北京東城55中2024屆數(shù)學高二第二學期期末經典模擬試題含解析

北京東城55中2024屆數(shù)學高二第二學期期末經典模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設橢圓的左、右焦點分別為，其焦距為，點在橢圓的內部，點是橢圓上的動點，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．2．設，為的展開式的第一項（為自然對數(shù)的底數(shù)），,若任取，則滿足的概率是（）A． B． C． D．3．設，是拋物線上兩點，拋物線的準線與軸交于點，已知弦的中點的橫坐標為3，記直線和的斜率分別為和，則的最小值為（）A． B．2 C． D．14．若曲線，在點處的切線分別為，且，則的值為（）A． B．2 C． D．5．已知直線經過拋物線的焦點，與交于兩點，若，則的值為（）A． B． C．1 D．26．已知函數(shù)，若且對任意的恒成立，則的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．雙曲線的左焦點，過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為，則橢圓C的離心率為()A． B． C． D．8．下列三個數(shù)：，，，大小順序正確的是（）A． B． C． D．9．如圖，表示三個開關，設在某段時間內它們正常工作的概率分別是0.9、0.8、0.7，那么該系統(tǒng)正常工作的概率是（）．A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.49610．一個隨機變量的分布列如圖，其中為的一個內角，則的數(shù)學期望為（）A． B． C． D．11．空氣質量指數(shù)是一種反映和評價空氣質量的方法，指數(shù)與空氣質量對應如下表所示：0～5051～100101～150151～200201～300300以上空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染如圖是某城市2018年12月全月的指數(shù)變化統(tǒng)計圖．根據統(tǒng)計圖判斷，下列結論正確的是（）A．整體上看，這個月的空氣質量越來越差B．整體上看，前半月的空氣質量好于后半月的空氣質量C．從數(shù)據看，前半月的方差大于后半月的方差D．從數(shù)據看，前半月的平均值小于后半月的平均值12．若的展開式的各項系數(shù)和為32，則實數(shù)a的值為（）A．-2 B．2 C．-1 D．1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是．14．已知某運動員每次投籃命中的概率都為.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出到之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了組隨機數(shù)：據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________.15．若一個圓錐的母線長是底面半徑的3倍，則該圓錐的側面積是底面積的_________倍；16．正項等比數(shù)列中，，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二項式展開式中的第7項是常數(shù)項.(1)求；(2)求展開式中有理項的個數(shù).18．（12分）已知某條有軌電車運行時，發(fā)車時間間隔（單位：分鐘）滿足：，.經測算，電車載客量與發(fā)車時間間隔滿足：，其中.（1）求，并說明的實際意義；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘最大凈收益.19．（12分）設函數(shù).（1）解不等式；（2）若關于的不等式解集是空集，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O為AC的中點，PO⊥平面ABCD，PO=1，M為PD的中點.（Ⅰ）證明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）設直線AM與平面ABCD所成的角為α，二面角M—AC—B的大小為β，求sinα·cosβ的值.21．（12分）已知直線的參數(shù)方程是，在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設直線與軸的交點是，是曲線上一動點，求的最大值.22．（10分）數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由題設可得，即，解之得，即；結合圖形可得，即，應選答案B。點睛：解答本題的關鍵是建構不等式（組），求解時先依據題設條件，將點代入橢圓方程得到，即，解之得，從而求得，然后再借助與橢圓的幾何性質，建立了不等式，進而使得問題獲解。2、D【解題分析】分析：由已知求得m，畫出A表示的平面區(qū)域和滿足ab＞1表示的平面區(qū)域，求出對應的面積比即可得答案．詳解:由題意，s=，∴m==，則A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，畫出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面區(qū)域，任?。╝，b）∈A，則滿足ab＞1的平面區(qū)域為圖中陰影部分，如圖所示：計算陰影部分的面積為S陰影==（x﹣lnx）=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣1．所求的概率為P=，故答案為：D．點睛：（1）本題主要考查幾何概型，考查定積分和二項式定理，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(1)解答本題的關鍵是利用定積分求陰影部分的面積.3、D【解題分析】

