專題09正弦定理（5種題型）（原卷版）

專題09正弦定理（5種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦題型一：已知三角形兩角及一邊解三角形題型二：已知三角形兩邊及一邊的對(duì)角解三角形題型三：判斷三角形形狀的判斷題型四：求三角形面積題型五：正弦定理的實(shí)際應(yīng)用如圖，在半徑為的圓中，作直徑，在圓周上任取異于、兩點(diǎn)的一點(diǎn)點(diǎn)，連接、，在中將角、及所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別記作、及，則，并且.在中，，，.故可得（為外接圓半徑）以上是初三我們學(xué)習(xí)的直角三角形的求解問(wèn)題，但在我們高中階段所遇到的三（xiao）角（guai）形（shou）往往不再是直角三角形，而是“進(jìn)化”為斜三（da）角（guai）形（shou）.【Attention】斜三角形=銳角三角形+鈍角三角形.在三角形的三個(gè)角和三條邊這6個(gè)元素中，經(jīng)常會(huì)遇到已知其中三個(gè)元素（至少有一個(gè)元素為邊長(zhǎng)）求其他元素的問(wèn)題，這稱為解三角形.為此，需要知道邊和角之間的數(shù)量關(guān)系，從而有了今天我們要學(xué)習(xí)的正弦定理.如圖，在斜（鈍角）中，同理可得由此可知，三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦值的乘積的一半，即三角形的面積公式為.將上式同時(shí)除以，就得到，即.這樣，我們就得到了正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊與所對(duì)角的正弦的比值相等，即（為外接圓半徑）換言之，，.題型一：已知三角形兩角及一邊解三角形【例1】在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解這個(gè)三角形?！咀兪健吭谥校阎?，，，解這個(gè)三角形.題型二：已知三角形兩邊及一邊的對(duì)角解三角形【例2】在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解這個(gè)三角形；【變式】在中，已知，，，解這個(gè)三角形.題型三：判斷三角形形狀的判斷【例3】在△ABC中，acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝bcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，判斷△ABC的形狀。【變式1】在中，已知，判斷的形狀.【變式2】在中，已知，，判斷的形狀.【變式3】.在△ABC中，若，試判斷△ABC的形狀.題型四：求三角形面積【例5】已知△ABC的外接圓半徑為2，若，設(shè)AB的邊長(zhǎng)為，求△ABC的面積.【變式1】.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則△ABC的面積.【變式2】.在△ABC中，∠A＝60°，.（1）求的值；（2）若，求△ABC的面積.題型五：正弦定理的實(shí)際應(yīng)用【例5】.2020年新冠肺炎肆虐全球，抗擊新冠肺炎的有效措施之一是早發(fā)現(xiàn)，早隔離.某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門(mén)欲將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域ABCD沿邊界用固定髙度的板材圍城一個(gè)封閉隔離區(qū)，經(jīng)測(cè)量，邊界AB與AD的長(zhǎng)都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.（1）若∠ADC＝105°，求BC的長(zhǎng)；（結(jié)果精確到米）（2）圍成該區(qū)域至多需要多少米長(zhǎng)度的板材？（不計(jì)損耗，結(jié)果精確到米）【變式】.在地面上一點(diǎn)A測(cè)得一電視塔塔尖的仰角為45°，再向塔底方向前進(jìn)100米，測(cè)得塔尖的仰角為60°，則此電視塔的高度為米（精確到0.1米）.一、填空題1、在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝eq\f(1,3)，則sinB＝2、在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a＝eq\r(3)bsinA，則sinB＝3、在△ABC中，a＝7，c＝5，則sinA∶sinC的值是4、在△ABC中，a＝bsinA，則△ABC一定是三角形5、已知△ABC外接圓半徑是2，A＝60°，則BC邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．6、在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(13)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于7、在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，則△ABC的面積等于.8、△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，則b＝.9、下列條件判斷三角形解的情況，正確的是（填序號(hào)）；①a＝8，b＝16，A＝30°，有兩解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，無(wú)解；④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．10、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，則的值為11、在△ABC中，a＝2bcosC，則這個(gè)三角形一定是三角形12、在△ABC中，若(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝sin2C，則△ABC是________三角形．二、選擇題13、在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosC,c)，則C的值為()A．30°B．45°C．60°D．90°14、在△ABC中，b＋c＝eq\r(2)＋1，C＝45°，B＝30°，則()A．b＝1，c＝eq\r(2)B．b＝eq\r(2)，c＝1C．b＝eq\f(\r(2),2)，c＝1＋eq\f(\r(2),2) D．b＝1＋eq\f(\r(2),2)，c＝eq\f(\r(2),2)15、在△ABC中，若，則C的值為（）A．30° B．45° C．60° D．90°16、在△中，，，，則滿足條件的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．不確定三、解答題17、已知b＝10，c＝5eq\r(6)，C＝60°，解三角形．18、在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，求c的值．19、在△ABC中，已知c＝10，eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，求a，b及△ABC的內(nèi)切圓半徑20、在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，B