江蘇省高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 理科附加題 第3講 計數(shù)原理與二項式定理練習(xí)-人教版高三數(shù)學(xué)試題

第3講計數(shù)原理與二項式定理eq\a\vs4\al(課后自測診斷——及時查漏補(bǔ)缺·備考不留死角)1．記eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))n的展開式中第m項的系數(shù)為bm.(1)求bm的表達(dá)式；(2)若n＝6，求展開式中的常數(shù)項；(3)若b3＝2b4，求n.解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))n的展開式中第m項為Ceq\o\al(m－1,n)·(2x)n－m＋1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))m－1＝2n＋1－m·Ceq\o\al(m－1,n)·xn＋2－2m，所以bm＝2n＋1－m·Ceq\o\al(m－1,n).(2)當(dāng)n＝6時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))n的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(2x)6－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝26－r·Ceq\o\al(r,6)·x6－2r.依題意，6－2r＝0，得r＝3，故展開式中的常數(shù)項為T4＝23·Ceq\o\al(3,6)＝160.(3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n－2·Ceq\o\al(2,n)＝2·2n－3·Ceq\o\al(3,n)，從而Ceq\o\al(2,n)＝Ceq\o\al(3,n)，即n＝5.2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n＋1.等式(x2＋2x＋2)10＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)2＋…＋b20(x＋1)20，其中bi(i＝0,1,2，…，20)為實常數(shù)．(1)求eq\i\su(n＝1,10,b)2n的值；(2)求eq\i\su(n＝1,10,a)nb2n的值．解：法一：(1)令x＝－1，得b0＝1，令x＝0，得b0＋b1＋b2＋…＋b20＝210＝1024，令x＝－2，得b0－b1＋b2－b3＋…－b19＋b20＝210＝1024，所以eq\i\su(n＝1,10,b)2n＝b2＋b4＋b6＋…＋b20＝1023.(2)對等式兩邊求導(dǎo)，得20(x＋1)(x2＋2x＋2)9＝b1＋2b2(x＋1)＋3b3(x＋1)2＋…＋20b20(x＋1)19，令x＝0，得b1＋2b2＋…＋20b20＝20×29＝10240，令x＝－2，得b1－2b2＋3b3－4b4＋…＋19b19－20b20＝－20×29＝－10240，所以eq\i\su(n＝1,10,n)b2n＝eq\f(1,2)(2b2＋4b4＋6b6＋…＋20b20)＝5120.所以eq\i\su(n＝1,10,a)nb2n＝eq\i\su(n＝1,10,)(n＋1)b2n＝eq\i\su(n＝1,10,n)b2n＋eq\i\su(n＝1,10,b)2n＝5120＋1023＝6143.法二：由二項式定理易知(x2＋2x＋2)10＝[1＋(x＋1)2]10＝Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)(x＋1)2＋Ceq\o\al(2,10)(x＋1)4＋…＋Ceq\o\al(10,10)(x＋1)20＝b0＋b1(x＋1)＋b2(x＋1)2＋…＋b20(x＋1)20，比較可知b2n＝Ceq\o\al(n,10)(n＝1,2，…，10)．(1)eq\i\su(n＝1,10,b)2n＝Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210－1＝1023.(2)因為an＝n＋1,所以eq\i\su(n＝1,10,a)nb2n＝eq\i\su(n＝1,10,)(n＋1)Ceq\o\al(n,10)＝eq\i\su(n＝1,10,n)Ceq\o\al(n,10)＋eq\i\su(n＝1,10,C)eq\o\al(n,10)，設(shè)T＝eq\i\su(n＝1,10,n)Ceq\o\al(n,10)＝0·Ceq\o\al(0,10)＋1·Ceq\o\al(1,10)＋2·Ceq\o\al(2,10)＋…＋10·Ceq\o\al(10,10)，T也可以寫成T＝eq\i\su(n＝1,10,n)Ceq\o\al(n,10)＝0·C1010＋1·C910＋2·C810＋…＋10·Ceq\o\al(0,10)，相加得2T＝10·210，即T＝5·210，所以eq\i\su(n＝1,10,a)nb2n＝eq\i\su(n＝1,10,n)Ceq\o\al(n,10)＋eq\i\su(n＝1,10,C)eq\o\al(n,10)＝5·210＋210－1＝6143.3．