shù)列{an}中，數(shù)列的前n項和Sn滿足.(1)求(2)由(1)猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明你的猜想．21．（12分）設函數(shù)=[]．（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】當時，畫出函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，無解，不符合題意，故排除兩個選項.當時，畫圖函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，或，解得不符合題意，故排除選項，選.點睛：本題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查復合函數(shù)的研究方法，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查零點問題題.題目所給的分段函數(shù)當時，圖像是確定的，當時，圖像是含有參數(shù)的，所以要對參數(shù)進行分類討論.在分類討論的過程中，圍繞的解的個數(shù)來進行.2、C【解題分析】

本題考查期望與方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得結(jié)論．【題目詳解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故選C.考點：離散型隨機變量的期望方差.3、D【解題分析】

根據(jù)由正弦定理可得，由余弦定理可得，利用基本不等式求出，求出邊的最小值．【題目詳解】根據(jù)由正弦定理可得．

由余弦定理可得．．即．，

故邊的最小值為，

故選D．【題目點撥】本題主要考查了余弦定理、基本不等式的應用，解三角形，屬于中檔題．4、D【解題分析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大單調(diào)增，所以又因為所以b<a所以b<a<c.故選D．5、D【解題分析】

由得，即，然后即可求出答案【題目詳解】因為，所以所以即，即解得故選：D【題目點撥】本題考查的是排列數(shù)和組合數(shù)的計算，較簡單.6、A【解題分析】

求出展開式中的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即可.【題目詳解】含的項的系數(shù)即求展開式中的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即含的項的系數(shù)是．故選A.【題目點撥】本題考查二項式定理，屬于中檔題．7、C【解題分析】

利用復合命題的真值表進行判斷即可，注意中的冪函數(shù)的系數(shù)為1，而中的小于的否定是大于或等于．【題目詳解】命題令，解得，則為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因此是真命題，命題“，”的否定是“，”，因此是假命題，四個選項中的命題為真命題的是，其余的為假命題，故選C．【題目點撥】（1）冪函數(shù)的一般形式是，而指數(shù)函數(shù)的一般形式是；（2）我們要熟悉常見詞語的否定，若“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”，“至少有一個”的否定是“一個都沒有”等．8、B【解題分析】

先對函數(shù)求導，然后代入切點的橫坐標，即可求得本題答案.【題目詳解】由，得，所以切線斜率.故選：B【題目點撥】本題主要考查在曲線上一點的切線斜率，屬基礎題.9、A【解題分析】

求出導函數(shù)，然后運用函數(shù)零點存在性定理進行驗證可得所求區(qū)間．【題目詳解】∵，∴，且函數(shù)單調(diào)遞增．又，∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點，即函數(shù)的極值點在區(qū)間內(nèi)．故選A．【題目點撥】本題考查函數(shù)零點存在性定理的應用，解答本題時要弄清函數(shù)的極值點即為導函數(shù)的零點，同時還應注意只有在導函數(shù)零點左右兩側(cè)的函數(shù)值變號時，該零點才為極值點，否則導函數(shù)的零點就不是極值點．10、A【解題分析】

根據(jù)三視圖知：幾何體為半球和圓柱和圓錐的組合體，計算表面積得到答案.【題目詳解】根據(jù)三視圖知：幾何體為半球和圓柱和圓錐的組合體..故選：.【題目點撥】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.11、C【解題分析】

本題是一個等可能事件的概率，從正方體中任選四個頂點的選法是，四個面都是直角三角形的三棱錐有4×6個，根據(jù)古典概型的概率公式進行求解即可求得．【題目詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率，從長方體中任選四個頂點的選法是，以A為頂點的四個面都是直角三角形的三棱錐有：共個．同理以為頂點的也各有個，但是，所有列舉的三棱錐均出現(xiàn)次，四個面都是直角三角形的三棱錐有個，所求的概率是故選：C．【題目點撥】本題主要考查了古典概型問題，解題關鍵是掌握將問題轉(zhuǎn)化為從正方體中任選四個頂點問題，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.12、C【解題分析】設公差為，，，聯(lián)立解得，故選C.點睛:求解等差數(shù)列基本量問題時，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③【解題分析】

由奇偶性判斷①，結(jié)合①對，，三種情況討論求值域，判斷②，由單調(diào)性判斷③，由③可知的圖像與函數(shù)的圖像只有兩個交點，進而判斷④，從而得出答案?！绢}目詳解】①，即，故正確；②當時，，由①可知當時，，當時，，所以函數(shù)的值域是，正確；③當時，，由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知，在上是增函數(shù)，由①可知在上也是增函數(shù)，所以若，則一定有，正確；④由③可知的圖像與函數(shù)的圖像只有兩個交點，故錯誤。綜上正確結(jié)論的序號是①②③【題目點撥】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，包括奇偶性，單調(diào)性，值域等，屬于一般題。14、【解題分析】

由任意角的三角函數(shù)定義求得的值，再由兩角差的余弦求解的值.【題目詳解】由題意，故答案為：【題目點撥】本題考查了任意角三角函數(shù)的定義和兩角差的余弦，考查了學生概念理解，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.15、【解題分析】

