2024屆湖南省重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆湖南省重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）A．144 B．120 C．72 D．242．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1 B．-2 C．2 D．-2或15．將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(－2，2)化成極坐標(biāo)得()．A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)6．袋中裝有完全相同的5個(gè)小球，其中有紅色小球3個(gè)，黃色小球2個(gè)，如果不放回地依次摸出2個(gè)小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（）A．310B．35C．17．，，則的值為（）A． B． C． D．8．某食堂一窗口供應(yīng)2葷3素共5種菜，甲、乙兩人每人在該窗口打2種菜，且每人至多打1種葷菜，則兩人打菜方法的種數(shù)為（）A．64 B．81 C．36 D．1009．如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（）A．34 B．55 C．78 D．8910．定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，以為頂點(diǎn)的△ABC的面積記為函數(shù)，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的大致圖象為()A． B． C． D．11．設(shè)，則=A．2 B． C． D．112．演繹推理“因?yàn)闀r(shí)，是的極值點(diǎn)，而對(duì)于函數(shù)，，所以0是函數(shù)的極值點(diǎn).”所得結(jié)論錯(cuò)誤的原因是（）A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．全不正確二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列中，若，則___________.14．某研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)的影響，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表玩手機(jī)不玩手機(jī)合計(jì)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀4812學(xué)習(xí)成績(jī)不優(yōu)秀16218合計(jì)201030經(jīng)計(jì)算的值，則有__________的把握認(rèn)為玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響．附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，.15．已知定義在上的函數(shù)在導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時(shí)，，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16．已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別是，右焦點(diǎn)，過(guò)垂直于軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)恰好落在（或）處，則雙曲線的離心率是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在某市舉行的一次市質(zhì)檢考試中，為了調(diào)查考試試題的有效性以及試卷的區(qū)分度，該市教研室隨機(jī)抽取了參加本次質(zhì)檢考試的500名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，并將其統(tǒng)計(jì)如下表所示．根據(jù)上表數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，可知考試成績(jī)落在之間的頻率為．（Ⅰ）求m、n的值；（Ⅱ）已知本歡質(zhì)檢中的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，其中近似為樣本的平均數(shù)，近似為樣本方差，若該市有4萬(wàn)考生，試估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)介于分的人數(shù)；以各組的區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的取值Ⅲ現(xiàn)按分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)谝约爸g的學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，再?gòu)倪@12人中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行試卷分析，記被抽取的4人中成績(jī)?cè)谥g的人數(shù)為X，求X的分布列以及期望．參考數(shù)據(jù)：若，則，，．18．（12分）如圖，已知點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率都存在．（1）若直線過(guò)原點(diǎn)，求證：為定值；（2）若直線不過(guò)原點(diǎn)，且，試探究是否為定值．19．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?；?）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)實(shí)數(shù)為的最大值，若實(shí)數(shù)，，滿足，求的最小值.20．（12分）己知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，滿足與在點(diǎn)處的切線垂直，求面積的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。21．（12分）將一枚六個(gè)面的編號(hào)為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后擲兩次，記第一次出的點(diǎn)數(shù)為，第二次出的點(diǎn)數(shù)為，且已知關(guān)于、的方程組.（1）求此方程組有解的概率；（2）若記此方程組的解為，求且的概率.22．（10分）已知函數(shù).證明：；已知，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：先排三個(gè)空位，形成4個(gè)間隔，然后插入3個(gè)同學(xué)，故有種考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題2、B【解題分析】

分別將兩個(gè)不等式解出來(lái)即可【題目詳解】由得由得所以“”是“”的必要不充分條件故選：B【題目點(diǎn)撥】設(shè)命題p對(duì)應(yīng)的集合為A，命題q對(duì)應(yīng)的集合為B，若AB,則p是q的充分不必要條件，若AB，則p是q的必要不充分條件，若A=B，則p是q的充要條件.3、C【解題分析】

