2024屆湖南省、江西省等十四校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆湖南省、江西省等十四校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為A．8 B．16 C．24 D．602．若x1=，x2=是函數(shù)f(x)=(>0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則=A．2 B．C．1 D．3．己知三邊，，的長(zhǎng)都是整數(shù)，，如果，則符合條件的三角形的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．4．同學(xué)聚會(huì)上，某同學(xué)從《愛(ài)你一萬(wàn)年》，《十年》，《父親》，《單身情歌》四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演，則《愛(ài)你一萬(wàn)年》未選取的概率為（）A．B．C．D．5．圓與的位置關(guān)系是（）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．相離．6．設(shè)隨機(jī)變量X～N(1,52)，且P(X≤0)=P(X≥a-2)，則實(shí)數(shù)A．10 B．8 C．6 D．47．若實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)滿足，其中，，則雙曲線C的虛軸長(zhǎng)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．由①安夢(mèng)怡是高二（1）班的學(xué)生，②安夢(mèng)怡是獨(dú)生子女，③高二（1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女，寫(xiě)一個(gè)“三段論”形式的推理，則大前提，小前提和結(jié)論分別為（）A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②9．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A．64 B．30 C．15 D．1610．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則在上的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．11．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變D．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變12．某研究機(jī)構(gòu)在對(duì)具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到的數(shù)據(jù)如下表所示．由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線上方的概率為（）4681012122.956.1A． B． C． D．無(wú)法確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使不等式成立的最大正整數(shù)n的值是_______．14．甲、乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A，B，C，D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者，設(shè)隨機(jī)變量為這五名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，則的期望值為_(kāi)_______15．若點(diǎn)的柱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_____；16．已知某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員名，女運(yùn)動(dòng)員名，若現(xiàn)在選派人外出參加比賽，則選出的人中男運(yùn)動(dòng)員比女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)多的概率是_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）將的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）為上一動(dòng)點(diǎn)，求到直線的距離的最大值和最小值.18．（12分）已知函數(shù)fx（1）討論函數(shù)fx（2）當(dāng)n∈N*時(shí)，證明：19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓的方程為.（1）寫(xiě)出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若，圓與直線交于兩點(diǎn)，求的值.20．（12分）已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）對(duì)任意的，都有不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）某海濕地如圖所示，A、B和C、D分別是以點(diǎn)O為中心在東西方向和南北方向設(shè)置的四個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，它們到點(diǎn)O的距離均為公里，實(shí)線PQST是一條觀光長(zhǎng)廊，其中，PQ段上的任意一點(diǎn)到觀測(cè)點(diǎn)C的距離比到觀測(cè)點(diǎn)D的距離都多8公里，QS段上的任意一點(diǎn)到中心點(diǎn)O的距離都相等，ST段上的任意一點(diǎn)到觀測(cè)點(diǎn)A的距離比到觀測(cè)點(diǎn)B的距離都多8公里，以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.（1）求觀光長(zhǎng)廊PQST所在的曲線的方程；（2）在觀光長(zhǎng)廊的PQ段上，需建一服務(wù)站M，使其到觀測(cè)點(diǎn)A的距離最近，問(wèn)如何設(shè)置服務(wù)站M的位置?22．（10分）（文科學(xué)生做）已知數(shù)列滿足.（1）求，，的值，猜想并證明的單調(diào)性；（2）請(qǐng)用反證法證明數(shù)列中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為令，即∴二項(xiàng)式展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是，故選C.2、A【解題分析】

從極值點(diǎn)可得函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式可得.【題目詳解】由題意知，的周期，得．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法，利用方程思想解題．3、D【解題分析】

根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，由三角形的三邊關(guān)系，有，對(duì)分情況討論，分析可得可取的情況，即可得這種情況下符合條件的三角形的個(gè)數(shù)，由分類計(jì)數(shù)原理，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，計(jì)算可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，有，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜26，則＝25，有1種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜27，則＝25、26，有2種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜28，則＝25、26、27，有3種情況，

