山東省日照實驗高級中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末復習檢測試題含解析

山東省日照實驗高級中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末復習檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．離散型隨機變量X的分布列為，，2，3，則（）A．14a B．6a C． D．62．已知，，，記為，，中不同數(shù)字的個數(shù)，如：，，，則所有的的排列所得的的平均值為（）A． B．3 C． D．43．已知函數(shù),且,其中是的導函數(shù)，則（）A． B． C． D．4．某單位為了了解用電量y（度）與氣溫x（℃）之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫x（℃）181310-1用電量（度）24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程，預測當氣溫為-4℃時用電量度數(shù)為（）A．68 B．67 C．65 D．645．曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為A． B．C． D．6．已知，則為（）A．2 B．3 C．4 D．57．命題，則（）A．是真命題，，B．是假命題，，C．是真命題，，D．是假命題，，8．在中，，BC邊上的高等于,則（）A． B． C． D．9．等于（）A． B． C． D．10．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”.那么從長方體八個頂點中任取四個頂點，則這四個頂點組成的幾何體是“鱉臑”的概率為（）A． B． C． D．11．下列兩個量之間的關系是相關關系的為（）A．勻速直線運動的物體時間與位移的關系B．學生的成績和體重C．路上酒后駕駛的人數(shù)和交通事故發(fā)生的多少D．水的體積和重量12．已知，，復數(shù)，則（）A． B．1 C．0 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在中，，，是內(nèi)一動點，，則的最小值為____________.14．函數(shù)在點處切線的斜率為______15．若變量、滿足約束條件，則的最大值為__________．16．長方體內(nèi)接于球O，且，，則A、B兩點之間的球面距離為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.18．（12分）如圖，矩形中，，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．19．（12分）如圖，為圓錐的高，B、C為圓錐底面圓周上兩個點，，，，是的中點．（1）求該圓錐的全面積；（2）求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20．（12分）如圖，已知海島與海岸公路的距離為，，間的距離為，從到，需先乘船至海岸公路上的登陸點，船速為，再乘汽車至，車速為，設.（1）用表示從海島到所用的時間，并指明的取值范圍；（2）登陸點應選在何處，能使從到所用的時間最少？21．（12分）已知橢圓：的一個焦點為，點在上.（1）求橢圓的方程；（2）若直線：與橢圓相交于，兩點，問軸上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.22．（10分）已知橢圓：的離心率為，短軸長為1．（1）求橢圓的標準方程；（1）若圓：的切線與曲線相交于、兩點，線段的中點為，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由離散型隨機變量X的分布列得a+2a+3a＝1，從而，由此能求出E（X）．【題目詳解】解：∵離散型隨機變量X的分布列為，，∴，解得，∴．故選：C．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．2、A【解題分析】

由題意得所有的的排列數(shù)為，再分別討論時的可能情況則均值可求【題目詳解】由題意可知，所有的的排列數(shù)為，當時，有3種情形，即，，；當時，有種；當時，有種，那么所有27個的排列所得的的平均值為.故選：A【題目點撥】本題考查排列組合知識的應用，考查分類討論思想，考查推理論證能力和應用意識，是中檔題3、A【解題分析】分析：求出原函數(shù)的導函數(shù)，然后由f′（x）=2f（x），求出sinx與cosx的關系，同時求出tanx的值，化簡要求解的分式，最后把tanx的值代入即可．詳解：因為函數(shù)f（x）=sinx-cosx，所以f′（x）=cosx+sinx，由f′（x）=2f（x），得：cosx+sinx=2sinx-2cosx，即3cosx=sinx，所以.所以=.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查求導和三角函數(shù)化簡求值，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化計算能力.(2)解答本題的關鍵是=.這里利用了“1”的變式，1=.4、A【解題分析】

根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點，計算出并代入回歸直線方程，求得的值，然后將代入回歸直線方程，求得預測的用電量度數(shù).【題目詳解】解：，，，線性回歸方程為：，當時，，當氣溫為時，用電量度數(shù)為68，故選A．【題目點撥】本小題主要考查回歸直線方程過樣本中心點，考查方程的思想，屬于基礎題.5、C【解題分析】

先判定點是否為切點，再利用導數(shù)的幾何意義求解.【題目詳解】當時，，即點在曲線上．則在點處的切線方程為，即．故選C．【題目點撥】本題考查利用導數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取導數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學生易在非切點處直接求導數(shù)而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導數(shù)求解；若不是切點，設出切點，再求導，然后列出切線方程．6、A【解題分析】

根據(jù)自變量范圍代入對應解析式，解得結(jié)果.【題目詳解】故選：A【題目點撥】本題考查分段函數(shù)求值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.7、C【解題分析】分析：根據(jù)命題真假的判斷和含有量詞的命題的否定，即可得到結(jié)論.詳解：，恒成立是真命題，，故選C.點睛：本題考查命題真假的判斷，含有量詞的命題的否定關系的應用.8、C【解題分析】試題分析：設,故選C.考點：解三角形.9、A【解題分析】

