信陽(yáng)市2024屆高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（二模）數(shù)學(xué)（含答案）

信陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分?？忌鞔饡r(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等考生信息填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)填涂在相應(yīng)位置。2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效。4．保持卡面清潔，不折疊，不破損。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則等于A． B． C． D．2．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則等于A．15 B．1 C． D．4．已知向量，的夾角為且，，則在上投影向量的坐標(biāo)為A． B． C． D．5．“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．過(guò)直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)直線，關(guān)于對(duì)稱時(shí)，線段的長(zhǎng)為A．4 B． C． D．27．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，以為直徑的圓截軸所得的弦長(zhǎng)為1，則等于A．2 B．2或4 C．4 D．4或68．隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問(wèn)題越發(fā)嚴(yán)重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明的上班出行方式有三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，，，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，，，結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知函數(shù)的圖象如圖所示，，是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是A．的值為3 B．的值為2 C．的值可以為 D．的值可以為10．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度（單位：）的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)中位數(shù)為24，眾數(shù)為22；②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27，總體平均數(shù)為24；③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32，總體平均數(shù)為26，總體方差為10.8，則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有A．一個(gè)都沒(méi)有 B．甲地 C．乙地 D．丙地11．定義在上的函數(shù)滿足，是偶函數(shù)，，則A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．12．如圖，雙曲線的左右頂點(diǎn)為，，為右支上一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），，，，直線與雙曲線的漸近線交于、，為線段的中點(diǎn)，則A．雙曲線的離心率為B．到兩條漸近線的距離之積為C．D．若直線與的斜率分別為，，則第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．13．若的展開(kāi)式中的系數(shù)為15，則_________．14．已知直線的傾斜角為，則的值是_________．15．已知函數(shù)若方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，則的最大值是_________．16．已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，數(shù)列為公比小于1的等比數(shù)列，且滿足，，設(shè)，在數(shù)列中，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，已知且．（1）若，求；（2）若邊上的高是，求的最大值．18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，周期為．（1）求解析式；（2）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的角平分線交于，若恰為的最大值，且，求的最小值．19．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的表達(dá)式．20．（本小題滿分12分）某校高一200名學(xué)生的期中考試語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如右圖：（1）計(jì)算這次考試的數(shù)學(xué)平均分，并比較語(yǔ)文和數(shù)學(xué)哪科的平均分較高（假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)陬l率分布直方圖中各段是均勻分布的）；（2）如果成績(jī)大于85分的學(xué)生為優(yōu)秀，這200名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)大約各多少人？（3）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的共有4人，從（2）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附參考公式：若，則，21．（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上異于、的兩點(diǎn)，面積的最大值為2．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，且．①求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．②設(shè)和的面積分別為、，求的最大值．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．?dāng)?shù)學(xué)參考答案一、選擇題1．B2．D3．D4．C5．A6．C7．D8．B二、選擇題9．AD10．BD11．ABD12．ACD三、填空題13．314．15．16．四、解答題17．解：（1）由可得：，即：．即，又，，由正弦定理得：．（2）由題意，，，時(shí)，取得最大值．18．解：（1）周期為，，圖象經(jīng)過(guò)，，，又，，（2）的最大值2，，得，，，，，，，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又，即當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．19．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，，．兩式相減得：，即．故．故．（2）令，則，為等差數(shù)列．．20．解：（1）數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為，根據(jù)語(yǔ)文成績(jī)的正態(tài)分布知語(yǔ)文平均分為70分，所以語(yǔ)文平均分高些．（2）因?yàn)檎Z(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率為，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率為，所以語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為．（3）語(yǔ)文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有4人，單科優(yōu)秀的有6人，所有可能的取值為0，1，2，3．，，，．的分布列為0123所以的數(shù)學(xué)期望．21．解：（1）當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①設(shè)點(diǎn)、．若直線的斜率為零，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則，不合乎題意．設(shè)直線的方程為，由于直線不過(guò)橢圓的左、右頂點(diǎn)，則，聯(lián)立可得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，則，所以，解得，即直線的方程為，故直線過(guò)定點(diǎn)．②由韋達(dá)定理可得，，所以，，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為．22．解：（1），，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，恒成立，即，恒成立，記，則，由，由，所以在上遞增，在上遞減