應用-MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號的采樣與重構仿真

應用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號的采樣與重構仿真課程設計的目的1.掌握利用MATLAB分析系統(tǒng)頻率響應的方法，增加對仿真軟件MATLAB的感性認識，學會該軟件的操作和使用方法。2.掌握利用MATLAB實現(xiàn)連續(xù)信號采用與重構的方法，加深理解采樣與重構的概念。3.初步掌握線性系統(tǒng)的設計方法，培養(yǎng)獨立工作能力。4.學習MATLAB中信號表示的根本方法及繪圖函數的調用，實現(xiàn)對常用連續(xù)時間信號的可視化表示，加深對各種電信號的理解。5.加深理解采樣對信號的時域和頻域特性的影響；驗證信號與系統(tǒng)的根本概念、根本理論，掌握信號與系統(tǒng)的分析方法。6.加深對采樣定理的理解和掌握，以及對信號恢復的必要性；掌握對連續(xù)信號在時域的采樣與重構的方法。二．課程設計的內容及要求1.課程設計的內容離散正弦序列的MATLAB表示與連續(xù)信號類似，只不過是用stem函數而不是用plot函數來畫出序列波形。命令窗口沒翻開時，從“Desktop〞菜單中選擇“CommandWindow〞選項可以翻開它?！?gt;>〞符號是輸入函數的提示符，在提示符后面輸入數據和運行函數。退出MATLAB時，工作空間中的內容隨之去除。可以將當前工作中的局部或全部變量保存在一個MAT文件中，它是一種二進制文件，擴展名為.mat。然后可在以后使用它時載入它。用MATLAB的當前目錄瀏覽器搜索、查看、翻開、查找和改變MATLAB路徑和文件。在MATLAB桌面上，從“Desktop〞菜單中選擇“CurrentDirectory〞選項，或者在命令窗口鍵入“filebrowser〞，翻開當前目錄瀏覽器。使用當前目錄瀏覽器可以完成下面的主要任務：查看和改變路徑；創(chuàng)立、重命名、復制和刪除路徑和文件；翻開、運行和查看文件的內容；由于函數不是嚴格的帶限信號，其帶寬可根據一定的精度要求做一近似。根據以下三種情況用MATLAB實現(xiàn)采樣信號及重構并求出兩者誤差，分析三種情況下的結果?！?〕的臨界采樣及重構：，，；〔2〕的過采樣及重構：，，；〔3〕的欠采樣及重構：，，。2.課程設計的方案2.1課程設計的原理2.1.1連續(xù)信號的采樣定理模擬信號經過(A/D)變換轉換為數字信號的過程稱為采樣，信號采樣后其頻譜產生了周期延拓，每隔一個采樣頻率fs，重復出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。時域采樣定理從采樣信號恢復原信號必需滿足兩個條件：(1)必須是帶限信號，其頻譜函數在＞各處為零；〔對信號的要求，即只有帶限信號才能適用采樣定理?！?/p>

(2)取樣頻率不能過低，必須＞2〔或＞2〕?！矊θ宇l率的要求，即取樣頻率要足夠大，采得的樣值要足夠多，才能恢復原信號。〕如果采樣頻率大于或等于，即〔為連續(xù)信號的有限頻譜〕，那么采樣離散信號能無失真地恢復到原來的連續(xù)信號。一個頻譜在區(qū)間〔-，〕以外為零的頻帶有限信號，可唯一地由其在均勻間隔〔＜〕上的樣點值所確定。根據時域與頻域的對稱性，可以由時域采樣定理直接推出頻域采樣定理。一個時間受限信號，它集中在〔〕的時間范圍內，那么該信號的頻譜在頻域中以間隔為的沖激序列進行采樣，采樣后的頻譜可以惟一表示原信號的條件為重復周期，或頻域間隔〔其中〕。采樣信號的頻譜是原信號頻譜的周期性重復，它每隔重復出現(xiàn)一次。當＞2時，不會出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，原信號的頻譜的形狀不會發(fā)生變化，從而能從采樣信號中恢復原信號?！沧ⅲ海?的含義是：采樣頻率大于等于信號最高頻率的2倍；這里的“不混疊〞意味著信號頻譜沒有被破壞，也就為后面恢復原信號提供了可能！〕(a)(b)(c)圖*抽樣定理等抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜〔不混疊〕高抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜〔不混疊〕c)低抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜〔混疊〕信號采樣如圖1所示，給出了信號采樣原理圖信號采樣原理圖〔a〕由圖1可見，，其中，沖激采樣信號的表達式為：其傅立葉變換為，其中。