陜西省西安市西北大學附中2024屆高二數學第二學期期末檢測試題含解析

陜西省西安市西北大學附中2024屆高二數學第二學期期末檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在一組樣本數據不全相等的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（）A．3 B．0 C． D．12．已知函數f(x)＝ex(x－b)(b∈R)．若存在x∈，使得f(x)＋xf′(x)＞0，則實數b的取值范圍是()A． B．C． D．3．若隨機變量服從正態(tài)分布在區(qū)間上的取值概率是0.2，則在區(qū)間上的取值概率約是()A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.84．設復數z滿足，z在復平面內對應的點為(x，y)，則A． B． C． D．5．已知為虛數單位，復數，則（）A． B． C． D．6．設S為復數集C的非空子集，若對任意，都有，則稱S為封閉集．下列命題：①集合為整數，i為虛數單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合T也是封閉集.其中真命題的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．47．正切函數是奇函數，是正切函數，因此是奇函數，以上推理（）A．結論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．以上均不正確8．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，則△ABC的外接圓的直徑為（）A．5 B． C． D．9．函數的定義城是（）A． B． C． D．10．已知向量，，則（）A． B． C． D．11．2021年起，新高考科目設置采用“”模式，普通高中學生從高一升高二時將面臨著選擇物理還是歷史的問題，某校抽取了部分男、女學生調查選科意向，制作出如右圖等高條形圖，現給出下列結論：①樣本中的女生更傾向于選歷史；②樣本中的男生更傾向于選物理；③樣本中的男生和女生數量一樣多；④樣本中意向物理的學生數量多于意向歷史的學生數量.根據兩幅條形圖的信息，可以判斷上述結論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．已知集合，若，則實數的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則________．14．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為和的線段，則的最大值為．15．已知直線與圓相交于A、B兩點，則∠AOB大小為________．16．設各項均為正數的等比數列的前項和為，若,則數列的通項公式為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數.（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，且，，證明：.18．（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的100人的得分（滿分：100分）數據，統(tǒng)計結果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關注者”，請完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否為“環(huán)保關注者”與性別有關？(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”．視頻率為概率．①在我市所有“環(huán)保達人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率；②為了鼓勵市民關注環(huán)保，針對此次的調查制定了如下獎勵方案：“環(huán)保達人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現某市民要參加此次問卷調查，記（單位：元）為該市民參加間卷調查獲得的紅包金額，求的分布列及數學期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如圖，在棱長為1的正方體中，點在上移動，點在上移動，，連接.（1）證明：對任意，總有∥平面；（2）當的長度最小時，求二面角的平面角的余弦值．20．（12分）設數列的前項的和為,且滿足,對,都有(其中常數),數列滿足.(1)求證:數列是等比數列；(2)若,求的值；(3)若,使得,記,求數列的前項的和.21．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中,直線的參數方程為,（為參數），圓的標準方程為.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和圓的極坐標方程；(2)若射線與直線的交點為,與圓的交點為,且點恰好為線段的中點,求的值.22．（10分）已知復數，(其中是虛數單位).(1)當為實數時，求實數的值；(2)當時，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據回歸直線方程可得相關系數．【題目詳解】根據回歸直線方程是可得這兩個變量是正相關，故這組樣本數據的樣本相關系數為正值，且所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則有|r|＝1，∴相關系數r＝1．故選：D．【題目點撥】本題考查了由回歸直線方程求相關系數，熟練掌握回歸直線方程的回歸系數的含義是解題的關鍵．2、A【解題分析】，若存在，使得，即存在，使得，即在恒成立，令，則，所以在上單調遞增，所以，故，所以的取值范圍是，故選A.3、A【解題分析】