利用先求得,再利用求解即可,注意利用角的范圍確定三角函數(shù)值的符號.【題目詳解】由題,因為,且,則或,因為為第四象限角,所以,則,所以,故答案為:【題目點撥】本題考查利用同角的三角函數(shù)關系求三角函數(shù)值,屬于基礎題.16、【解題分析】

當抽取個球時，的取值為，根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率，并求得期望值.當抽取個球時，的取值為，根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率，并求得期望值.【題目詳解】解：甲盒中含有紅球的個數(shù)的取值為1，2，則，.則；甲盒中含有紅球的個數(shù)的值為1，2，3，則，，.則.∴.故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查隨機變量期望值的計算方法，考查古典概型概率計算公式，考查組合數(shù)的計算，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）概率為，，，（2）詳見解析（3）將順利被公司簽收【解題分析】

（1）由圖2可知，株樣本樹苗中高度高于米的共有株，以樣本的頻率估計總體的概率，可知這批樹苗的高度高于米的概率為，記為樹苗的高度，結(jié)合圖1，圖2求得，，，，即可求得答案；（2）以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批樹苗中隨機選取株，高度在的概率為，因為從樹苗數(shù)量這批樹苗中隨機選取株，相當于三次獨立重復試驗，可得隨機變量，即可求的分布列，進而求得；（3）利用條件，計算出，從而給出結(jié)論.【題目詳解】（1）由圖2可知，株樣本樹苗中高度高于米的共有株，以樣本的頻率估計總體的概率，可知這批樹苗的高度高于米的概率為，記為樹苗的高度，結(jié)合圖1，圖2可得：，，，組距為，，，.（3）以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批樹苗中隨機選取株，高度在的概率為，因為從樹苗數(shù)量這批樹苗中隨機選取株，相當于三次獨立重復試驗，隨機變量，分布列為：012340.00810.07560.26460.41160.2401.（3）由，取，，由（2）可知，又結(jié)合（1）可得，這批樹苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布，應該認為這批樹苗是合格的，將順利被公司簽收.【題目點撥】本題解題關鍵是掌握頻率直方圖基礎知識和求二項式分布列，及其正態(tài)分布的實際應用,考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.18、（I）；（II）.【解題分析】

（I）和為4次有兩種情況，一個是1次一個是3次與兩個都是2次；（II）隨機變量的所有可能取值有三種，為0,1,2，分別求出其概率即可求解.【題目詳解】（I）由已知得：，所以，事件發(fā)生的概率為.（II）隨機變量的所有可能取值為0,1,2；計算，，；所以，隨機變量的分布列為：012隨機變量的數(shù)學期望為：.【題目點撥】本題考查隨機事件的概率、分布列及其期望.19、（1）；；；，或（2），【解題分析】

（1）設弧上任意一點根據(jù)ABCD是邊長為2的正方形，AB所在的圓與原點相切，其半徑為1，求得，同理求得其他弧所對應的極坐標方程.（2）把直線的參數(shù)方程和的極坐標方程都化為直角坐標方程，利用數(shù)形結(jié)合求解，把直線的參數(shù)方程化為直線的標準參數(shù)方程，直角坐標方程聯(lián)立，再利用參數(shù)的幾何意義求解.【題目詳解】（1）如圖所示：設弧上任意一點因為ABCD是邊長為2的正方形，AB所在的圓與原點相切，其半徑為1，所以所以的極坐標方程為；同理可得：的極坐標方程為；的極坐標方程為；的極坐標方程為，或（2）因為直線的參數(shù)方程為所以消去t得，過定點，直角坐標方程為如圖所示：因為直線與曲線有兩個不同交點，所以因為直線的標準參數(shù)方程為，代入直角坐標方程得令所以所以所以的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查極坐標方程的求法和直線與曲線的交點以及直線參數(shù)的幾何意義的應用，還考查了數(shù)形結(jié)合思想和運算求解的能力，屬于難題.20、(1)見解析.(2)見解析.【解題分析】試題分析：（I）由，n分別取1，2，3，代入計算，即可求得結(jié)論，猜想；（II）用數(shù)學歸納法證明的關鍵是n=k+1時，變形利用歸納假設．試題解析：(1)當時，，∴或(舍,).當時，，∴．當時，，∴．猜想：.(2)證明：①當時，顯然成立．②假設時，成立，則當時，,即∴.由①、②可知，，.點睛：數(shù)學歸納法兩個步驟的關系：第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的根據(jù)，兩個步驟缺一不可，有第一步無第二表，屬于不完全歸納法，論斷的普遍性是不可靠的；有第二步無第一步中，則第二步中的假設就失去了基礎．只有把第一步結(jié)論與第二步結(jié)論聯(lián)系在一起，才可以斷定命題對所有的自然數(shù)n都成立．21、(1)1(2)（，）【解題分析】分析：（1）先求導數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導數(shù)的零點：，2；再分類討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設知f′(1)=2，即(1–a)e=2，解得a=1．此時f(1)=3e≠2．所以a的