2024屆北京市第五十六中學數學高二下期末調研模擬試題含解析

2024屆北京市第五十六中學數學高二下期末調研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義運算，則函數的圖象是（）．A． B．C． D．2．若，則的單調遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．3．二項式展開式中常數項等于（）A．60 B．﹣60 C．15 D．﹣154．設集合U=x1≤x≤10,x∈Z，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A．2,4,6,7 B．2,4,5,9 C．2,4,6,8 D．2,4,6,5．設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．若函數的圖象與的圖象都關于直線對稱，則與的值分別為（）A． B． C． D．7．若曲線在點處的切線與直線垂直，則（）A．1 B． C．2 D．8．在數列中，，則等于（）A．9 B．10 C．27 D．819．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，從集合A到B的映射滿足：①；②的象有且只有2個，求適合條件的映射的個數為()A．10 B．20 C．30 D．4010．已知函數，則（）A． B． C．1 D．711．將函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象如圖所示，則函數的解析式是（）A．（） B．（）C．（） D．（）12．若函數至少存在一個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，AC與BD交于點E，AB∥CD，AC=3，AB=2CD=6，當tanA=2時，=_____．14．已知函數在處切線方程為,若對恒成立，則_________.15．設的三邊長分別為，的面積為，內切圓半徑為，則；類比這個結論可知：四面體的四個面的面積分別為，內切球的半徑為，四面體的體積為，則__________．16．二項式的展開式中常數項為______用數字表示．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（其中）．（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式對任意實數x恒成立，求實數m的取值范圍．18．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）求曲線上的直線距離最大的點的直角坐標.19．（12分）已知函數在處取到極值.（1）求實數的值，并求出函數的單調區(qū)間；（2）求函數在上的最大值與最小值及相應的的值.20．（12分）某商家對他所經銷的一種商品的日銷售量（單位：噸）進行統(tǒng)計，最近50天的統(tǒng)計結果如下表：日銷售量11.52天數102515頻率0.2ab若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨立．（1）求5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1.5噸的概率；（2）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，表示該種商品某兩天銷售利潤的和（單位：千元），求的分布列和數學期望．21．（12分）已知函數.（1）當，求函數的單調區(qū)間；（2）若函數在上是減函數，求的最小值；（3）證明：當時，.22．（10分）知函數，，與在交點處的切線相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函數有兩個零點,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值，因此函數，只有選項中的圖象符合要求，故選A.2、D【解題分析】分析：先求，再求函數的單調增區(qū)間.詳解：由題得令因為x>0，所以x>2.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查利用導數求函數的單調區(qū)間，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)用導數求函數的單調區(qū)間：求函數的定義域→求導→解不等式＞0得解集→求,得函數的單調遞增（減）區(qū)間.3、A【解題分析】

化簡二項式展開式的通項公式，由此計算的系數，從而得出正確選項.【題目詳解】當時，即，故常數項為，選A.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查運算求解能力，屬于基礎題.4、D【解題分析】

先求出CUA,再求?【題目詳解】由題得CU所以?UA∩B故選：D【題目點撥】本題主要考查補集和交集的運算，意在考查學生對這種知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、C【解題分析】對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的．6、D【解題分析】分析：由題意得，結合即可求出，同理可得的值.詳解：函數的圖象與的圖象都關于直線對稱，和（）解得和，和時，；時，.故選：D.點睛：本題主要考查了三角函數的性質應用，屬基礎題.7、B【解題分析】

求出原函數的導函數，根據題意列出關于的方程組，計算即可得到結果【題目詳解】，則，在點處的切線與直線垂直則，，將點代入曲線中有，即，故選【題目點撥】本題主要考查的是利用導數研究曲線上某點切線方程，兩條直線垂直與斜率的關系，同時要求學生掌握求導法以及兩直線垂直時斜率滿足的條件。8、C【解題分析】

利用題設中遞推公式，構造等比數列，求得等比數列的通項公式，即可求解.【題目詳解】由題意，在數列中，，即可得數列表示首項，公比的等比數列，所以，故選C.【題目點撥】本題主要考查了等比數列的定義，以及等比數列的通項公式的應用，其中解答中熟記等比數列的定義和等比數列的通項公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.9、D【解題分析】分析：將元素按從小到大的順序排列，然后按照元素在中的象有且只有兩個進行討論.詳解：將元素按從小到大的順序排列，因恰有兩個象，將元素分成兩組，從小到大排列，有一組；一組；一組；一組，中選兩個元素作象，共有種選法，中每組第一個對應集合中的較小者，適合條件的映射共有個，故選D.點睛：本題考查映射問題并不常見，解決此類問題要注意：（）分清象與原象的概念；（）明確對應關系.10、C【解題分析】

根據題意，由函數的解析式可得，又由即得到答案?！绢}目詳解】由函數的解析式可得，又由，則【題目點撥】本題考查了分段函數，解答的關鍵是運用函數的周期性把轉化有具體解析式的范圍內。11、A【解題分析】設，由的圖像可知，函數的周期為，所以，將代入得，所以，向右平移后得到.12、A【解題分析】