根據正態(tài)分布曲線的對稱性可知，在區(qū)間上的取值概率是0.2，可得在區(qū)間上的取值概率是0.6，從而可得在區(qū)間上的取值概率?！绢}目詳解】解：據題設分析知，因為隨機變量服從正態(tài)分布且，根據對稱性可得，所求概率，故選A.【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布的應用，解題的關鍵是熟知正態(tài)曲線是關于對稱，在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內的區(qū)域面積為1等正態(tài)密度曲線圖象的特征.4、C【解題分析】

本題考點為復數的運算，為基礎題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【題目詳解】則．故選C．【題目點撥】本題考查復數的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數學運算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．5、C【解題分析】

對進行化簡，得到標準形式，在根據復數模長的公式，得到【題目詳解】對復數進行化簡所以【題目點撥】考查復數的基本運算和求復數的模長，屬于簡單題.6、B【解題分析】

由題意直接驗證①的正誤；令x＝y(tǒng)可推出②是正確的；舉反例集合S＝{0}判斷③錯誤；S＝{0}，T＝{0，1}，推出﹣1不屬于T，判斷④錯誤．【題目詳解】解：由a，b，c，d為整數，可得（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i∈S；（a+bi）﹣（c+di）＝（a﹣c）+（b﹣d）i∈S；（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i∈S；集合S＝{a+bi|（a，b為整數，i為虛數單位）}為封閉集，①正確；當S為封閉集時，因為x﹣y∈S，取x＝y(tǒng)，得0∈S，②正確；對于集合S＝{0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯誤；取S＝{0}，T＝{0，1}，滿足S?T?C，但由于0﹣1＝﹣1不屬于T，故T不是封閉集，④錯誤．故正確的命題是①②，故選B．【題目點撥】本題是新定義題，考查對封閉集概念的深刻理解，對邏輯思維能力的要求較高.7、C【解題分析】

根據三段論的要求：找出大前提，小前提，結論，再判斷正誤即可。【題目詳解】大前提：正切函數是奇函數，正確；小前提：是正切函數，因為該函數為復合函數，故錯誤；結論：是奇函數，該函數為偶函數，故錯誤；結合三段論可得小前提不正確.故答案選C【題目點撥】本題考查簡易邏輯，考查三段論，屬于基礎題。8、C【解題分析】分析：由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，最后結合正弦定理即可得結果.詳解：根據三角形面積公式得，，得，則，即，，故正確答案為C.點睛：此題主要考三角形面積公式的應用，以及余弦定理、正弦定理在計算三角形外接圓半徑的應用等有關方面的知識與技能，屬于中低檔題型，也是?？伎键c.此類題的題型一般有：1.已知兩邊和任一邊，求其他兩邊和一角，此時三角形形狀唯一；2.已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，此時三角形形狀不一定唯一.9、C【解題分析】

根據對數的真數大于零這一原則得出關于的不等式，解出可得出函數的定義域．【題目詳解】由題意可得，解得，因此，函數的定義域為，故選C．【題目點撥】本題考查對數型函數的定義域的求解，求解時應把握“真數大于零，底數大于零且不為”，考查計算能力，屬于基礎題．10、C【解題分析】

由已知向量的坐標運算直接求得的坐標．【題目詳解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故選C.【題目點撥】本題考查了向量坐標的運算及數乘運算，屬于基礎題.11、B【解題分析】

分析條形圖，第一幅圖從性別方面看選物理歷史的人數的多少，第二幅圖從選物理歷史的人數上觀察男女人數的多少，【題目詳解】由圖2知樣本中的男生數量多于女生數量，由圖1有物理意愿的學生數量多于有歷史意愿的學生數量，樣本中的男生更傾向物理，女生也更傾向物理，所以②④正確，故選：B.【題目點撥】本題考查條形圖的認識，只要分清楚條形圖中不同的顏色代表的意義即可判別．12、D【解題分析】