設，分別為，的傅立葉變換，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得假設設是帶限信號，帶寬為，經過采樣后的頻譜就是將在頻率軸上搬移至處〔幅度為原頻譜的倍〕。因此，當時，頻譜不發(fā)生混疊；而當時，頻譜發(fā)生混疊。一個理想采樣器可以看成是一個載波為理想單位脈沖序列的幅值調制器，即理想采樣器的輸出信號，是連續(xù)輸入信號調制在載波上的結果，如圖2所示。圖2信號的采樣用數學表達式描述上述調制過程，那么有理想單位脈沖序列可以表示為其中是出現(xiàn)在時刻，強度為1的單位脈沖。由于的數值僅在采樣瞬時才有意義，同時，假設所以又可表示為2.1.3信號重構設信號被采樣后形成的采樣信號為，信號的重構是指由經過內插處理后，恢復出原來信號的過程。又稱為信號恢復。假設設是帶限信號，帶寬為，經采樣后的頻譜為。設采樣頻率，那么由式〔9〕知是以為周期的譜線?，F(xiàn)選取一個頻率特性〔其中截止頻率滿足〕的理想低通濾波器與相乘，得到的頻譜即為原信號的頻譜。顯然，，與之對應的時域表達式為〔10〕而將及代入式〔10〕得〔11〕式〔11〕即為用求解的表達式，是利用MATLAB實現(xiàn)信號重構的根本關系式，抽樣函數在此起著內插函數的作用。例：設，其為：即的帶寬為，為了由的采樣信號不失真地重構，由時域采樣定理知采樣間隔，取〔過采樣〕。利用MATLAB的抽樣函數來表示，有。據此可知：通過以上分析，得到如下的時域采樣定理：一個帶寬為wm的帶限信號f(t)，可唯一地由它的均勻取樣信號fs(nTs)確定，其中，取樣間隔Ts<π/wm,該取樣間隔又稱為奈奎斯特間隔。根據時域卷積定理，求出信號重構的數學表達式為：

式中的抽樣函數Sa(wct)起著內插函數的作用，信號的恢復可以視為將抽樣函數進行不同時刻移位后加權求和的結果，其加權的權值為采樣信號在相應時刻的定義值。利用MATLAB中的抽樣函數來表示Sa(t)，有，，于是，信號重構的內插公式也可表示為：

2.2設計的思路連續(xù)信號是指自變量的取值范圍是連續(xù)的，且對于一切自變量的取值，除了有假設干個不連續(xù)點以外，信號都有確定的值與之對應。嚴格來說，MATLAB并不能處理連續(xù)信號，而是用等時間間隔點的樣值來近似表示連續(xù)信號。當取樣時間間隔足夠小時，這些離散的樣值就能較好地近似連續(xù)信號。時域對連續(xù)時間信號進行采樣，是給它乘以一個采樣脈沖序列，就可以得到采樣點上的樣本值，信號被采樣前后在頻域的變化，可以通過時域頻域的對應關系分別求得了采樣信號的頻譜。在一定條件下，一個連續(xù)時間信號完全可以用該信號在等時間間隔上的瞬時值來表示，并且可以用這些樣本值把信號完全恢復過來。這樣，抽樣定理為連續(xù)時間信號與離散時間信號的相互轉換提供了理論依據。通過觀察采樣信號的頻譜，發(fā)現(xiàn)它只是原信號頻譜的線性重復搬移，只要給它乘以一個門函數，就可以在頻域恢復原信號的頻譜，在時域是否也能恢復原信號時，利用頻域時域的對稱關系，得到了信號。2.3詳細設計過程的臨界采樣及重構1實現(xiàn)程序代碼當采樣頻率小于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為臨界采樣.修改門信號寬度、采樣周期等參數，重新運行程序，觀察得到的采樣信號時域和頻域特性，以及重構信號與誤差信號的變化。Sa(t)的臨界采樣及重構程序代碼；wm=1; %升余弦脈沖信號帶寬wc=wm;%頻率Ts=pi/wm;%周期ws=2.4*pi/Ts;%理想低通截止頻率n=-100:100;%定義序列的長度是201nTs=n*Ts%采樣點f=sinc(nTs/pi);%抽樣信號Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));%信號重建t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(211);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號');subplot(212);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號重構sa(t)');grid; 2程序運行運行結果圖與分析圖3的臨界采樣及重構圖運行結果分析：為了比擬由采樣信號恢復后的信號與原信號的誤差，可以計算出兩信號的絕對誤差。