2023-2024學(xué)年江西省等三省十校高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年江西省等三省十校高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列說(shuō)法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題2．如圖，中，點(diǎn)D在BC上，，將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關(guān)系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得3．設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．4．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，其中為虛部單位，則實(shí)數(shù)()A．3 B． C． D．5．為虛數(shù)單位,則的虛部為（）A． B． C． D．6．已知集合，則集合（）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)的平分線與軸交于，則的最大值為A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．9．2019年10月1日，中華人民共和國(guó)成立70周年，舉國(guó)同慶.將2,0,1,9,10這5個(gè)數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個(gè)6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為A．96 B．84 C．120 D．36010．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．11．函數(shù)（或）的圖象大致是（）A． B． C． D．12．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原.如圖，平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來(lái)，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，則該六面體的體積為_(kāi)___；若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為_(kāi)___．14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)和點(diǎn)為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為_(kāi)_______.15．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____．16．過(guò)動(dòng)點(diǎn)作圓：的切線，其中為切點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最小值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)，，求不等式的解集；（2）已知，，的最小值為1，求證：.18．（12分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形，且平行四邊形的周長(zhǎng)和最大面積分別為8和.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在以線段為直徑的圓上時(shí)，求直線的方程.19．（12分）已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，求的值．20．（12分）已知變換將平面上的點(diǎn)，分別變換為點(diǎn)，．設(shè)變換對(duì)應(yīng)的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．21．（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時(shí)，有，且.（1）求不等式的解集；（2）對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點(diǎn)，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】選項(xiàng)A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項(xiàng)B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項(xiàng)C，由題意知對(duì)，都有，故C不正確．選項(xiàng)D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．2、A【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【詳解】由題可得過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，則易得，．設(shè)，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．3、C【解析】

恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則恰有兩個(gè)不同的解，求出可確定是它的一個(gè)解，另一個(gè)解由方程確定，令通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個(gè)不是1的解時(shí)t應(yīng)滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以恰有兩個(gè)不同的解，顯然是它的一個(gè)解，另一個(gè)解由方程確定，且這個(gè)解不等于1.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而，且.所以，當(dāng)且時(shí)，恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.4、B【解析】

利用乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知，，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.5、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】，故虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部為，不是，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯(cuò)題.6、D【解析】

弄清集合B的含義，它的元素x來(lái)自于集合A，且也是集合A的元素.【詳解】因，所以，故，又，，則，故集合.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的定義，涉及到解絕對(duì)值不等式，是一道基礎(chǔ)題.7、A【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值，，求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解．【詳解】解：由題意可得，焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝?1，

過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，

由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|＝x＋1，

記∠KPF的平分線與軸交于

根據(jù)角平分線定理可得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，綜上：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．8、B【解析】

利用復(fù)數(shù)除法、加法運(yùn)算，化簡(jiǎn)求得，再求得【詳解】，故.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、加法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開(kāi)頭的排列數(shù)共個(gè)，其中含有2個(gè)10的排列數(shù)共個(gè)，所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選B．10、A【解析】

根據(jù)排除，，利用極限思想進(jìn)行排除即可．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，恒成立，排除，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)，，排除，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)值的符號(hào)以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個(gè)選項(xiàng)，再求時(shí)的函數(shù)值，再排除一個(gè)，得正確選項(xiàng)．【詳解】分析知，函數(shù)（或）為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除B，C，當(dāng)時(shí)，，排除D，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題時(shí)可通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等，研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負(fù)，以及函數(shù)值的變化趨勢(shì)，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得正確結(jié)論．12、B【解析】

，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，，故當(dāng)，即時(shí)，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