設，運用點差法和直線的斜率公式和中點坐標公式，可得，再由基本不等式可得所求最小值．【題目詳解】設，可得，相減可得，可得，又由，所以，則，當且僅當時取等號，即的最小值為.故選：D．【題目點撥】本題主要考查了拋物線的方程和性質，考查直線的斜率公式和點差法的運用，以及中點坐標公式，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．4、A【解題分析】試題分析：因為，則f′（1）=，g′（1）=a，又曲線a在點P（1，1）處的切線相互垂直，所以f′（1）?g′（1）=-1，即，所以a=-1．故選A．考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．5、B【解題分析】試題分析：因為拋物線的焦點為，則由題意，得①．又由，得，所以②，由①②得，故選B．考點：1、直線與拋物線的位置關系；2、弦長公式．6、B【解題分析】分析：問題轉化為對任意恒成立，求正整數(shù)的值．設函數(shù)，求其導函數(shù)，得到其導函數(shù)的零點位于內，且知此零點為函數(shù)的最小值點，經求解知，從而得到0，則正整數(shù)的最大值可求．．詳解：因為，所以對任意恒成立，

即問題轉化為對任意恒成立．

令，則令，則，

所以函數(shù)在上單調遞增．

因為

所以方程在上存在唯一實根，且滿足．

當時，，

即，當時，，即，

所以函數(shù)在上單調遞減，

在上單調遞增．

所以所以

因為），

故整數(shù)的最大值是3，

故選：B．點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間，考查了數(shù)學轉化思想，解答此題的關鍵是，如何求解函數(shù)的最小值，屬難題．7、B【解題分析】

求出直線方程,利用過過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為列出方程求解即可.【題目詳解】雙曲線的左焦點過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為,可得：,可得:則雙曲線的離心率為:故選:B.【題目點撥】本題考查雙曲線的簡單性質的應用,直線與圓的位置關系的應用,考查離心率的求法,考查計算能力.8、A【解題分析】

將與化成相同的真數(shù)，然后利用換底公式與對數(shù)函數(shù)的單調性比較的大小，然后再利用中間量比較的大小，從而得出三者的大小．【題目詳解】解：因為，且，所以，因為，所以．故選A．【題目點撥】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．9、B【解題分析】

由題中意思可知，當、元件至少有一個在工作，且元件在工作時，該系統(tǒng)正常公式，再利用獨立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率．【題目詳解】由題意可知，該系統(tǒng)正常工作時，、元件至少有一個在工作，且元件在元件，當、元件至少有一個在工作時，其概率為，由獨立事件的概率乘法公式可知，該系統(tǒng)正常工作的概率為，故選B．【題目點撥】本題考查獨立事件的概率乘法公式，解題時要弄清楚各事件之間的關系，在處理至少等問題時，可利用對立事件的概率來計算，考查計算能力，屬于中等題．10、D【解題分析】

利用二倍角的余弦公式以及概率之和為1，可得，然后根據數(shù)學期望的計算公式可得結果.【題目詳解】由，得，所以或(舍去)則，故選：D【題目點撥】本題考查給出分布列，數(shù)學期望的計算，掌握公式，細心計算，可得結果.11、C【解題分析】

根據題意可得，AQI指數(shù)越高，空氣質量越差；數(shù)據波動越大，方差就越大，由此逐項判斷，即可得出結果.【題目詳解】從整體上看，這個月AQI數(shù)據越來越低，故空氣質量越來越好；故A，B不正確；從AQI數(shù)據來看，前半個月數(shù)據波動較大，后半個月數(shù)據波動小，比較穩(wěn)定，因此前半個月的方差大于后半個月的方差，所以C正確；從AQI數(shù)據來看，前半個月數(shù)據大于后半個月數(shù)據，因此前半個月平均值大于后半個月平均值，故D不正確．故選C．【題目點撥】本題主要考查樣本的均值與方差，熟記方差與均值的意義即可，屬于基礎題型.12、D【解題分析】

