分析力學(xué)基礎(chǔ)8.2虛位移原理0806

前言達(dá)朗貝爾原理虛位移原理動(dòng)力學(xué)普遍方程拉格朗日第一類方程拉格朗日第二類方程理論力學(xué)CAI版權(quán)所有,2000(c)上海交通大學(xué)工程力學(xué)系理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)虛位移原理2024/2/61理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)虛位移原理前言虛位移虛位移原理及其應(yīng)用

廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件

分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理2024/2/62理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)虛位移原理前言虛位移虛位移原理及其應(yīng)用

廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件

分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理2024/2/63理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)前言虛位移原理是分析靜力學(xué)的一個(gè)基本原理從力的功出發(fā)直接建立起系統(tǒng)處于平衡時(shí)主動(dòng)力間的關(guān)系矢量力學(xué)：主動(dòng)力與約束力間的關(guān)系虛位移原理與達(dá)朗貝爾原理一起構(gòu)成了分析動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/前言2024/2/64理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)虛位移原理前言虛位移虛位移原理及其應(yīng)用

廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件

分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理2024/2/65理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)虛位移質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系的描述

實(shí)位移與虛位移

獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)虛位移

分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移2024/2/66理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系的描述笛卡兒坐標(biāo)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)Pk笛卡兒坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)Pk

的矢徑慣性基質(zhì)點(diǎn)系笛卡兒坐標(biāo)陣運(yùn)動(dòng)q(t)質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)2024/2/67理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移質(zhì)點(diǎn)系慣性基質(zhì)點(diǎn)系笛卡兒坐標(biāo)陣自由質(zhì)點(diǎn)系外力運(yùn)動(dòng)q(t)動(dòng)力學(xué)方程處理動(dòng)力學(xué)問題一般方法非自由質(zhì)點(diǎn)系不獨(dú)立約束方程外力運(yùn)動(dòng)q(t)動(dòng)力學(xué)方程約束方程處理動(dòng)力學(xué)問題一般方法2024/2/68理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系笛卡兒坐標(biāo)陣非自由質(zhì)點(diǎn)系的獨(dú)立坐標(biāo)不獨(dú)立約束方程自由度獨(dú)立坐標(biāo)廣義坐標(biāo)非獨(dú)立坐標(biāo)外力運(yùn)動(dòng)w(t)動(dòng)力學(xué)方程處理動(dòng)力學(xué)問題獨(dú)立坐標(biāo)方法約束方程運(yùn)動(dòng)u(t)2024/2/69理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系笛卡兒坐標(biāo)陣非自由質(zhì)點(diǎn)系約束方程的另一形式不獨(dú)立自由度另外定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)約束方程外力運(yùn)動(dòng)w(t)動(dòng)力學(xué)方程處理動(dòng)力學(xué)問題獨(dú)立坐標(biāo)方法約束方程運(yùn)動(dòng)q(t)2024/2/610理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]質(zhì)量為m，擺長(zhǎng)為l的單擺試描述擺的運(yùn)動(dòng)2024/2/611理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解[解]慣性基方法1笛卡兒坐標(biāo)約束方程動(dòng)力學(xué)方程方法2自由度另外定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)約束方程動(dòng)力學(xué)方程2024/2/612理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)實(shí)位移與虛位移真實(shí)運(yùn)動(dòng)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移外力真實(shí)運(yùn)動(dòng)q(t)動(dòng)力學(xué)方程約束方程實(shí)位移可能運(yùn)動(dòng)q*(t)約束方程可能位移可能運(yùn)動(dòng)可能位移滿足的方程唯一性（初始條件）多種可能2024/2/613理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]實(shí)位移可能位移外力初始條件約束約束2024/2/614理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)虛位移分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移可能位移虛位移滿足的方程虛位移虛位移理解為約束方程的等時(shí)變分

