2023-2024學年湘教版必修第二冊 1-6解三角形1-6-3解三角形應用舉例 學案

1．6.3解三角形應用舉例教材要點要點幾個相關概念(1)基線：在測量過程中，我們把根據測量的需要而確定的線段叫作基線．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．(2)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，把視線在水平線上方的角稱為仰角，視線在水平線下方的角稱為俯角．如圖(1)．(3)方向角：從指定方向到目標方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉60°，如圖(2)．(4)方位角：指從正北方向起按順時針轉到目標方向線所成的水平夾角．如方位角是45°，指北偏東45°，即東北方向．(5)視角：觀察物體的兩端，視線張開的夾角，如圖(3)．狀元隨筆利用正弦定理和余弦定理解決有關的實際問題時，經常涉及一些功能性的概念問題．對于這些概念，一般要結合具體問題和圖形理解．基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(2)題圖(1)東偏北45°的方向就是東北方向．()(2)如圖所示，為了測量隧道AB的長度，可測量數據a，b，γ進行計算．()(3)俯角和仰角都是對于水平線而言的．()(4)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為α＋β＝180°.()2．如圖，在高速公路建設中需要確定隧道的長度，工程技術人員已測得隧道兩端的兩點A，B到點C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點間的距離為()A．3kmB．2kmC．1.5kmD．2km3．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為()A．α＞βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°4．如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點測得樹尖的仰角分別為30°和45°，且A，B兩點之間的距離為60m，則樹的高度為()A．(30＋303)mB．(30＋153)mC．(15＋303)mD．(15＋33)m題型1測量距離問題例1海洋藍洞是地球罕見的自然地理現象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑A、B兩點間的距離，先在珊瑚群島上取兩點C、D，測得CD＝40米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°.(1)求B，D兩點的距離；(2)求A，B兩點的距離．方法歸納求距離問題時應注意的兩點(1)選定或確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則先把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．跟蹤訓練1為了測出圖中草坪邊緣A，B兩點間的距離，找到草坪邊緣的另外兩個點C與D(A，B，C，D四點共面)，測得AC＝1.6m，CD＝2m，BD＝1.8m，已知cos∠BDC＝－74，tan∠ACD＝37(1)求△ACD的面積；(2)求A，B兩點間的距離．題型2測量高度問題例2如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D.現測得∠BCD＝30°，∠BDC＝135°，CD＝50米，在點C測得塔頂A的仰角為45°，求塔高AB.方法歸納測量高度問題一般涉及仰角、俯角等，在畫圖時，要注意運用空間想象力．解題時要盡可能地尋找直角三角形，利用直角三角形中的特殊關系解決問題，避免復雜的運算．跟蹤訓練2圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對稱之美．犇犇同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為35m，在它們之間的地面上的點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，則索菲亞教堂的高度為()A．44mB．47mC．50mD．53m題型3測量角度問題例3如圖，A、B是某海域位于南北方向相距15(1＋3)海里的兩個觀測點，現位于A點北偏東45°、B點南偏東30°的C處有一艘漁船遇險后拋錨發(fā)出求救信號，位于B點正西方向且與B點相距50海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為40海里/小時．(1)求B、C兩點間的距離；(2)該救援船前往營救漁船時的目標方向線(由觀測點看目標的視線)的方向是南偏東多少度(精確到0.01°)？救援船到達C處需要多長時間？(參考數據：sin21.79°≈0.37，cos21.79°≈0.93)方法歸納解角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結果轉化為實際問題的解．跟蹤訓練3甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距anmile，乙船向正北方向行駛，若甲船的速度是乙船的3倍，則甲船應沿________方向行駛才能追上乙船；追上時甲船行駛了________nmile.易錯辨析把空間問題當作平面問題致誤例4學校里有一棵樹，甲同學在A地測得樹尖D的仰角為45°，乙同學在B地測得樹尖D的仰角為30°，量得AB＝AC＝10m，樹根部為C(A，B，C在同一水平面上)，則∠ACB＝________.解析：如圖所示，在Rt△ACD中，∵AC＝10m，∠DAC＝45°，∴DC＝10m.在Rt△DCB中，∵∠DBC＝30°，∴BC＝103m.在△ABC中，cos∠ACB＝102+1032答案：30°易錯警示易錯原因糾錯心得畫圖時，誤認為A、B、C三點在同一條線從而得到圖形：把立體圖形畫成了平面圖形致誤．