根據題意，用賦值法，在中，令可得，解可得a的值，即可得答案．【題目詳解】根據題意，的展開式的各項系數(shù)和為32，令可得：，解可得：，故選：D．【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，注意特殊值的應用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、．【解題分析】試題分析：由三視圖可得幾何體為正方體挖去一個圓錐：則：，．得體積為：考點：三視圖與幾何體的體積．14、0.25【解題分析】由題意知模擬三次投籃的結果，經隨機模擬產生了如下20組隨機數(shù)，在20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有：191、271、932、812、393.共5組隨機數(shù)，∴所求概率為.答案為：0.25.15、1；【解題分析】

分別計算側面積和底面積后再比較．【題目詳解】由題意，，，∴．故答案為1．【題目點撥】本題考查圓錐的側面積，掌握側面積計算公式是解題關鍵．屬于基礎題．16、1【解題分析】分析：根據等比數(shù)列的性質求解詳解：點睛：等比數(shù)列的性質：若，則。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）展開式中的有理項共有3項【解題分析】

（1）根據二項展開式的通項以及第項是常數(shù)項計算的值；（2）根據二項展開式的通項，考慮未知數(shù)的指數(shù)為整數(shù)的情況，然后判斷有理項的項數(shù).【題目詳解】解：（1）二項式展開式的通項為第7項為常數(shù)項，（2）由（1）知，若為有理項，則為整數(shù)，為6的倍數(shù)，，共三個數(shù)，展開式中的有理項共有3項.【題目點撥】本題考查二項展開式的通項的應用，難度一般.二項展開式中的有理項的分析的主要依據是：未知數(shù)的指數(shù)為整數(shù)；二項展開式中的常數(shù)項的分析的主要依據是：未知數(shù)的指數(shù)為.18、（1），實際意義是當電車的發(fā)車時間間隔為5分鐘時，載客量為350；（2）間隔時間為5分鐘時凈收益最大，每分鐘最大凈收益為60元.【解題分析】

（1）根據的解析式代入求得,其意義為某一時刻的載客量.（2）將的解析式代入即可求得的解析式.根據基本不等式性質及函數(shù)單調性可求得收益的最大值及取得最大收益時的間隔發(fā)車時間.【題目詳解】（1）因為所以的實際意義是當電車的發(fā)車時間間隔為5分鐘時,載客量為（2）根據,則將的解析式代入的解析式可得化簡即可得當時,,當且僅當時等號成立當時,,當時等號成立綜上可知,當發(fā)車時間間隔為時,線路每分鐘的收益最大,最大為元.【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)的應用,利用基本不等式及函數(shù)的單調性求最值,屬于基礎題.19、（1）；（2）或．【解題分析】分析：（1）利用零點討論法解不等式。（2）先求，再解不等式得解.詳解：（1）由，得或或，解得，即解集為.（2）∵的解集為空集，∴，而，∴，即或.點睛：（1）本題主要考查絕對值不等式的解法，考查絕對值的三角不等式和不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)絕對值三角不等式常用來求最值.20、（1）證明見解析（2）【解題分析】試題分析：（1）連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，由O為AC的中點，知O為BD的中點，再由M為PD的中點，知PB∥MO，由此能夠證明PB∥平面ACM．（2）取DO中點N，連接MN，AN，由M為PD的中點，知MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，故∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，由此能求出直線AM與平面ABCD所成角的正切值．（1）證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，∵O為AC的中點，∴O為BD的中點，又∵M為PD的中點，∴PB∥MO，∵PB?平面ACM，MO?平面ACM，∴PB∥平面ACM．（2）解：取DO中點N，連接MN，AN，∵M為PD的中點，∴MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，∵AD=1，AO=，∠DAO=90°，∴DO=，∴AN=，在Rt△ANM中，tan∠MAN===，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為．考點：直線與平