(1)先算出正四面體的體積，六面體的體積是正四面體體積的倍，即可得出該六面體的體積；(2)由圖形的對(duì)稱性得,小球的體積要達(dá)到最大,即球與六個(gè)面都相切時(shí)，求出球的半徑，再代入球的體積公式可得答案.【詳解】(1)每個(gè)三角形面積是，由對(duì)稱性可知該六面是由兩個(gè)正四面合成的，可求出該四面體的高為，故四面體體積為，因此該六面體體積是正四面體的2倍，所以六面體體積是；(2)由圖形的對(duì)稱性得，小球的體積要達(dá)到最大，即球與六個(gè)面都相切時(shí)，由于圖像的對(duì)稱性，內(nèi)部的小球要是體積最大，就是球要和六個(gè)面相切，連接球心和五個(gè)頂點(diǎn)，把六面體分成了六個(gè)三棱錐設(shè)球的半徑為，所以，所以球的體積.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查由平面圖形折成空間幾何體、考查空間幾何體的的表面積、體積計(jì)算，考查邏輯推理能力和空間想象能力求解球的體積關(guān)鍵是判斷在什么情況下，其體積達(dá)到最大，考查運(yùn)算求解能力.14、【解析】

由等腰三角形及雙曲線的對(duì)稱性可知或,進(jìn)而利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,因?yàn)樽蟆⒂医裹c(diǎn)和點(diǎn)為某個(gè)等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn),當(dāng)時(shí),,由可得,等式兩邊同除可得,解得（舍）；當(dāng)時(shí),,由可得,等式兩邊同除可得,解得,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率,考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想.15、【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出得答案．【詳解】，，則，的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．16、【解析】解答：由圓的方程可得圓心C的坐標(biāo)為(2,2)，半徑等于1.由M(a,b),則|MN|2=(a?2)2+(b?2)2?12=a2+b2?4a?4b+7，|MO|2=a2+b2.由|MN|=|MO|,得a2+b2?4a?4b+7=a2+b2.整理得：4a+4b?7=0.∴a，b滿足的關(guān)系為：4a+4b?7=0.求|MN|的最小值，就是求|MO|的最小值．在直線4a+4b?7=0上取一點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小，由“垂線段最短”得，直線OM垂直直線4a+4b?7=0，由點(diǎn)到直線的距離公式得：MN的最小值為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）將化簡(jiǎn)，分類討論即可；（2）由（1）得，，展開(kāi)后再利用基本不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以或或解得或，因此不等式的解集的或（2）根據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問(wèn)題，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.18、（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)題意計(jì)算得到，，得到橢圓方程.（2）設(shè)，聯(lián)立方程得到，根據(jù)，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由平行四邊形的周長(zhǎng)為8，可知，即.由平行四邊形的最大面積為，可知，又，解得.所以橢圓方程為.（2）注意到直線的斜率不為0，且過(guò)定點(diǎn).設(shè)，由消得，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)辄c(diǎn)在以線段為直徑的圓上，所以，即，所以直線的方程或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，根據(jù)直線和橢圓的位置關(guān)系求直線，將題目轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.19、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）由題，得，，解方程組，即可得到本題答案；（Ⅱ）設(shè)直線，則直線，聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，由此即可得到本題答案.【詳解】（Ⅰ）由題可得，即，，將點(diǎn)代入方程得，即，解得，所以橢圓的方程為：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)直線，則直線，聯(lián)立，整理得，所以，聯(lián)立，整理得，設(shè)，則，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及直線與橢圓的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、（1）（2）1或6【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)變換可得關(guān)于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項(xiàng)式，再解方程，即可得答案；【詳解】（1）設(shè)，則，，即，解得，則．（2）設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式為，可得，令，可得或．【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用定義法求出函數(shù)在上單調(diào)遞增，由和，求出，求出，運(yùn)用單調(diào)性求出不等式的解集；（2）由于恒成立，由（1）得出在上單調(diào)遞增，恒成立，設(shè)，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合恒成立的條件，構(gòu)造新函數(shù)，利用單調(diào)性和最值，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹?，則，所以得解得，即，故的取值范圍為；（2）由于恒成立，恒成立，設(shè)，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，根據(jù)條件，只要，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義法求函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性求不等式