(1)閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(4,4).【案例】考察恒等式(1＋x)5＝(1＋x)2(x＋1)3左右兩邊x2的系數(shù)．因為右邊(1＋x)2(x＋1)3＝(Ceq\o\al(0,2)＋Ceq\o\al(1,2)x＋Ceq\o\al(2,2)x2)(Ceq\o\al(0,3)x3＋Ceq\o\al(1,3)x2＋Ceq\o\al(2,3)x＋Ceq\o\al(3,3))，所以右邊x2的系數(shù)為Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,3)，而左邊x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)，所以Ceq\o\al(0,2)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(2,5).(2)求證：eq\i\su(r＝0,n,)(r＋1)2(Ceq\o\al(r,n))2－n2Ceq\o\al(n－1,2n－2)＝(n＋1)Ceq\o\al(n,2n).解：(1)考察恒等式(1＋x)7＝(1＋x)3(x＋1)4左右兩邊x3的系數(shù)．因為右邊(1＋x)3(x＋1)4＝(Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,3)x＋Ceq\o\al(2,3)x2＋Ceq\o\al(3,3)x3)·(Ceq\o\al(0,4)x4＋Ceq\o\al(1,4)x3＋Ceq\o\al(2,4)x2＋Ceq\o\al(3,4)x＋Ceq\o\al(4,4))，所以右邊x3的系數(shù)為Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(4,4)，而左邊x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,7)，所以Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(3,7).(2)證明：由rCeq\o\al(r,n)＝r·eq\f(n！,r！n－r！)＝n·eq\f(n－1！,r－1！n－r！)＝nCeq\o\al(r－1,n－1)，可得eq\i\su(r＝0,n,)(r＋1)2(Ceq\o\al(r,n))2＝eq\i\su(r＝0,n,)(rCeq\o\al(r,n))2＋eq\i\su(r＝0,n,2)r(Ceq\o\al(r,n))2＋eq\i\su(r＝0,n,)(Ceq\o\al(r,n))2＝n2eq\i\su(r＝1,n,)(Ceq\o\al(r－1,n－1))2＋2neq\i\su(r＝1,n,C)eq\o\al(r－1,n－1)·Ceq\o\al(r,n)＋eq\i\su(r＝0,n,)(Ceq\o\al(r,n))2.考察恒等式(1＋x)2n＝(1＋x)n(x＋1)n左右兩邊xn的系數(shù)．因為右邊(1＋x)n(x＋1)n＝(Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn)·(Ceq\o\al(0,n)xn＋Ceq\o\al(1,n)xn－1＋…＋Ceq\o\al(n,n))，所以右邊xn的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)Ceq\o\al(n,n)＝eq\i\su(r＝0,n,)(Ceq\o\al(r,n))2，而左邊的xn的系數(shù)為Ceq\o\al(n,2n)，所以eq\i\su(r＝0,n,)(Ceq\o\al(r,n))2＝Ceq\o\al(n,2n).同理可求得eq\i\su(r＝1,n,)(Ceq\o\al(r－1,n－1))2＝Ceq\o\al(n－1,2n－2).考察恒等式(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(x＋1)n左右兩邊xn－1的系數(shù)．