分析力學基礎(chǔ)8.2虛位移原理0806

前言達朗貝爾原理虛位移原理動力學普遍方程拉格朗日第一類方程拉格朗日第二類方程理論力學CAI版權(quán)所有,2000(c)上海交通大學工程力學系理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)虛位移原理2024/2/61理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)虛位移原理前言虛位移虛位移原理及其應用

廣義力質(zhì)點系平衡條件

分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理2024/2/62理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)虛位移原理前言虛位移虛位移原理及其應用

廣義力質(zhì)點系平衡條件

分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理2024/2/63理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)前言虛位移原理是分析靜力學的一個基本原理從力的功出發(fā)直接建立起系統(tǒng)處于平衡時主動力間的關(guān)系矢量力學：主動力與約束力間的關(guān)系虛位移原理與達朗貝爾原理一起構(gòu)成了分析動力學的基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/前言2024/2/64理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)虛位移原理前言虛位移虛位移原理及其應用

廣義力質(zhì)點系平衡條件

分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理2024/2/65理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)虛位移質(zhì)點系運動學關(guān)系的描述

實位移與虛位移

獨立（廣義）坐標虛位移

分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移2024/2/66理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)質(zhì)點系運動學關(guān)系的描述笛卡兒坐標分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移質(zhì)點系質(zhì)點Pk笛卡兒坐標質(zhì)點Pk

的矢徑慣性基質(zhì)點系笛卡兒坐標陣運動q(t)質(zhì)點系的運動2024/2/67理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移質(zhì)點系慣性基質(zhì)點系笛卡兒坐標陣自由質(zhì)點系外力運動q(t)動力學方程處理動力學問題一般方法非自由質(zhì)點系不獨立約束方程外力運動q(t)動力學方程約束方程處理動力學問題一般方法2024/2/68理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移質(zhì)點系質(zhì)點系笛卡兒坐標陣非自由質(zhì)點系的獨立坐標不獨立約束方程自由度獨立坐標廣義坐標非獨立坐標外力運動w(t)動力學方程處理動力學問題獨立坐標方法約束方程運動u(t)2024/2/69理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移質(zhì)點系質(zhì)點系笛卡兒坐標陣非自由質(zhì)點系約束方程的另一形式不獨立自由度另外定義獨立（廣義）坐標約束方程外力運動w(t)動力學方程處理動力學問題獨立坐標方法約束方程運動q(t)2024/2/610理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]質(zhì)量為m，擺長為l的單擺試描述擺的運動2024/2/611理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解[解]慣性基方法1笛卡兒坐標約束方程動力學方程方法2自由度另外定義獨立（廣義）坐標約束方程動力學方程2024/2/612理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)實位移與虛位移真實運動分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移外力真實運動q(t)動力學方程約束方程實位移可能運動q*(t)約束方程可能位移可能運動可能位移滿足的方程唯一性（初始條件）多種可能2024/2/613理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]實位移可能位移外力初始條件約束約束2024/2/614理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)虛位移分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移可能位移虛位移滿足的方程虛位移虛位移理解為約束方程的等時變分