就和分類討論即可.【題目詳解】因為當時，，滿足；當時，，若，所以或.綜上，的值為0或1或2.故選D.【題目點撥】本題考查集合的包含關系，屬于基礎題，解題時注意利用集合中元素的性質（如互異性、確定性、無序性）合理分類討論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用誘導公式與二倍角的余弦公式可得，計算求得結果.【題目詳解】，則，故答案為.【題目點撥】三角函數求值有三類，(1)“給角求值”；(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系；(3)“給值求角”：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，確定角．14、【解題分析】構造如圖所示長方體，長方體的長、寬、高分別為，則，，，，所以。則（當且僅當，上式取等號）。15、60°【解題分析】

由垂徑定理求得相交弦長，然后在等腰三角形中求解．【題目詳解】圓心到直線的距離為，圓心半徑為，∴，∴為等邊三角形，．【題目點撥】本題考查直線與圓相交弦長問題．求直線與圓相交弦長一般用垂徑定理求解，即求出弦心距，則有．16、【解題分析】分析：根據基本量直接計算詳解：因為數列為等比數列，所以解得：所以點睛：在等比數列問題中的未知量為首項和公比，求解這兩個未知量需要兩個方程，所以如果已知條件可以構造出來兩個方程，則一定可以解出首項和公比，進而可以解決其他問題，因此基本量求解是這類問題的基本解法.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解題分析】

求導后對參量進行分類討論，得到函數的單調性由極值點求出兩根之和與兩根之積，將二元轉化為一元來求證不等式【題目詳解】（1）由題意得，的定義域為，，①當時，，又由于，，故，所以在上單調遞減；②當時，,,故，所以在上單調遞增；③當時，由，解得，因此在上單調遞減，在和上單調遞增；綜上所述，當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在和上單調遞增.（2）由（1）知，當時，有兩個極值點，由，知，則，設，，，則在單調遞增，即，則，即.【題目點撥】求含有參量的函數的單調區(qū)間，運用導數進行分類討論，得到在定義域內不同的單調性，在證明不等式時結合的根與系數之間的關系，進行消元轉化為一元問題，從而證明出結果，本題綜合性較強，有一定難度。18、(1)不能；(2)①；②分布列見解析，.【解題分析】

（1）根據題目所給的數據可求2×2列聯(lián)表即可；計算K的觀測值K2，對照題目中的表格，得出統(tǒng)計結論．（2）由相互獨立事件的概率可得男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及數學期望E（X）即可；【題目詳解】(1)由圖中表格可得列聯(lián)表如下:非“環(huán)保關注者”是“環(huán)保關注者”合計男104555女153045合計2575100將列聯(lián)表中的數據代入公式計算得K”的觀測值，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，不能認為是否為“環(huán)保關注者”與性別有關.(2)視頻率為概率,用戶為男“環(huán)保達人”的概率為.為女“環(huán)保達人”的概率為，①抽取的3名用戶中既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率為；②的取值為10，20，30，40.,,,,所以的分布列為10203040.【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應用問題，考查了概率分布列和期望，計算能力的應用問題，是中檔題目．19、（1）見解析；（2）【解題分析】

作∥，交于點，作∥，交于點，連接.通過證明四邊形為平行四邊形,可得∥,再根據直線與平面平行的判斷定理可證.(2)根據題意計算得,再配方可得取最小值時分別為的中點,再取為,連接，，,可得是二面角的平面角,再計算可得.【題目詳解】（1）證明：如圖，作∥，交于點，作∥，交于點，連接.由題意得∥，且，則四邊形為平行四邊形.∴∥.又∵，，∴∥.（2）由（1）知四邊形為平行四邊形，∴.∵，∴.∵，∴，.即，故當時，的長度有最小值．分別取，的中點、，連接，，．易知，，故是二面角的平面角在中，．所以.【題目點撥】本題考查了直線與平面平行的判定定理,以及二面角,屬中檔題.20、（1）見解析；（2）．【解題分析】分析：(1)因為兩式相減，時所以數列是等比數列(2)(3).所以顯然分類討論即可詳解：(1)證明