根據(jù)排列數(shù)的定義求解.【題目詳解】，故選A.【題目點撥】本題考查排列數(shù)的定義.10、C【解題分析】

本題是一個等可能事件的概率，從正方體中任選四個頂點的選法是，四個面都是直角三角形的三棱錐有4×6個，根據(jù)古典概型的概率公式進行求解即可求得．【題目詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率，從長方體中任選四個頂點的選法是，以A為頂點的四個面都是直角三角形的三棱錐有：共個．同理以為頂點的也各有個，但是，所有列舉的三棱錐均出現(xiàn)次，四個面都是直角三角形的三棱錐有個，所求的概率是故選：C．【題目點撥】本題主要考查了古典概型問題，解題關鍵是掌握將問題轉(zhuǎn)化為從正方體中任選四個頂點問題，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.11、C【解題分析】

根據(jù)相關關系以及函數(shù)關系的概念，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【題目詳解】A選項，勻速直線運動的物體時間與位移的關系是函數(shù)關系；B選項，成績與體重之間不具有相關性；C選項，路上酒后駕駛的人數(shù)和交通事故發(fā)生的多少是相關關系；D選項，水的體積與重量是函數(shù)關系.故選C【題目點撥】本題主要考查變量間的相關關系，熟記概念即可，屬于常考題型.12、B【解題分析】分析：先將等式右邊化簡，然后根據(jù)復數(shù)相等的條件即可.詳解：故選B.點睛：考查復數(shù)的除法運算和復數(shù)相等的條件，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設，，，在中，由正弦定理，得，，在中，，，其中，，從而，由最小值為的最小值為，故答案為.14、【解題分析】

求得函數(shù)的導數(shù)，計算得，即可得到切線的斜率．【題目詳解】由題意，函數(shù)，則，所以，即切線的斜率為，故答案為．【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)求解曲線在某點處的切線的斜率，其中解答中熟記導數(shù)的幾何意義的應用，以及準確求解函數(shù)的導數(shù)是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．15、8【解題分析】

首先畫出可行域，然后確定目標函數(shù)的最大值即可.【題目詳解】繪制不等式組表示的可行域如圖所示，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可得目標函數(shù)在點處取得最大值，其最大值為：.【題目點撥】求線性目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最?。划攂＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.16、【解題分析】

利用長方體外接球直徑為其體對角線長求得外接球半徑，及所對球心角，利用弧長公式求出答案．【題目詳解】由，，得，長方體外接球的半徑為正三角形，，兩點間的球面距離為，故答案為：．【題目點撥】本題考查了長方體外接球問題，以及求兩點球面距離，屬于簡單題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】試題分析：（1）由所以．又因為底面平面；（2）如圖以為原點建立空間直角坐標系，求得平面的法向量和．試題解析：（1）連結(jié)，因為在中，，所以，所以．因為，所以．又因為底面，所以，因為，所以平面（2）如圖以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則．因為是棱的中點，所以．所以，設為平面的法向量，所以，即，令，則，所以平面的法向量因為是在棱上一點，所以設．設直線與平面所成角為，因為平面的法向量，所以．解得，即，所以考點：1、線面垂直；2、線面角.18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由，即可得面，即可證明平面平面；（2）過作，垂直為，以為原點，建立空間直角坐標系（如圖）．求得平面的法向量為．則，即可求出與平面所成角的正弦值．【題目詳解】（1）在中，，又，，平面則平面，從而，又，，則平面又平面，從而平面平面.（2）過作，垂足為，由（1）知平面.以為原點，為軸正方向如圖建立空間直角坐標系.不妨設，則，.則，設為平面的一個法向量，則，令，則，設，則故與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】本題主要考查線面垂直，面面垂直判定定理的應用，以及利用向量法求直線與平面所成角的大小，意在考查學生的直觀想象能力和數(shù)學運算能力．19、（1）（2）【解題分析】分析：（1）根據(jù)，，，可求得圓錐的母線長以及圓錐的底面半徑，利用圓錐側(cè)面積公式可得結(jié)果；（2）過作交于，連則為異面直線與所成角，求出，在直角三角形中，,從而可得結(jié)果.詳解：（1）中，即圓錐底面半徑為2圓錐的側(cè)面積故圓錐的全面積（2）過作交于，連則為異面直線與所成角在中，是的中點是的中點在中，，，即異面直線與所成角的大小為點睛：求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.20、（1），.（2）登陸點與的距離為時，從海島到的時間最少.【解題分析】

求出AD，CD，從而可得出的解析式；

利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出最小值對應的夾角.【題目詳解】（1）在中，∵，，∴，，∴，∴，即.∵，∴，∴(若寫成開區(qū)間不扣分).（2），，當時，，當時，，所以時，取最小值，即從海島到的時間最少，此時.答：（1），.（2）登陸點與的距離為時，從海島到的時間最少.【題目點撥】本題考查了解三角形的應用和正弦定理的應用，考查了利用導數(shù)求函數(shù)最值，屬中檔題．21、（1）（2）見解析【解題分析】

先求出c的值，再根據(jù)，又，即可得到橢圓的方程;假設y軸上存在點，是以M為直角頂點的等腰直角三角形，設，，線段AB的中點為，根據(jù)韋達定理求出點N的坐標，再根據(jù)，，即可求出m的值，可得點M的坐標【題目詳解】由題意可得，點在C上，，又，解得，，橢圓C的方程為，假設y軸上存在點，是以M為直角頂點的等腰直角三角形，設，，線段AB的中點為，由，消去y可得，，解得，，，，，，依題意有，，由，可得，可得，由可得，，，代入上式化簡可得，則，解得，當時，點滿足題意，當時，點滿足題意【題目點撥】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方