解答此類問題，概括題意正確畫出“立體圖形”是求解的關鍵．課堂十分鐘1．若P在Q的北偏東44°50′方向上，則Q在P的()A．東偏北45°10′方向上B．東偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上2．海上有A、B兩個小島，相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是()A．103nmileB．106nmileC．52nmileD．56nmile3．如圖，CD是一座鐵塔，線段AB和塔底D在同一水平地面上，在A，B兩點測得塔頂C的仰角分別為60°，45°，又測得AB＝24m，∠ADB＝30°，則此鐵塔的高度為()A．183mB．1203mC．32mD．243m4．學校體育館的“人字形”屋架為等腰三角形，如圖所示，測得AC的長度為4m，A＝30°，則其跨度AB的長為________m．5．如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現在北偏東45°距A處8海里處有一走私船，正沿南偏東75°的方向以12海里/小時的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以123海里/小時的速度沿直線追擊，問巡邏艇最少需要多長時間才能追到走私船，并指出巡邏艇的航行方向．1．6.3解三角形應用舉例新知初探·課前預習[基礎自測]1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理ABsinC＝BCsinA，得AB＝BCsin答案：A3．解析：根據題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖所示，因為兩直線平行內錯角相等，所以α＝β.答案：B4．解析：方法一在△ABP中，由正弦定理可得60sin45°則PB＝60×12設樹的高度為h，則h＝PBsin45°＝(30＋303)m.方法二設樹的高度為h，則AB＝htan30°-h答案：A題型探究·課堂解透例1解析：(1)由題意可知∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，CD＝40.所以∠DCB＝135°，∠DBC＝30°，在△BCD中，由正弦定理，得CDsin∠DBC所以BD＝CDsin∠DCBsin∠所以B，D兩點的距離為402米．(2)在△ACD中，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，所以∠ADC＝150°，∠DAC＝15°，所以AD＝DC＝40米．在△ABD中，由余弦定理得：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝402＋(402)2－2×40×402×所以AB＝405，所以A、B兩點的距離為405米．跟蹤訓練1解析：(1)因為tan∠ACD＝37，可得sin∠ACD＝37所以S△ACD＝12AC·CD·sin∠ACD＝375(2)因為tan∠ACD＝37，所以cos∠ACD＝18所以AD2＝1.62＋22－2×1.6×2×18＝5.76，則AD因為cos∠ADC＝AD2+CD2-AC2又cos∠BDC＝－74，所以∠ADB＝π所以AB＝AD2+BD例2解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝180°－30°－135°＝15°，∵sin∠CBD＝sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝6-由正弦定理BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD得BC＝在Rt△ABC中∠ACB＝45°.∴AB＝BC＝50(3＋1)．所以塔高AB為50(3＋1)米．跟蹤訓練2解析：由題意知：∠CAM＝60°，∠AMC＝75°，∴∠ACM＝45°，在Rt△ABM中，AM＝ABsin∠AMB＝ABsin在△ACM中，由正弦定理得：AMsin45°∴CM＝2AB·sin60°在Rt△DCM中，CD＝CM·sin60°＝32AB答案：D例3解析：(1)在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝30°，則∠ACB＝105°，sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝32×2由正弦定理BCsin∠BAC＝ABsin∠ACB得BC＝(2)△DBC中，∠DBC＝120°，由余弦定理DC2＝DB2＋BC2－2DB·CBcos∠DBC＝502＋302－2×50×30cos120°＝4900，DC＝70，t＝7040cosD＝DB2+DC2-所以D＝21.79°，90°－21.79°＝68.21°救援船前往營救漁船時的目標方向線的方向是南偏東68.21°.跟蹤訓練3解析：如圖所示，設在C處甲船追上乙船，乙船到C處用的時間為t，乙船的速度為v，則BC＝tv，AC＝3tv.又∵B＝120°，則在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠CAB即1sin∠CAB得sin∠CAB＝12∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴60°－∠CAB＝60°－30°＝30°，即甲船應沿北偏東30°方向行駛．又∵∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝3anmile，即追上時甲船行駛了3anmile.答案：北偏東30°3a[課堂十分鐘]1．解析：如圖所示答案：C2．解析：如圖，易知∠ACB＝45°，由正弦定理，得BCsin60°∴BC＝56nmile.答案：D3．解析：設塔高為hm，因為∠CAD＝60°，∠CBD＝45°，CD⊥AD，CD⊥BD，所以AD＝htan60°＝h3，BD＝在△ABD中，由余弦定理得242＝(h3)2＋h2－2×h3×h×cos30°，