定常約束：虛位移即為可能位移，實位移為虛位移之一非定常約束：虛位移一般不是可能位移多種可能微分2024/2/615理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)獨立坐標虛位移描述1分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移自由度獨立（廣義）坐標約束方程非獨立坐標非獨立坐標與獨立坐標虛位移間關(guān)系約束方程微分等時變分2024/2/616理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)描述2分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移另外定義獨立（廣義）坐標約束方程約束方程微分等時變分笛卡爾坐標與獨立坐標虛位移間關(guān)系2024/2/617理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]質(zhì)量為m，擺長為l的單擺求擺笛卡兒坐標與獨立坐標虛位移的關(guān)系2024/2/618理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解[解]慣性基方法1笛卡兒坐標約束方程笛卡兒坐標虛位移等時變分定義獨立（廣義）坐標非獨立坐標笛卡兒坐標與獨立坐標虛位移的關(guān)系非獨立坐標與獨立坐標虛位移的關(guān)系2024/2/619理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解慣性基方法2笛卡兒坐標自由度另外定義獨立（廣義）坐標約束方程等時變分笛卡兒坐標與獨立坐標虛位移的關(guān)系比較合理選取廣義坐標是有意義的2024/2/620理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]r曲柄滑塊機構(gòu)，曲柄長r，連桿長l該機構(gòu)只有一個獨立變量令曲柄的轉(zhuǎn)角j為廣義坐標l求點A與B的虛位移與廣義坐標虛位移的關(guān)系2024/2/621理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解[解]參考基：O方法1（坐標法）寫出點A的坐標與廣義坐標的關(guān)系等時變分寫出點B的坐標與廣義坐標的關(guān)系等時變分附加幾何關(guān)系等時變分2024/2/622理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解參考基：O方法2（速度法）寫出點A的速度與廣義速度的關(guān)系方向設(shè)定2024/2/623理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解參考基：O寫出點B的速度與廣義速度的關(guān)系連桿的長度不可改變，點A與點B的速度矢量在桿上的投影相等2024/2/624理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)虛位移原理前言虛位移虛位移原理及其應用

廣義力質(zhì)點系平衡條件

分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理2024/2/625理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)虛位移原理與應用原理描述分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用具有雙面理想約束的質(zhì)點系，其平衡的充分必要條件為：系統(tǒng)內(nèi)所有主動力對于質(zhì)點系的任意虛位移所作的元功之和為零，即元功dW稱為虛功，故虛位移原理也稱為虛功原理

2024/2/626理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)應用分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用討論質(zhì)點系平衡優(yōu)點：直接給出了主動力之間的關(guān)系而無需顧及理想約束力2024/2/627理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用/例[例]r曲柄滑塊機構(gòu)。在圖示位置，系統(tǒng)受到力偶、鉛垂力與水平力，該機構(gòu)處于平衡l求這些主動力(偶)之間的關(guān)系

2024/2/628理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用/解[解]參考基：以系統(tǒng)為對象虛功原理O定義虛位移定義獨立坐標的變分關(guān)系獨立坐標的變分平衡的充要條件

平衡位置已知主動力間的關(guān)系平衡位置主動力已知2024/2/629理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用/例[例]圖示機構(gòu)是由8根連桿鉸接成3個相同的菱形。菱形的邊長為b，鉸O固定，鉸A、B與C限定在鉛垂線上運動。不計各桿的重量求機構(gòu)在如圖所示位置處于平衡時，力FA與FC的比2024/2/630理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用/解[解]參考基：一個自由度定義角j為廣義坐標虛功原理虛位移的關(guān)系定義虛位移獨立坐標的變分平衡的充要條件

在此條件下任何位置都平衡

2024/2/631理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)應用：平衡態(tài)理想約束力的計算分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用將待求約束力相關(guān)的約束解除，把該約束力作為主動力處理，從而可得到它與主動力的關(guān)系

每次解除一個自由度

2024/2/632理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)[例]分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用/例圖示一三孔拱橋，不計橋自重，橋上有兩集中載荷求支座C的理想約束力2024/2/633理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)[解]分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用/解解除約束C，加上約束反力系統(tǒng)有一個自由度

廣義坐標

虛功原理參考基：定義虛位移2024/2/634理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用/解參考基：虛位移的關(guān)系（速度法）瞬心O方向方向瞬時平動方向2024/2/635理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用/解參考基：平衡的充要條件

2024/2/636理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)小結(jié)寫出主動力的虛功的表達式通過運動學的關(guān)系作等時變分，得到各點的虛位移與廣義坐標變分的關(guān)系式坐標法速度法代入虛功的表達式，得到只含獨立坐標變分的等式得到平衡充要條件已知主動力可求平衡位形已知平衡位形可求主動力應滿足的關(guān)系為了求理想約束力，需通過釋放約束，將該約束力作主動力處理分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應用2024/2/637理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)虛位移原理前言虛位移虛位移原理及其應用

廣義力質(zhì)點系平衡條件

分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理2024/2/638理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)廣義力質(zhì)點系平衡條件廣義力

