河北省秦皇島市一中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

河北省秦皇島市一中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．2．口袋中裝有5個形狀和大小完全相同的小球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任意取出3個小球，以表示取出球的最大號碼，則()A． B． C． D．3．已知定義域為正整數(shù)集的函數(shù)滿足，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．4．展開式中常數(shù)項為()A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)滿足則時，()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值6．已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若m，n沒有公共點(diǎn)，則B．若，，則C．若，則D．若，則7．且，可進(jìn)行如下“分解”：若的“分解”中有一個數(shù)是2019，則（）A．44 B．45 C．46 D．478．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞9．l：與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．310．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱數(shù)列為調(diào)和數(shù)列.已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則（）A．10 B．20 C．30 D．4011．對于實數(shù)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若在區(qū)間上方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量，若，則__________．14．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)_______.15．已知函數(shù)，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_____16．若，.則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點(diǎn)在線段上，平面，，.（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）某商家對他所經(jīng)銷的一種商品的日銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計，最近50天的統(tǒng)計結(jié)果如下表：日銷售量11.52天數(shù)102515頻率0.2ab若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨(dú)立．（1）求5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1.5噸的概率；（2）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，表示該種商品某兩天銷售利潤的和（單位：千元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）現(xiàn)將甲、乙兩個學(xué)生在高二的6次數(shù)學(xué)測試的成績（百分制）制成如圖所示的莖葉圖，進(jìn)人高三后，由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個學(xué)生的考試數(shù)學(xué)成績預(yù)計同時有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考試成績?yōu)椋瑒t甲（乙）的高三對應(yīng)的考試成績預(yù)計為（若>100.則取為100）.若已知甲、乙兩個學(xué)生的高二6次考試成績分別都是由低到高進(jìn)步的，定義為高三的任意一次考試后甲、乙兩個學(xué)生的當(dāng)次成績之差的絕對值.（I）試預(yù)測：在將要進(jìn)行的高三6次測試中，甲、乙兩個學(xué)生的平均成績分別為多少？（計算結(jié)果四舍五入，取整數(shù)值）（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知函數(shù)是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意非零實數(shù)滿足，且當(dāng)時，有.（Ⅰ）判斷并證明的奇偶性；（Ⅱ）求證：函數(shù)在上為增函數(shù)，并求不等式的解集.21．（12分）已知數(shù)列的首項為1.記.（1）若為常數(shù)列，求的值：（2）若為公比為2的等比數(shù)列，求的解析式：（3）是否存在等差數(shù)列，使得對一切都成立？若存在，求出數(shù)列的通項公式：若不存在，請說明理由.22．（10分）如圖，三棱柱中，，，（1）證明：；（2）若平面

平面，，求點(diǎn)到平面的距離．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

判斷函數(shù)的奇偶性，排除B，確定時函數(shù)值的正負(fù)，排除C，再由時函數(shù)值的變化趨勢排除D．從而得正確結(jié)論．【題目詳解】因為是偶函數(shù)，排除B，當(dāng)時，，，排除C，當(dāng)時，排除D.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查由解析式選圖象，可能通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等排除一些選項，通過特殊的函數(shù)值、特殊點(diǎn)如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，函數(shù)值的正負(fù)等排除一些，再可通過函數(shù)值的變化趨勢又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一個選項就是正確選項．2、A【解題分析】

首先計算各個情況概率,利用數(shù)學(xué)期望公式得到答案.【題目詳解】故.故本題正確答案為A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了概率的計算和數(shù)學(xué)期望的計算,意在考查學(xué)生的計算能力.3、A【解題分析】分析：通過求出，再利用等差數(shù)列的求和公式即可求得答案.詳解：當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；當(dāng)時，有；…...，.故答案為：A.點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列求和以及通項公式的求法，考查計算能力與分析能力，屬于中檔題.4、D【解題分析】

求出展開式的通項公式，然后進(jìn)行化簡，最后讓的指數(shù)為零，最后求出常數(shù)項.【題目詳解】解:，令得展開式中常數(shù)項為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了求二項式展開式中常數(shù)項問題，運(yùn)用二項式展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵.5、D【解題分析】

函數(shù)滿足，，令，則，由，得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為.又在單調(diào)遞增，既無極大值也無極小值，故選D.考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的求導(dǎo)法則.【方法點(diǎn)睛】本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導(dǎo)法則，屬于難題.求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進(jìn)行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準(zhǔn)確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關(guān)鍵；解這類不等式的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù).本題通過觀察導(dǎo)函數(shù)的“形狀”，聯(lián)想到函數(shù)，再結(jié)合條件判斷出其單調(diào)性，進(jìn)而得出正確結(jié)論.6、D【解題分析】

由空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)依次對選項進(jìn)行判斷，由此得到答案。【題目詳解】兩條直線沒有公共點(diǎn)有平行和異面兩種情形，故A，B錯；對于C，還存在的情形：由線面垂直的性質(zhì)可得D對，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生對空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的理解與掌握，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題。7、B【解題分析】

探尋規(guī)律，利用等差數(shù)列求和進(jìn)行判斷【題目詳解】由題意得底數(shù)是的數(shù)分裂成個奇數(shù)，底數(shù)是的數(shù)分裂成個奇數(shù)，底數(shù)是的數(shù)分裂成個奇數(shù)，則底數(shù)是數(shù)分裂成個奇數(shù)，則共有個奇數(shù)，是從開始的第個奇數(shù)，，第個奇數(shù)是底數(shù)為的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個，即，故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)字的變化，找出其中的規(guī)律，運(yùn)用等差數(shù)列求出奇數(shù)的個數(shù)，然后進(jìn)行匹配，最終還是考查了數(shù)列的相關(guān)知識。8、B【解題分析】