先分析四個(gè)答案，A舉一反例，而，A錯(cuò)誤，B舉同樣反例，，而，B錯(cuò)誤，D選項(xiàng)，故D錯(cuò)，下面針對(duì)C進(jìn)行研究，是等差數(shù)列，若，則設(shè)公差為，則，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于，則，故選C.考點(diǎn)：本題考點(diǎn)為等差數(shù)列及作差比較法，以等差數(shù)列為載體，考查不等關(guān)系問(wèn)題，重點(diǎn)是對(duì)知識(shí)本質(zhì)的考查.4、A【解題分析】分析：據(jù)積分的定義計(jì)算即可．詳解：解得或（舍）.故選A點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是定積分，根據(jù)已知確定原函數(shù)是解答的關(guān)鍵．5、A【解題分析】

由條件求得、、的值，可得的值，從而可得極坐標(biāo).【題目詳解】∵點(diǎn)的直角坐標(biāo)∴，，∴可取∴直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法，屬于基礎(chǔ)題．注意運(yùn)用、、(由所在象限確定).6、C【解題分析】試題分析：因?yàn)榈谝淮蚊郊t球的概率為35，則第一次摸出紅球且第二次摸出紅球的概率為35×考點(diǎn)：1、條件概率；2、獨(dú)立事件．7、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算出的值，再利用誘導(dǎo)公式可得出的值.【題目詳解】，，且，由誘導(dǎo)公式得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，同時(shí)也考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，在利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值時(shí)，先要確定角的象限，確定所求三角函數(shù)值的符號(hào)，再結(jié)合相應(yīng)的公式進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

由題甲，乙均有兩種情況，一葷一素和兩素，再由分步原理可得種數(shù)?！绢}目詳解】甲有兩種情況：一葷一素，種；兩素，種.故甲共有種，同理乙也有9種，則兩人打菜方法的種數(shù)為種.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類(lèi)加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題。9、B【解題分析】試題分析：由題意，①②③④⑤⑥⑦⑧，從而輸出，故選B.考點(diǎn)：1.程序框圖的應(yīng)用.10、D【解題分析】

連結(jié)AB后，AB長(zhǎng)為定值，由C點(diǎn)變化得到三角形面積函數(shù)的增減性，從而得到面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，則答案可求．【題目詳解】解：如圖，△ABC的底邊AB長(zhǎng)一定，在點(diǎn)C由A到B的過(guò)程中，△ABC的面積由小到大再減小，然后再增大再減小，對(duì)應(yīng)的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)再正到負(fù)．且由原圖可知，當(dāng)C位于AB連線和函數(shù)f（x）的圖象交點(diǎn)附近時(shí)，三角形的面積減或增較慢，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】

先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算（分母實(shí)數(shù)化），求得，再求．【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的計(jì)算．本題也可以運(yùn)用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)直接求解．12、A【解題分析】分析：要分析一個(gè)演繹推理是否正確，主要觀察所給的大前提，小前提和結(jié)論及推理形式是否都正確，根據(jù)這幾個(gè)方面都正確，才能得到這個(gè)演繹推理正確．根據(jù)三段論進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.詳解：演繹推理““因?yàn)闀r(shí)，是的極值點(diǎn)，而對(duì)于函數(shù)，，所以0是函數(shù)的極值點(diǎn).”中，

大前提：時(shí)，在兩側(cè)的符號(hào)如果不相反，則不是的極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤，

故導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是：大前提錯(cuò)誤，

故選：A．點(diǎn)睛：本題考查演繹推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10.【解題分析】

直接由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合已知條件列式求解的值．【題目詳解】在等差數(shù)列中，由，，，且，所以，所以．故答案為：10.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查用基本量法求．14、99.5【解題分析】分析：由已知列聯(lián)表計(jì)算出后可得．詳解：，∵，∴有99.5%的把握認(rèn)為玩手機(jī)對(duì)學(xué)習(xí)有影響．點(diǎn)睛：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，解題關(guān)鍵是計(jì)算出，然后根據(jù)對(duì)照表比較即可．15、【解題分析】分析：根據(jù)條件得到函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用特殊值法進(jìn)行求解即可.詳解：由，得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則不等式等價(jià)為，即，即，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查不等式的求解，利用條件判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，利用特殊值法是解決本題的關(guān)鍵.16、【解題分析】