質(zhì)點系平衡條件計算廣義力的方法勢力場中質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件2024/2/639理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)廣義力分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件質(zhì)點系質(zhì)點系笛卡兒坐標陣不獨立自由度定義獨立（廣義）坐標約束方程2024/2/640理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件廣義坐標約束方程笛卡兒坐標陣等時變分主動力的虛功令2024/2/641理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件廣義坐標約束方程笛卡兒坐標陣主動力的虛功作用于系統(tǒng)所有主動力關(guān)于廣義坐標wj

的廣義力廣義力的量綱取決于廣義坐標的量綱當wj為長度時，Qj為力量綱當wj為角度時，Qj為力偶量綱2024/2/642理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件/例[例]rlO2024/2/643理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)質(zhì)點系平衡條件分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件虛位移原理具有雙面理想約束的質(zhì)點系，其平衡的充分必要條件為所有關(guān)于廣義坐標的廣義力均為零2024/2/644理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件/例[例]rlO2024/2/645理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)計算廣義力的方法方法1列出所有主動力的虛功根據(jù)約束方程推導虛位移與廣義坐標虛位移的關(guān)系進行廣義坐標虛位移的同類項合并，即得到關(guān)于各廣義坐標的廣義力方法2

取某廣義坐標的變分dwj，令其他廣義坐標的變分為零計算由于該變分引起的各主動力所作的元虛功dWj分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件2024/2/646理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件/例[例]圖示一雙擺，擺長分別為l1與l2，質(zhì)量分別為m1與m2在擺端B上受到一水平力求系統(tǒng)平衡時，雙擺的位形2024/2/647理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件/解[解]質(zhì)心C1坐標主動力的虛功參考基：系統(tǒng)有兩個自由度取廣義坐標質(zhì)心C2坐標點B坐標2024/2/648理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件/解求廣義力參考基：令主動力的虛功2024/2/649理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件/解求廣義力參考基：令主動力的虛功2024/2/650理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點系平衡條件/解平衡充要條件平衡位形2024/2/651理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)勢力場中質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性勢力場質(zhì)點系平衡條件平衡穩(wěn)定性分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性2024/2/652理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)勢力場質(zhì)點系平衡條件廣義力分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性質(zhì)點系有勢力勢函數(shù)主動力2024/2/653理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性質(zhì)點系勢函數(shù)或廣義力2024/2/654理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)平衡條件分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性在勢力場中，質(zhì)點系在平衡位形處的勢能取極值或2024/2/655理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)平衡穩(wěn)定性定義分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性當質(zhì)點系在某平衡位形處受到微小擾動時，其位形只在平衡位置附近運動而不產(chǎn)生明顯的偏離，則稱為該平衡位形是穩(wěn)定的，否則稱為不穩(wěn)定

在實際問題中只有穩(wěn)定的平衡位形才可能存在穩(wěn)定不穩(wěn)定2024/2/656理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)拉格朗日-狄利克雷(P.G.L.Dirichlet)定理分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性若質(zhì)點系在平衡位形上的勢能具有極小值，則該平衡位形是穩(wěn)定的李亞普諾夫(A.M.Lyapunov)定理若質(zhì)點系在平衡位形上的勢能取極大，則平衡位置不穩(wěn)定穩(wěn)定不穩(wěn)定2024/2/657理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)多元函數(shù)極值判斷的一些結(jié)論分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性單自由度系統(tǒng)

平衡位形

若勢能V(w)的不等于零的最低階導數(shù)是偶數(shù)階平衡位位形w=w*為穩(wěn)定V(w*)取極小在w=w*為正在w=w*為負V(w*)取極大平衡位位形w=w*為不穩(wěn)定2024/2/658理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性兩自由度系統(tǒng)

平衡位形

平衡位位形w=w*為穩(wěn)定V(w*)取極小如果2024/2/659理論力學CAI分析力學基礎(chǔ)分析動力學基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點系平衡條件與穩(wěn)定性/例[例]一質(zhì)量為m的小球A套在一半徑為r的圓環(huán)上，圓環(huán)平面在鉛垂平面內(nèi)