設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7==181，解得a1=1．故選B．9、D【解題分析】

先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再求三角形的面積得解.【題目詳解】當(dāng)x=0時，y=2,當(dāng)y=0時，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、B【解題分析】分析：由題意可知數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，得詳解：數(shù)列為調(diào)和數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式得，由等差數(shù)列的性質(zhì)故選B點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，通過合理的轉(zhuǎn)化建立起已知條件和考點(diǎn)之間的聯(lián)系是解題關(guān)鍵.11、A【解題分析】

先判斷和成立的條件，然后根據(jù)充分性和必要性的定義可以選出正確答案.【題目詳解】成立時，需要；成立時，需要，顯然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分不必要條件的判斷，掌握對數(shù)的真數(shù)大于零這個知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.12、D【解題分析】分析：首先根據(jù)題意，求得函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上的解析式，之后在同一個坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖像，之后將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)曲線交點(diǎn)的個數(shù)問題，結(jié)合圖形，得到結(jié)果.詳解：當(dāng)時，，，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出的圖像，動直線過定點(diǎn)，當(dāng)再過時，斜率，由圖象可知當(dāng)時，兩圖象有兩個不同的交點(diǎn)，從而有兩個不同的零點(diǎn)，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的問題，在解題的過程中，需要先確定函數(shù)的解析式，之后在同一個坐標(biāo)系內(nèi)畫出相應(yīng)的曲線，將函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)個數(shù)來解決，非常直觀，在做題的時候，需要把握動直線中的定因素.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.8【解題分析】

直接根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到答案.【題目詳解】隨機(jī)變量，故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布，意在考查學(xué)生對于正態(tài)分布對稱性的靈活運(yùn)用.14、【解題分析】

由正態(tài)分布的對稱性可知與關(guān)于對稱，從而列方程求解即可.【題目詳解】隨機(jī)變量，其正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，由于，所以與關(guān)于對稱.，解得：.【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布曲線的對稱性及概率的簡單計算.15、【解題分析】

先將對任意，恒成立，轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性，分別研究對任意恒成立，和對任意恒成立，即可求出結(jié)果.【題目詳解】等價于，即，①先研究對任意恒成立，即對任意恒成立，∵，當(dāng)且僅當(dāng)“”時取等號，∴；②再研究對任意恒成立，即對任意恒成立，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴；綜上，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，熟記基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性即可，屬于常考題型.16、【解題分析】

在二項展開式中分別令和,然后兩個等式相減可得.【題目詳解】解：令，得：①令，得②①②可得所以:.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用二項展開式賦值求系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）平面，得到，，為的中點(diǎn).（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸距離空間直角坐標(biāo)系，計算各個點(diǎn)坐標(biāo)，平面的法向量為，利用向量夾角公式得到答案.【題目詳解】解:⑴證明：如圖，設(shè)，為正方形，為的中點(diǎn)，連接平面，平面，平面平面，則，即為的中點(diǎn)；（2）解：取中點(diǎn)，，，平面平面，且平面平面，平面，則，連接，則，由是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，可得，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸距離空間直角坐標(biāo)系由，，得，，，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則由，得，取，得.，直線與平面所成角的正弦值為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面平行，線面夾角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.18、（1）5.3155；（5）6.5.【解題分析】試題分析：第一問根據(jù)頻率公式求得a=0.5,b=0.3，第二問在做題的過程中，利用題的條件確定銷售量為1．5噸的頻率為0.5，可以判斷出銷售量為1．5噸的天數(shù)服從于二項分布，利用公式求得結(jié)果，第二小問首先確定出兩天的銷售量以及與之對應(yīng)的概率，再根據(jù)銷售量與利潤的關(guān)系，求得的分布列和，利用離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望公式求得結(jié)果．試題解析：（1）由題意知：a=5．5，b=5．3．①依題意，隨機(jī)選取一天，銷售量為1．5噸的概率p=5．5，設(shè)5天中該種商品有X天的銷售量為1．5噸，則X～B（5，5．5），．②兩天的銷售量可能為5,5．5,3,3．5,5．所以的可能取值為5，5，6，7，8，則：，，，，，的分布列為：ξ

5

5

6

7

8

P

5．55

5．5

5．37

5．3

5．59

．考點(diǎn)：獨(dú)立重復(fù)實驗，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望．19、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

（I）先依題意預(yù)測出高三的6次考試成績，由平均數(shù)的公式，分別計算即可;（Ⅱ）由題意先寫出隨機(jī)變量的取值，以及對應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望.【題目詳解】（I）由已知，預(yù)測高三的6次考試成績?nèi)缦拢旱?次考試第2次考試第3次考試第4次考試第5次考試第6次考試甲7886899698100乙8185929496100甲高三的6次考試平均成績?yōu)椋腋呷?次考試平均成績?yōu)樗灶A(yù)測：在將要進(jìn)行的高三6次測試中，甲、乙兩個學(xué)生的平均成績分別約為91，91.（Ⅱ）因為為高三的任意一次考試后甲、乙兩個學(xué)生的當(dāng)次成績之差的絕對值，所以=0，1，2，3所以，，，.所以的分布列為0123所以【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平均數(shù)的計算以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于基礎(chǔ)題型.20、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：⑴先求出，繼而，令代入得⑵構(gòu)造，然后利用已知代入證明詳解：（Ⅰ）是偶函數(shù)由已知得，∴，，∴，即，所以是偶函數(shù).（Ⅱ）設(shè)，則，∴所以，所以在上為增函數(shù).因為，又是偶函數(shù)，所以有，解得∴不等式