當(dāng)時(shí)，有25≤＜29，則＝25、26、27、28，有4種情況，

…

當(dāng)時(shí)，有有25≤＜50，則＝25、26、27、28…49，有25種情況，

則符合條件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝；

故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，涉及三角形三邊的關(guān)系，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)變化時(shí)，符合條件的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．4、B【解題分析】,所以選B.5、A【解題分析】

試題分析：由題是給兩圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)椋詢蓤A相離，故選D.考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系．6、D【解題分析】

根據(jù)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，從表達(dá)式上看出正態(tài)曲線關(guān)于x=1對(duì)稱，得到對(duì)稱區(qū)間的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的概率是相等的，根據(jù)兩個(gè)區(qū)間的概率相等，得到這兩個(gè)區(qū)間關(guān)于x=1對(duì)稱，從而得到結(jié)果．【題目詳解】∵隨機(jī)變量X～∴正態(tài)曲線關(guān)于x=1對(duì)稱，∵P(X≤0)=P(X>a-2)，∴0與a-2關(guān)于x=1對(duì)稱，∴1解得a=4，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正態(tài)曲線的對(duì)稱性，考查對(duì)稱區(qū)間的概率的相等的性質(zhì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題．正態(tài)曲線的常見(jiàn)性質(zhì)有：（1）正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對(duì)稱，且μ越大圖象越靠近右邊，μ越小圖象越靠近左邊；（2）邊σ越小圖象越“痩長(zhǎng)”，邊σ越大圖象越“矮胖”;(3)正態(tài)分布區(qū)間上的概率，關(guān)于μ對(duì)稱，Px>μ7、C【解題分析】

設(shè)點(diǎn)，由結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得出點(diǎn)的軌跡方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為雙曲線與點(diǎn)的軌跡有個(gè)公共點(diǎn)，并將雙曲線的方程與動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，可得出答案．【題目詳解】依題意可得，設(shè)，則由，得，整理得.由得，依題意可知，解得，則雙曲線C的虛軸長(zhǎng).8、D【解題分析】

根據(jù)三段論推理的形式“大前提，小前提，結(jié)論”，根據(jù)大前提、小前提和結(jié)論的關(guān)系，即可求解.【題目詳解】由題意，利用三段論的形式可得演繹推理的過(guò)程是：大前提：③高二（1）班的學(xué)生都是獨(dú)生子女；小前提：①安夢(mèng)怡是高二（1）班的學(xué)生；結(jié)論：②安夢(mèng)怡是獨(dú)生子女，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了演繹推理中的三段論推理，其中解答中正確理解三段論推理的形式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，由此求得常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】依題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)，故常數(shù)項(xiàng)為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】由題意得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，即，解得，所以，則，令，解得或，當(dāng)，則，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，則，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，列出方程組，求的得值是解得關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.11、D【解題分析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【題目詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題12、B【解題分析】

求出樣本的中心點(diǎn)，計(jì)算出，從而求出回歸直線方程，個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線上方的有三個(gè)，算出概率即可?！绢}目詳解】由題可得，因?yàn)榫€性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，所以，所以，故個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線上方有，，，共個(gè)，所以概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程和古典概型，解題的關(guān)鍵是求出線性回歸方程，屬于一般題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解題分析】

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q，由于是正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，可得q＞1．由a1+a5=82，a2?a4=81=a1a5，∴a1，a5，是一元二次方程x2﹣82x+81=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解得a1，a5，利用通項(xiàng)公式可得q，an．利用等比數(shù)列的求和公式可得數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn．代入不等式2019|Tn﹣1|＞1，化簡(jiǎn)即可得出．【題目詳解】數(shù)列為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列，，a2?a4=81=a1a5，即解得，則公比，∴，則，∴，即，得，此時(shí)正整數(shù)的最大值為6.故答案為6.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14、【解題分析】分析：隨機(jī)變量的可能取的值為1，2，事件“”是指有兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)，由此可得的分布列，進(jìn)而得到的期望.詳解：隨機(jī)變量的可能取的值為1，2，事件“”是指有兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)，則，.即的分布列如下表所示：的數(shù)學(xué)期望.故答案為：.點(diǎn)睛：本題考查等可能事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的概率與分布列和數(shù)學(xué)期望.15、【解題分析】

由柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式求得直角坐標(biāo)?！绢}目詳解】由柱坐標(biāo)可知，所以，所以直角坐標(biāo)為。所以填。【題目點(diǎn)撥】空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與柱坐標(biāo)(ρ,θ,Z)之間的變換公式為。16、.【解題分析】

將所求事件分為兩種情況：男女，男，這兩個(gè)事件互斥，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可求出所求事件的概率.【題目詳解】事件“選出的人中男運(yùn)動(dòng)員比女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)多”包含事件“男女”和事件“男”，由古典概型概率公式和互斥事件的概率加法公式可知，事件“選出的人中男運(yùn)動(dòng)員比女運(yùn)動(dòng)員人數(shù)多”的概率為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用，解題時(shí)要將所求事件進(jìn)行分類討論，結(jié)合相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）最大值是和最小值是.【解題分析】分析：（1）利用極坐標(biāo)公式化成直角坐標(biāo)方程.(2)先求出直線的直角坐標(biāo)方程為，再利用圓心到直線的距離求到直線的距離的最大值是和最小值是.詳解：（1）因?yàn)榍€的方程為，則，所以的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離，則直線與圓相離，所以所求到直線的距離的最大值是和最小值是.點(diǎn)睛：(1)本題主要考查極坐標(biāo)、參數(shù)方程和直角坐標(biāo)的互化，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)解答第2問(wèn)的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.18、（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的套路，確定定義域，求導(dǎo)，解含參的不等式；（2）由（1）賦值放縮可以得到一函數(shù)不等式，再賦值將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為數(shù)列不等式，采用累加法即可證明不等式?！绢}目詳解】（1）解：因?yàn)閒'x①當(dāng)a≤0時(shí)，總有f'x所以fx在0,+∞上單調(diào)遞減.②當(dāng)a>0時(shí)，令2ax-1x>0故x>12a時(shí)，f'x>0，所以fx同理2ax-1x<0時(shí)，有f'x<0，所以（2）由（1）知當(dāng)a>0時(shí)，fx若fxmin=0，則1因?yàn)閒x≥fx當(dāng)n∈N*時(shí)，取x=n+1所以2故22【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，涉及到含參不等式的討論，以及利用放縮法證明數(shù)列不等式，意在考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。19、（1）直線，圓（2）.【解題分析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在圓的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，由可得出圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，將直線的參數(shù)方程與圓的普通方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由的幾何意義得出，代入韋達(dá)定理可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）∵，∴兩式相加可得；又，∴∴∴直線，圓.（2）設(shè)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，將直線的參數(shù)方程代入圓的方程，整理得：，∴，，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用，解題時(shí)充分利用韋達(dá)定理法進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由題意，分類討論即可得解；（2）利用絕對(duì)值三角不等式求出，利用基本不等式求出，利用恒成立問(wèn)題的解決辦法即可得解.【題目詳解】（1）由題意，則不等式可轉(zhuǎn)化為或或，整理可得，故不等式的解集為.（2）由于，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；而，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.要使不等式恒成立，則，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查了絕對(duì)值三角不等式和基本不等式的應(yīng)用，考查了恒成立問(wèn)題的解決，屬于中檔題.21、（1）（2）【解題分析】

（1）由題意知，QS的軌跡為圓的一部分，PQ的軌跡為雙曲線的一部分，ST的軌跡為雙曲線的一部分，分別求出對(duì)應(yīng)的軌跡方程即可；（2）由題意設(shè)點(diǎn)M（x，y），計(jì)算|MA|2的解析式，再求|MA|的最小值與對(duì)應(yīng)的x、y的值．【題目詳解】解：（1）①由題意知，QS段上的任意一點(diǎn)到中心點(diǎn)O的距離都相等，QS的軌跡為圓的一部分，其中r＝4，圓心坐標(biāo)為O，即x≥0、y≥0時(shí)，圓的方程為x2+y2＝16；②PQ段上的任意一點(diǎn)到觀測(cè)點(diǎn)C的距離比到觀測(cè)點(diǎn)D的距離都多8公里，PQ的軌跡