因為右邊(1＋x)n－1(x＋1)n＝(Ceq\o\al(0,n－1)＋Ceq\o\al(1,n－1)x＋…＋Ceq\o\al(n－1,n－1)xn－1)(Ceq\o\al(0,n)xn＋Ceq\o\al(1,n)xn－1＋…＋Ceq\o\al(n,n))，所以右邊xn－1的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n－1)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(1,n－1)Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n－1)Ceq\o\al(n,n)＝eq\i\su(r＝1,n,C)eq\o\al(r－1,n－1)·Ceq\o\al(r,n)，而左邊的xn－1的系數(shù)為Ceq\o\al(n－1,2n－1)，所以eq\i\su(r＝1,n,C)eq\o\al(r－1,n－1)·Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－1,2n－1)，所以eq\i\su(r＝0,n,)(r＋1)2(Ceq\o\al(r,n))2－n2Ceq\o\al(n－1,2n－2)＝n2Ceq\o\al(n－1,2n－2)＋2nCeq\o\al(n－1,2n－1)＋Ceq\o\al(n,2n)－n2Ceq\o\al(n－1,2n－2)＝2nCeq\o\al(n－1,2n－1)＋Ceq\o\al(n,2n)＝n(Ceq\o\al(n－1,2n－1)＋Ceq\o\al(n－1,2n－1))＋Ceq\o\al(n,2n)＝n(Ceq\o\al(n－1,2n－1)＋Ceq\o\al(n,2n－1))＋Ceq\o\al(n,2n)＝nCeq\o\al(n,2n)＋Ceq\o\al(n,2n)＝(n＋1)Ceq\o\al(n,2n).4．(2019·蘇北四市調(diào)研)在楊輝三角形中，從第3行開始，除1以外，其他每一個數(shù)值是它上面的兩個數(shù)值之和，這個三角形數(shù)陣開頭幾行如圖所示．(1)在楊輝三角形中是否存在某一行，且該行中三個相鄰的數(shù)之比為3∶4∶5？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請說明理由；(2)已知n，r為正整數(shù)，且n≥r＋3.求證：任何四個相鄰的組合數(shù)Ceq\o\al(r,n)，Ceq\o\al(r＋1,n)，Ceq\o\al(r＋2,n)，Ceq\o\al(r＋3,n)不能構(gòu)成等差數(shù)列．解：(1)楊輝三角形的第n行由二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)，k＝0,1,2，…，n組成．如果第n行中有eq\f(C\o\al(k－1,n),C\o\al(k,n))＝eq\f(k,n－k＋1)＝eq\f(3,4)，eq\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k＋1,n))＝eq\f(k＋1,n－k)＝eq\f(4,5)，那么3n－7k＝－3,4n－9k＝5，解得k＝27，n＝62.即第62行有三個相鄰的數(shù)Ceq\o\al(26,62)，Ceq\o\al(27,62)，Ceq\o\al(28,62)的比為3∶4∶5.(2)證明：若有n，r(n≥r＋3)，使得Ceq\o\al(r,n)，Ceq\o\al(r＋1,n)，Ceq\o\al(r＋2,n)，Ceq\o\al(r＋3,n)成等差數(shù)列，則2Ceq\o\al(r＋1,n)＝Ceq\o\al(r,n)＋Ceq\o\al(r＋2,n)，2Ceq\o\al(r＋2,n)＝Ceq\o\al(r＋1,n)＋Ceq\o\al(r＋3,n)，即eq\f(2n！,r＋1！n－r－1！)＝eq\f(n！,r！n－r！)＋eq\f(n！,r＋2！n－r－2！)，eq\f(2n！,r＋2！n－r－2！)＝eq\f(n！,r＋1！n－r－1！)＋eq\f(n！,r＋3！n－r－3！).有eq\f(2,r＋1n－r－1)＝eq\f(1,n－r－1n－r)＋eq\f(1,r＋1r＋2)，eq\f(2,r＋2n－r－2)＝eq\f(1,n－r－2n－r－1)＋eq\f(1,r＋2r＋3)，化簡整理得，n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.兩式相減得，n＝2r＋3，于是Ceq\o\al(r,2r＋3)，Ceq\o\al(r＋1,2r＋3)，Ceq\o\al(r＋2,2r＋3)，Ceq\o\al(r＋3,2r＋3)成等差數(shù)列．而由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知Ceq\o\al(r,2r＋3)＝Ceq\o\al(r＋3,2r＋3)＜Ceq\o\al(r＋1,2r＋3)＝Ceq\o\al(r＋2,2r＋3)，這與等差數(shù)列的性質(zhì)矛盾