將條件轉化為有解，然后利用導數求出右邊函數的值域即可.【題目詳解】因為函數至少存在一個零點所以有解即有解令，則因為，且由圖象可知，所以所以在上單調遞減，令得當時，單調遞增當時，單調遞減所以且當時所以的取值范圍為函數的值域，即故選：A【題目點撥】1.本題主要考查函數與方程、導數與函數的單調性及簡單復合函數的導數，屬于中檔題.2.若方程有根，則的范圍即為函數的值域二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、12【解題分析】分析：根據余弦定理求出，再由余弦定理可得，根據平面向量的數量積公式求解即可.詳解：由,可知，在中，,，，故答案為.點睛：本題主要考查平面向量數量積公式，余弦定理及特殊角的三角函數，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.14、【解題分析】

先求出切線方程，則可得到，令，從而轉化為在R上恒為增函數，利用導函數研究單調性即可得到答案.【題目詳解】根據題意得，故切線方程為，即，令，此時，由于對恒成立，轉化為，則在R上恒為增函數，，此時，而，當時，，當時，，于是在處取得極小值，此時，而在R上恒為增函數等價于在R上恒成立，即即可，由于為極小值，則此時只能，故答案為2.【題目點撥】本題主要考查導函數的幾何意義，利用導函數求函數極值，意在考查學生的分析能力，轉化能力，計算能力，難度思維較大.15、.【解題分析】

根據平面和空間的類比推理，由點類比點或直線，由直線類比直線或平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形的面積類比立體圖形的體積，結合三角形面積的求法求出三棱錐的體積，進而求出內切球的半徑為.【題目詳解】設四面體的內切球的球心為，則球心到四個面的距離都為，所以四棱錐的體積等于以為頂點，四個面為底面的四個小三棱錐的體積之和，則四面體的體積為.【題目點撥】本題考查了類比推理.類比推理是指依據兩類數學對象的相似性，將已知一類的數學對象的性質遷移到另一個數學對象上去.16、-160【解題分析】二項式的展開式的通項為，．令，可得，即展開式中常數項為．答案：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）當時，對分成三段，討論絕對值內數的正負；（2）不等式恒成立問題，轉化成解不等式問題.【題目詳解】（1）當時，即．①當時，得：，解得：；②當時，得：，不成立，此時；③當時，得：成立，此時．綜上所述，不等式的解集為或．（2）∵，由題意，即：或，解得：或，即：的取值范圍是．【題目點撥】考查用零點分段法解絕對值不等式、三角不等式求絕對值函數的最小值.18、(1)(2)【解題分析】分析：（1）利用極坐標與直角坐標互化公式可得曲線的直角坐標方程為.（2）直線方程為，設圓上點的坐標為，結合點到直線距離公式和三角函數的性質可知滿足題意時點坐標為.詳解：（1）因為，，，所以曲線的直角坐標方程為.（2）直線方程為，圓的標準方程為，所以設圓上點坐標為，則，所以當，即時距離最大，此時點坐標為.點睛：本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的轉化，直線與圓的位置關系，三角函數的性質及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19、（1），函數在單調遞減，在和上單調遞增（2），此時；，此時【解題分析】

（1）先求導，再根據導數和函數的極值的關系即可求出，（2）根據導數和函數的最值得關系即可求出．【題目詳解】解：（1）由條件得，又在處取到極值，故，解得.此時由，解得或，由，解得，因此，函數在單調遞減，在和上單調遞增.（2）由（1）可知函數在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.故，此時；此時.【題目點撥】本題考查了函數的單調性、極值問題，最值問題，考查轉化思想，屬于中檔題．20、（1）5.3155；（5）6.5.【解題分析】試題分析：第一問根據頻率公式求得a=0.5,b=0.3，第二問在做題的過程中，利用題的條件確定銷售量為1．5噸的頻率為0.5，可以判斷出銷售量為1．5噸的天數服從于二項分布，利用公式求得結果，第二小問首先確定出兩天的銷售量以及與之對應的概率，再根據銷售量與利潤的關系，求得的分布列和，利用離散型隨機變量的分布列以及期望公式求得結果．試題解析：（1）由題意知：a=5．5，b=5．3．①依題意，隨機選取一天，銷售量為1．5噸的概率p=5．5，設5天中該種商品有X天的銷售量為1．5噸，則X～B（5，5．5），．②兩天的銷售量可能為5,5．5,3,3．5,5．所以的可能取值為5，5，6，7，8，則：，，，，，的分布列為：ξ

5

5

6

7

8

P

5．55

5．5

5．37

5．3

5．59

．考點：獨立重復實驗，離散型隨機變量的分布列與期望．21、(1)函數的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.(2)的最小值為.(3)證明見解析.【解題分析】分析：函數的定義域為，（1）函數，據此可知函數的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是（2）由題意可知在上恒成立.據此討論可得的最小值為.（3）問題等價于.構造函數，則取最小值.設，則.由于，據此可知題中的結論成立.詳解：函數的定義域為，（1）函數，當且時，；當時，，所以函數的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是（2）因在上為減函數，故在上恒成立.所以當時，，又，故當，即時，.所以，于是，故的最小值為.（3）問題等價于.令，則，當時，取最小值.設，則，知在上單調遞增，在上單調遞減.∴.∵，∴，∴故當時，.點睛：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數形結合思想的應用．22、(1)．(2)或．【解題分析】分析：（1）分別求出與在交點處切線的斜率，從而得到答案；（2）對求導，分類討論即可.詳解：(1)，，又，，與在交點處的切線相互垂直，,.又在上,，故.(2)由題知.①,即時,令,得;令,得或，在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,故存在使.又，，，在區(qū)間上有一個零點,在區(qū)間上有一個零點,在區(qū)間上有一個零點,共個零點,不符合題意,舍去.②時,令,得，