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由的外接圓面積取最小值時(shí)，取到最大值，則，利用基本不等式求出的最小值，利用等號(hào)成立求出的表達(dá)式，令求出雙曲線的離心率的值．【題目詳解】如下圖所示，將代入雙曲線的方程得，得，所以點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由的外接圓面積取最小值時(shí)，則取到最大值，則取到最大值，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)的外接圓面積取最小值，由題意可得，則，此時(shí)，雙曲線的離心率為，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線離心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本題中將三角形的外接圓面積最小轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的角取最大值，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值的最值求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，運(yùn)算量較大，屬于難題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）5416；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)考試成績(jī)落在之間的頻率為，可知頻數(shù)為140，結(jié)合樣本數(shù)可求m、n；（Ⅱ）先求出樣本數(shù)的平均數(shù)和方差，再結(jié)合正態(tài)分布求出數(shù)學(xué)成績(jī)介于分的人數(shù)；（Ⅲ）求出X的所有可能取值，分別求得概率，列出分布列求出期望.【題目詳解】解：Ⅰ由題意可得解得.Ⅱ依題意，成績(jī)X人數(shù)Y1012021010040頻率0.060.240.420.200.08故，．則，所以，故所求人數(shù)為．Ⅲ依題意成績(jī)?cè)谥g的抽取9人，成績(jī)?cè)谥g的抽取1人，故X的可能取值為0，1，2，1．故，，，．故X的分布列為X0121P故E．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用樣本估計(jì)總體和隨機(jī)變量的分布列及期望，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).18、（1）見(jiàn)解析（2），詳見(jiàn)解析【解題分析】

（1）設(shè)，，由橢圓對(duì)稱性得，把點(diǎn)，的坐標(biāo)都代入橢圓得到兩個(gè)方程，再相減，得到兩直線斜率乘積的表達(dá)式；（2）設(shè)，，，則，由得：，進(jìn)而得到直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)之間的關(guān)系，最后整體代入消元，得到為定值.【題目詳解】（1）當(dāng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，由橢圓對(duì)稱性得，則．∵，都在橢圓上，∴，，兩式相減得：，即．故．（2）設(shè)，，，則，∵，∴，設(shè)直線的方程為()，聯(lián)立方程組消去，整理得．∵在橢圓上，∴，上式可化為．∴，，∴，，，∴；．∴（定值）．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，對(duì)綜合運(yùn)算能力要求較高，對(duì)坐標(biāo)法進(jìn)行深入的考查，要求在運(yùn)算過(guò)程中要大膽、耐心、細(xì)心地進(jìn)行運(yùn)算.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）由定義域?yàn)镽，只需求解|x﹣3|+|x|的最小值，即可得實(shí)數(shù)m的取值范圍（2）根據(jù)（1）實(shí)數(shù)t的值，利用柯西不等式即可求解最小值．【題目詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，那么|x﹣3|+|x|﹣m≥0對(duì)任意x恒成立，∴只需m≤（|x﹣3|+|x|）min，根據(jù)絕對(duì)值不等式|x﹣3|+|﹣x|≥|x﹣3﹣x|＝3∴3﹣m≥0，所以m≤3，故實(shí)數(shù)m的取值范圍（﹣∞，3]；（2）由（1）可知m的最大值為3，即t＝3，那么a2+b2+c2＝t2＝9，則a2+1+b2+1+c2+1＝12，由柯西不等式可得（）（a2+1+b2+1+c2+1）≥（1+1+1）2＝9，∴（），當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)，故得的最小值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)最值的求解，轉(zhuǎn)化思想和柯西不等式的應(yīng)用．屬于中檔題20、（Ⅰ）（Ⅱ）面積的最小值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程是，根據(jù)焦點(diǎn)為的坐標(biāo)求得，進(jìn)而可得拋物線的方程．（Ⅱ）設(shè)，進(jìn)而可得拋物線在點(diǎn)處的切線方程和直線的方程，代入拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理可求得，從而，又點(diǎn)到直線的距離，可得．利用導(dǎo)數(shù)求解．【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程是，則，，故所求拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)，由拋物線方程為