2024屆湖南省邵陽市邵東縣第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

2024屆湖南省邵陽市邵東縣第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（）．A． B．C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）A． B． C． D．3．同學(xué)聚會(huì)時(shí)，某宿舍的4位同學(xué)和班主任老師排隊(duì)合影留念，其中宿舍長必須和班主任相鄰，則5人不同的排法種數(shù)為（）A．48 B．56 C．60 D．1204．設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為（）A．60 B．65 C．80 D．815．下列命題正確的是（）A．若，則B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“”、“”、“”中至少有一個(gè)為假命題D．“若，則，全為0”的逆否命題是“若，全不為0，則”6．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊在直線上，則（）A． B． C． D．7．直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知：，且，，則A． B． C． D．9．已知恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．011．已知隨機(jī)變量X~Bn,p，且EX=2.4,DA．6，0.4. B．8，0.3 C．12，0.2 D．5，0.612．某校學(xué)生一次考試成績X（單位：分）服從正態(tài)分布N（110，102），從中抽取一個(gè)同學(xué)的成績?chǔ)?，記“該同學(xué)的成績滿足90＜ξ≤110”為事件A，記“該同學(xué)的成績滿足80＜ξ≤100”為事件B，則在A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率P（B|A）＝（）附：X滿足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下列命題中①已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；②已知，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線右邊一支；③兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于；④在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；⑤設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是橢圓.正確的命題是__________．14．設(shè)向量，且，則實(shí)數(shù)的值是_______；15．設(shè)某同學(xué)選擇等級考科目時(shí)，選擇物理科目的概率為0.5，選擇化學(xué)科目的概率為0.6，且這兩個(gè)科目的選擇相互獨(dú)立，則該同學(xué)在這兩個(gè)科目中至少選擇一個(gè)的概率是________16．已知條件：；條件：，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的長軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，過作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記橢圓的左頂點(diǎn)為，直線，的斜率分別為，，且，求實(shí)數(shù)的值.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論在上的單調(diào)性；（2）若對恒成立，求正整數(shù)的最小值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它與曲線C：（y－2）2－x2＝1交于A、B兩點(diǎn)．（1）求|AB|的長；（2）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求直線與曲線的普通方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線的傾斜角范圍為，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，求的最小值.21．（12分）隨著電商的快速發(fā)展，快遞業(yè)突飛猛進(jìn)，到目前，中國擁有世界上最大的快遞市場.某快遞公司收取快遞費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)10元；重量超過的包裹，在收費(fèi)10元的基礎(chǔ)上，每超過（不足，按計(jì)算）需再收5元.該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下：公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.（1）計(jì)算該公司未來5天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101~300之間的概率；（2）①估計(jì)該公司對每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；②根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，其余的用作其他費(fèi)用.目前前臺有工作人員3人，每人每天攬件不超過150件，日工資100元.公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減1人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，若你是決策者，是否裁減工作人員1人？22．（10分）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N試問：在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得直線QM與直線QN的斜率的和為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：判斷的奇偶性，在上的單調(diào)性，計(jì)算的值，結(jié)合選項(xiàng)即可得出答案.詳解：設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，排除B；由當(dāng)時(shí)，，排除D；因?yàn)椋院瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，排除C，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，其中解答中涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的應(yīng)用，試題有一定綜合性，屬于中檔試題，著重考查了分析問題和解答問題的能力.2、B【解題分析】

根據(jù)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的情況，計(jì)算得到答案.【題目詳解】因?yàn)?，故第一步?yīng)驗(yàn)證的情況，即.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對于數(shù)學(xué)歸納法的理解和掌握.3、A【解題分析】