當t選取的數據越大，起止的寬度越大。的過采樣及重構1實現(xiàn)程序代碼當采樣頻率大于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為過采樣.在不同采樣頻率的條件下，觀察對應采樣信號的時域和頻域特性，以及重構信號與誤差信號的變化。Sa(t)的過采樣及重構程序代碼；wm=1;wc=1.1*wm;Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號');subplot(312);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的過采樣信號重構sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('過采樣信號與原信號的誤差error(t)');2程序運行運行結果圖與分析。圖4的過采樣信號、重構信號及兩信號的絕對誤差圖運行分析：將原始信號分別修改為抽樣函數Sa(t)、正弦信號sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指數信號e-2tu(t)時，在不同采樣頻率的條件下，可以觀察到對應采樣信號的時域和頻域特性，以及重構信號與誤差信號的變化。Sa(t)的欠采樣及重構1實現(xiàn)程序代碼當采樣頻率小于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為過采樣。利用頻域濾波的方法修改實驗中的局部程序，完成對采樣信號的重構。Sa(t)的欠采樣及重構程序代碼；wm=1; wc=wm;Ts=2.5*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Tsf=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));error=abs(fa-sinc(t/pi));t1=-20:0.5:20f1=sinc(t1/pi);subplot(311);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號sa(t)');subplot(312);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的欠采樣信號重構sa(t)');grid;subplot(313);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('欠采樣信號與原信號的誤差error(t)');2程序運行運行結果圖與分析圖5的欠采樣信號、重構信號及兩信號的絕對誤差圖誤差分析：絕對誤差error已大為增加，其原因是因采樣信號的頻譜混疊，使得在區(qū)域內的頻譜相互“干擾〞所致。2.4設計方案優(yōu)缺點優(yōu)點：MATLAB在繪圖方面提供了相當高級的函數序及程序界面，即使用戶沒有豐富的程序設計經驗，也能夠快速地得到自己想要的結果，熟練的使用MATLAB的程序員或研究人員能縮短研究開發(fā)時間，從而提高競爭力，MATLAB和其他高級語言有良好的接口，可以方便地實現(xiàn)與其他語言的混合編程，從而進一步擴寬MATLAB的應用潛力。缺點：MATLAB占用內存空間很大，并且會因硬盤分區(qū)是NTFS格式還是FAT格式而有差異。3.程序中的常見函數和功能程序中的常見函數和功能:abs()求絕對值;sinc()Sa(t)函數;ones()全1矩陣;plot()繪圖;subplot()繪制子圖;stem()繪制離散序列數據圖.三．收獲和體會該課程設計使我對采樣定理的一些根本公式得到了進一步穩(wěn)固。在整個實驗過程中，我查閱了很多相關知識，從這些書籍中我受益良多。也使我上機操作順利完成。雖然剛開始對采樣過程和恢復過程認識不深，但是通過這次實驗對采樣過程和恢復過程有了進一步掌握。通過實驗的設計使我對采樣定理和信號的重構有了深一步的掌握，從而在上機的過程中沒有出現(xiàn)太多的問題。雖然在實驗過程中出現(xiàn)很多錯誤，但是在老師的幫助下，不斷的修正錯誤，同時也學會了MATLAB中信號表示的根本方法及繪圖函數的調用。雖然剛開始我對MATLAB的根本使用方法沒有太深刻的認識。但是該實驗使我對MATLAB函數程序的根本結構有所了解，也提高了我獨立完成實驗的能力和理論聯(lián)系實際的應用能力。進而了解了采樣的方法。實驗通過測量系統(tǒng)的頻率特性，加