習題課5直線與拋物線的位置關系問題課件-高二上學期數(shù)學人教A版2019選擇性

習題課5直線與拋物線的位置關系問題習題課1.理解作差法，能利用作差法求解拋物線的中點弦問題.2.能利用拋物線的幾何性質(zhì)求解拋物線的焦點弦問題.3.能根據(jù)直線與拋物線的位置關系求解拋物線有關的最值問題.任務：求中點軌跡方程.目標一：理解作差法，能利用作差法求解拋物線的中點弦問題.

已知拋物線，過點Q（2,1）作一條直線交拋物線于A，B兩點，試求弦AB的中點軌跡方程.解：（方法1）設，，，，當過點Q的直線與x軸垂直時，此時，弦AB中點，當過點Q的直線與不與x軸垂直時，設其方程為：，聯(lián)立方程組，消去y并整理，得，設弦AB的中點坐標為，∴，∴綜上所述，弦AB中點的軌跡方程為．（方法2）設，，，，弦AB的中點為M（x，y），則.當過點Q的直線與x軸垂直時，此時，弦AB中點，當過點Q的直線與不與x軸垂直時，，將，，，代入到拋物線方程，得，兩式相減，得所以，即，即，將直線斜率不存在時，弦AB中點符合上式.故所求的軌跡方程為.

求解拋物線弦中點的方法：（1）點差法：先設交點坐標，然后代入拋物線方程，作差，利用中點坐標公式代換，進而求解.（2）解方程組法：先設直線方程，然后與拋物線聯(lián)立求出交軌方程，進而求得根與系數(shù)的關系，最后根據(jù)中點坐標公式求解.歸納總結練一練

已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于A，B兩點，且點Q恰為弦AB的中點，求直線AB的方程.解：設，，，，則可得AB的中點Q的坐標為，，又因為，所以可得，將A，B的坐標代入拋物線的方程：，作差可得，整理可得：，即直線AB的斜率為1，所以直線AB的方程為：，即，故答案為：．任務：求解拋物線的焦點弦問題.目標二：能利用拋物線的幾何性質(zhì)求解拋物線的焦點弦問題.

已知拋物線的焦點為F，過點F且傾斜角為的直線l與拋物線在第一、二象限分別交于A，B兩點，求的值.解：（方法1）設，，，，直線l的方程為：則，消去x得，∴點A在第一象限，解得：，，∴（方法2）如圖，過點A，B作準線的垂線，垂足分別為,則由拋物線的定義可知，.過點A作于點E，.易知,故,所以.因此,故.求解拋物線交點弦問題：1.方程組法：先設過焦點的直線方程，然后與拋物線方程聯(lián)立，求得根與系數(shù)的關系，利用拋物線的焦點弦性質(zhì)求解；2.幾何法：根據(jù)拋物線定義，將焦點弦問題轉化為交點到準線的距離問題，然后通過作圖，數(shù)形結合，利用平面幾何知識求解.歸納總結練一練

已知過拋物線的焦點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，，求p的值.解：拋物線的焦點

，，準線方程為，設，，，，直線AB的方程為，代入可得，，,由拋物線的定義可知，，，解得．任務：求解拋物線的最值問題.目標三：能根據(jù)直線與拋物線的位置關系求解拋物線有關的最值問題.

如圖，點A是拋物線上的動點，過點的直線AM與拋物線交于另一點B．（1）當A的坐標為時，求點B的坐標；（2）已知點，若M為線段AB的中點，求面積的最大值．解：（1）當A的坐標為時，則，所以，所以拋物線的方程為：，由題意可得直線AM的方程為：，即，代入拋物線的方程可得，解得或2，代入拋物線的方程可得或，所以；（2）設直線AB的方程：，因為M在直線AB上，所以，P到直線AB的距離，設，，，，由是AB的中點可得，聯(lián)立，整理可得：，所以，即，，所以，將代入，，所以當時，取等號，所以面積的最大值為2．解決與拋物線有關的最值問題的方法與常見題型.1.方法：（1）利用定義轉化為平面幾何問題處理；（2）通過聯(lián)立方程組，建立目標函數(shù)，利用函數(shù)求最值的方法求解，如利用函數(shù)的單調(diào)性，基本不等式等；2.常見題型：（1）拋物線上的點到直線的距離的最值問題；（2）弦長的最值問題；（3）三角形面積的最值問題.歸納總結練一練

如圖，已知直線交拋物線于A、B兩點，試在拋物線這段曲線上求一點P，使的面積最大，并求這個最大面積．解：由得：，即，所以、．故．設點，，