采用捆綁法，然后全排列【題目詳解】宿舍長必須和班主任相鄰則有種可能，然后運(yùn)用捆綁法，將其看成一個(gè)整體，然后全排列，故一共有種不同的排法故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列中的位置問題，運(yùn)用捆綁法來解答即可，較為基礎(chǔ)4、D【解題分析】由題意可得，成立，需要分五種情況討論：當(dāng)時(shí)，只有一種情況，即；當(dāng)時(shí)，即，有種；當(dāng)時(shí)，即，有種；當(dāng)時(shí)，即，有種當(dāng)時(shí)，即，有種，綜合以上五種情況，則總共為：種，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了創(chuàng)新型問題，往往涉及方程，不等式，函數(shù)等，對涉及的不同內(nèi)容，先要弄清題意，看是先分類還是先步，再處理每一類或每一步，本題抓住只能取相應(yīng)的幾個(gè)整數(shù)值的特點(diǎn)進(jìn)行分類，對于涉及多個(gè)變量的排列，組合問題，要注意分類列舉方法的運(yùn)用，且要注意變量取值的檢驗(yàn)，切勿漏掉特殊情況.5、C【解題分析】分析：根據(jù)命題條件逐一排除求解即可.詳解：A.若，則,當(dāng)a為0時(shí)此時(shí)結(jié)論不成立，故錯(cuò)誤；B.“”是“”的必要不充分條件，當(dāng)x=4時(shí)成立，故正確結(jié)論應(yīng)是充分不必要；D.“若，則，全為0”的逆否命題是“若，全不為0，則”應(yīng)該是若，不全為0，故錯(cuò)誤，所以綜合可得選C點(diǎn)睛：考查對命題的真假判定，此類題型逐一對答案進(jìn)行排除即可，但注意思考的全面性不可以掉以輕心，屬于易錯(cuò)題.6、A【解題分析】

根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系求出tanθ的值，原式利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，將tanθ的值代入計(jì)算即可求出值．【題目詳解】解：由已知可得，tanθ＝2，則原式1．故選A．【題目點(diǎn)撥】此題考查了誘導(dǎo)公式的作用，三角函數(shù)的化簡求值，以及直線斜率與傾斜角的關(guān)系，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．7、B【解題分析】

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值.【題目詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè),則、、、、，，、，設(shè)異面直線與所成角為，則，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間向量法求異面直線所成的角，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】分析：由題目條件，得隨機(jī)變量x的均值和方差的值，利用即可得出結(jié)論．．詳解：由題意，

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的參數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題，正態(tài)分布涉及到連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度，是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，也是自然界最常見的一種分布．9、A【解題分析】分析：先設(shè)，再求導(dǎo)求出函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最小值，再數(shù)形結(jié)合分析得到a的取值范圍.詳解：設(shè)所以當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.,當(dāng)a<0時(shí)，y=a(2x-1)單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾.當(dāng)a=0時(shí)，，與矛盾.當(dāng)a>0時(shí)，.直線y=a(2x-1)過點(diǎn)（）.設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)的曲線的切線方程為.又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)（），所以，解得故切線的斜率k=或k=.所以即a∈，故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是求出過點(diǎn)（）的切線的斜率k=或k.10、C【解題分析】

由f（x）為偶函數(shù)，得，化簡成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0對恒成立，從而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【題目詳解】若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），即；得對恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查偶函數(shù)的定義，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，平方差公式，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

由題意知隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的公式，得到關(guān)于n和p的方程組，求解即可．【題目詳解】解：∵X服從二項(xiàng)分布B~(n,p)由E可得1-p=1.44∴p=0.4，n=2.4故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的分布列和期望的簡單應(yīng)用，通過解方程組得到要求的變量，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】

利用條件概率公式，即可得出結(jié)論.【題目詳解】由題意，，，所以，故選A項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，正態(tài)分布的簡單應(yīng)用，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③【解題分析】①中，根據(jù)，化簡得：，所以點(diǎn)P的軌跡是個(gè)圓；②因?yàn)?所以根據(jù)雙曲線的的定義，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線右支，正確；③根據(jù)相關(guān)性定義，正確；④因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，不符合拋物線定義，錯(cuò)誤；⑤因?yàn)?，且?dāng)時(shí)取等號，不符合橢圓的定義，錯(cuò)誤.綜上正確的是①②③.14、2【解題分析】

由條件利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)求得x的值．【題目詳解】解：∵，，且，∴2x＝，即x＝2故答案為2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15、0.8【解題分析】