定常約束：虛位移即為可能位移，實(shí)位移為虛位移之一非定常約束：虛位移一般不是可能位移多種可能微分2024/2/615理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)獨(dú)立坐標(biāo)虛位移描述1分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移自由度獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)約束方程非獨(dú)立坐標(biāo)非獨(dú)立坐標(biāo)與獨(dú)立坐標(biāo)虛位移間關(guān)系約束方程微分等時(shí)變分2024/2/616理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)描述2分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移另外定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)約束方程約束方程微分等時(shí)變分笛卡爾坐標(biāo)與獨(dú)立坐標(biāo)虛位移間關(guān)系2024/2/617理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]質(zhì)量為m，擺長(zhǎng)為l的單擺求擺笛卡兒坐標(biāo)與獨(dú)立坐標(biāo)虛位移的關(guān)系2024/2/618理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解[解]慣性基方法1笛卡兒坐標(biāo)約束方程笛卡兒坐標(biāo)虛位移等時(shí)變分定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)非獨(dú)立坐標(biāo)笛卡兒坐標(biāo)與獨(dú)立坐標(biāo)虛位移的關(guān)系非獨(dú)立坐標(biāo)與獨(dú)立坐標(biāo)虛位移的關(guān)系2024/2/619理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解慣性基方法2笛卡兒坐標(biāo)自由度另外定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)約束方程等時(shí)變分笛卡兒坐標(biāo)與獨(dú)立坐標(biāo)虛位移的關(guān)系比較合理選取廣義坐標(biāo)是有意義的2024/2/620理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]r曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，曲柄長(zhǎng)r，連桿長(zhǎng)l該機(jī)構(gòu)只有一個(gè)獨(dú)立變量令曲柄的轉(zhuǎn)角j為廣義坐標(biāo)l求點(diǎn)A與B的虛位移與廣義坐標(biāo)虛位移的關(guān)系2024/2/621理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解[解]參考基：O方法1（坐標(biāo)法）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的關(guān)系等時(shí)變分寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的關(guān)系等時(shí)變分附加幾何關(guān)系等時(shí)變分2024/2/622理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解參考基：O方法2（速度法）寫出點(diǎn)A的速度與廣義速度的關(guān)系方向設(shè)定2024/2/623理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解參考基：O寫出點(diǎn)B的速度與廣義速度的關(guān)系連桿的長(zhǎng)度不可改變，點(diǎn)A與點(diǎn)B的速度矢量在桿上的投影相等2024/2/624理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)虛位移原理前言虛位移虛位移原理及其應(yīng)用

廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件

分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理2024/2/625理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)虛位移原理與應(yīng)用原理描述分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用具有雙面理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充分必要條件為：系統(tǒng)內(nèi)所有主動(dòng)力對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移所作的元功之和為零，即元功dW稱為虛功，故虛位移原理也稱為虛功原理

2024/2/626理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)應(yīng)用分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用討論質(zhì)點(diǎn)系平衡優(yōu)點(diǎn)：直接給出了主動(dòng)力之間的關(guān)系而無需顧及理想約束力2024/2/627理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/例[例]r曲柄滑塊機(jī)構(gòu)。在圖示位置，系統(tǒng)受到力偶、鉛垂力與水平力，該機(jī)構(gòu)處于平衡l求這些主動(dòng)力(偶)之間的關(guān)系

2024/2/628理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/解[解]參考基：以系統(tǒng)為對(duì)象虛功原理O定義虛位移定義獨(dú)立坐標(biāo)的變分關(guān)系獨(dú)立坐標(biāo)的變分平衡的充要條件

平衡位置已知主動(dòng)力間的關(guān)系平衡位置主動(dòng)力已知2024/2/629理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/例[例]圖示機(jī)構(gòu)是由8根連桿鉸接成3個(gè)相同的菱形。菱形的邊長(zhǎng)為b，鉸O固定，鉸A、B與C限定在鉛垂線上運(yùn)動(dòng)。不計(jì)各桿的重量求機(jī)構(gòu)在如圖所示位置處于平衡時(shí)，力FA與FC的比2024/2/630理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/解[解]參考基：一個(gè)自由度定義角j為廣義坐標(biāo)虛功原理虛位移的關(guān)系定義虛位移獨(dú)立坐標(biāo)的變分平衡的充要條件

在此條件下任何位置都平衡

2024/2/631理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)應(yīng)用：平衡態(tài)理想約束力的計(jì)算分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用將待求約束力相關(guān)的約束解除，把該約束力作為主動(dòng)力處理，從而可得到它與主動(dòng)力的關(guān)系

每次解除一個(gè)自由度

2024/2/632理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)[例]分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/例圖示一三孔拱橋，不計(jì)橋自重，橋上有兩集中載荷求支座C的理想約束力2024/2/633理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)[解]分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/解解除約束C，加上約束反力系統(tǒng)有一個(gè)自由度

廣義坐標(biāo)

虛功原理參考基：定義虛位移2024/2/634理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/解參考基：虛位移的關(guān)系（速度法）瞬心O方向方向瞬時(shí)平動(dòng)方向2024/2/635理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/解參考基：平衡的充要條件

2024/2/636理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)小結(jié)寫出主動(dòng)力的虛功的表達(dá)式通過運(yùn)動(dòng)學(xué)的關(guān)系作等時(shí)變分，得到各點(diǎn)的虛位移與廣義坐標(biāo)變分的關(guān)系式坐標(biāo)法速度法代入虛功的表達(dá)式，得到只含獨(dú)立坐標(biāo)變分的等式得到平衡充要條件已知主動(dòng)力可求平衡位形已知平衡位形可求主動(dòng)力應(yīng)滿足的關(guān)系為了求理想約束力，需通過釋放約束，將該約束力作主動(dòng)力處理分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用2024/2/637理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)虛位移原理前言虛位移虛位移原理及其應(yīng)用

廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件

分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理2024/2/638理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義力

質(zhì)點(diǎn)系平衡條件計(jì)算廣義力的方法勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件2024/2/639理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)廣義力分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系笛卡兒坐標(biāo)陣不獨(dú)立自由度定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)約束方程2024/2/640理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義坐標(biāo)約束方程笛卡兒坐標(biāo)陣等時(shí)變分主動(dòng)力的虛功令2024/2/641理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義坐標(biāo)約束方程笛卡兒坐標(biāo)陣主動(dòng)力的虛功作用于系統(tǒng)所有主動(dòng)力關(guān)于廣義坐標(biāo)wj

的廣義力廣義力的量綱取決于廣義坐標(biāo)的量綱當(dāng)wj為長(zhǎng)度時(shí)，Qj為力量綱當(dāng)wj為角度時(shí)，Qj為力偶量綱2024/2/642理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/例[例]rlO2024/2/643理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件虛位移原理具有雙面理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充分必要條件為所有關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力均為零2024/2/644理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/例[例]rlO2024/2/645理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算廣義力的方法方法1列出所有主動(dòng)力的虛功根據(jù)約束方程推導(dǎo)虛位移與廣義坐標(biāo)虛位移的關(guān)系進(jìn)行廣義坐標(biāo)虛位移的同類項(xiàng)合并，即得到關(guān)于各廣義坐標(biāo)的廣義力方法2

取某廣義坐標(biāo)的變分dwj，令其他廣義坐標(biāo)的變分為零計(jì)算由于該變分引起的各主動(dòng)力所作的元虛功dWj分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件2024/2/646理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/例[例]圖示一雙擺，擺長(zhǎng)分別為l1與l2，質(zhì)量分別為m1與m2在擺端B上受到一水平力求系統(tǒng)平衡時(shí)，雙擺的位形2024/2/647理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/解[解]質(zhì)心C1坐標(biāo)主動(dòng)力的虛功參考基：系統(tǒng)有兩個(gè)自由度取廣義坐標(biāo)質(zhì)心C2坐標(biāo)點(diǎn)B坐標(biāo)2024/2/648理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/解求廣義力參考基：令主動(dòng)力的虛功2024/2/649理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/解求廣義力參考基：令主動(dòng)力的虛功2024/2/650理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/解平衡充要條件平衡位形2024/2/651理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件平衡穩(wěn)定性分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性2024/2/652理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義力分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性質(zhì)點(diǎn)系有勢(shì)力勢(shì)函數(shù)主動(dòng)力2024/2/653理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)函數(shù)或廣義力2024/2/654理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)平衡條件分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)系在平衡位形處的勢(shì)能取極值或2024/2/655理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)平衡穩(wěn)定性定義分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系在某平衡位形處受到微小擾動(dòng)時(shí)，其位形只在平衡位置附近運(yùn)動(dòng)而不產(chǎn)生明顯的偏離，則稱為該平衡位形是穩(wěn)定的，否則稱為不穩(wěn)定

在實(shí)際問題中只有穩(wěn)定的平衡位形才可能存在穩(wěn)定不穩(wěn)定2024/2/656理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)拉格朗日-狄利克雷(P.G.L.Dirichlet)定理分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性若質(zhì)點(diǎn)系在平衡位形上的勢(shì)能具有極小值，則該平衡位形是穩(wěn)定的李亞普諾夫(A.M.Lyapunov)定理若質(zhì)點(diǎn)系在平衡位形上的勢(shì)能取極大，則平衡位置不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定2024/2/657理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)多元函數(shù)極值判斷的一些結(jié)論分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性單自由度系統(tǒng)

平衡位形

若勢(shì)能V(w)的不等于零的最低階導(dǎo)數(shù)是偶數(shù)階平衡位位形w=w*為穩(wěn)定V(w*)取極小在w=w*為正在w=w*為負(fù)V(w*)取極大平衡位位形w=w*為不穩(wěn)定2024/2/658理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性兩自由度系統(tǒng)

平衡位形

平衡位位形w=w*為穩(wěn)定V(w*)取極小如果2024/2/659理論力學(xué)CAI分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢(shì)力場(chǎng)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性/例[例]一質(zhì)量為m的小球A套在一半徑為r的圓環(huán)上，圓環(huán)平面在鉛垂平面內(nèi)