根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式,及對立事件的概率求法,即可求解.【題目詳解】因?yàn)檫x擇物理科目的概率為0.5,選擇化學(xué)科目的概率為0.6,所以既不選擇物理也不選擇化學(xué)的概率為所以由對立事件的性質(zhì)可知至少選擇一個(gè)科目的概率為故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立事件的概率求法,對立事件的性質(zhì)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】分析：條件化為，化為，由是的必要不充分條件，根據(jù)包含關(guān)系列不等式求解即可.詳解：條件，化為，解得，，解得，若是的必要不充分條件，則是的充分不必要條件，，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查絕對值不等式的解法、一元二次不等式的解法以及充分條件與必要條件的定義，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）或；（Ⅱ）1.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置的不同進(jìn)行分類討論，利用長軸長和離心率可以求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）由，可以確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，過作直線可以分為二類，一類是沒有斜率，一類有斜率，分別討論，直線沒有斜率時(shí)，可直接求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用，可以求出點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)存在斜率時(shí)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合等式，也可以求出點(diǎn)坐標(biāo)，也就求出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】（I）當(dāng)時(shí)，由得，；當(dāng)時(shí)，由得，.所以橢圓C的方程為或.（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為，則由得兩點(diǎn).所以，即得（舍去）或.直線l的斜率存在時(shí)，l的方程設(shè)為設(shè)，，聯(lián)立，消去y得（*），所以，，而，，化簡得，即，顯然，所以，解得或（舍去），對時(shí)，方程（*）的，所以，故綜上得所求實(shí)數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，利用根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知等式是解題的關(guān)鍵，本題易忽略直線不存在斜率這種情況.18、(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2)5.【解題分析】分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分類討論即可；（2）∵對恒成立，∴，解得或，則正整數(shù)的最小值為.即只需要證明當(dāng)時(shí)，對恒成立即可.詳解：（1），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)或時(shí)，，在單調(diào)遞減.當(dāng)且時(shí)，令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵對恒成立.∴，解得或，則正整數(shù)的最小值為.下面證明當(dāng)時(shí)，對恒成立，過程如下：當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.故，從而對恒成立.故整數(shù)的最小值為.點(diǎn)睛：不等式的證明問題，可以從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合已有的知識利用轉(zhuǎn)化與化歸思想.19、（1）；（2）【解題分析】試題分析：（1）直線的參數(shù)方程是標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，因此可把直線參數(shù)方程代入曲線的方程，由利用韋達(dá)定理可得；（2）把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，知為直線參數(shù)方程的定點(diǎn)，因此利用參數(shù)的幾何意義可得．試題解析：（1）把直線的參數(shù)方程對應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡得7t2+60t﹣125=0設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則．∴．（2）由P的極坐標(biāo)為，可得，．∴點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（﹣2，2），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)為．∴由t的幾何意義可得點(diǎn)P到M的距離為．點(diǎn)睛：過點(diǎn)，傾斜角為的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為參數(shù)），其中直線上任一點(diǎn)參數(shù)的參數(shù)具有幾何意義：，且方向向上時(shí)，為正，方向向下時(shí)，為負(fù)．20、（1）；（2）【解題分析】

（1）當(dāng)，可得直線的參數(shù)方程為，消掉參數(shù)，即可求得直線的普通方程，由的參數(shù)方程為，可得，根據(jù)即可求得答案；（2）將直線的參數(shù)方程，代入圓的方程得，根據(jù)韋達(dá)定理和直線參數(shù)的幾何意義，即可求得答案；【題目詳解】（1）直線的參數(shù)方程為，消掉參數(shù)可得直線的普通方程為，的參數(shù)方程為（為參數(shù)）可得曲線的普通方程為.（2）將直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入圓的方程得，易知，設(shè)所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程和利用直線參數(shù)方程幾何意義求弦長問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)直線的參數(shù)方程求弦長問題時(shí)，一般與韋達(dá)定理相結(jié)合，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.21、（1）（2）①平均值可估計(jì)為15元.②公司不應(yīng)將前臺工作人員裁員1人.【解題分析】分析：（1）利用古典概型概率公式可估計(jì)樣本中包裹件數(shù)在之間的概率為，服從二項(xiàng)分布，從而可得結(jié)果；（2）①整理所給數(shù)據(jù)，直接利用平均值公式求解即可；②若不裁員，求出公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，若裁員一人，求出公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，比較裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望即可得結(jié)果.詳解：（1）樣本中包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)為36，頻率，故可估計(jì)概率為，顯然未來5天中，包裹件數(shù)在101~300之間的天數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，故所求概率為（2）①樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量（單位：）12345快遞費(fèi)（單位：元）1015202530包裹件數(shù)43301584故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為，故該公司對每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計(jì)為15元.②根據(jù)題意及（2）①，攬件數(shù)每增加1，公司快遞收入增加15（元），若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實(shí)際攬件數(shù)50150250350450頻率0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故公司平均每日利潤的期望值為（元）；若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實(shí)際攬件數(shù)50150250300300頻率0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235故公司平均每日利潤的期望值為（元）因，故公司不應(yīng)將前臺工作人員裁員1人.點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：①“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；②“探求概率