投影與視圖中考真題與模擬精練（解析版）

專題28投影與視圖最新中考真題與模擬精練

1.（2022?安徽?定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校一模）學(xué)習(xí)投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長(zhǎng)度來(lái)

測(cè)量一路燈的高度,并探究影子長(zhǎng)度的變化規(guī)律.如圖，在同一時(shí)間，身高為1.6m的小明（48）的

影子8c長(zhǎng)是3m,而小穎（E/7）剛好在路燈燈泡的正下方，點(diǎn),并測(cè)得HB=6m.

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中畫出形成影子的光線,并確定路燈燈泡所在的位置G;

（2）求路燈燈泡的垂直高度GH;

⑶如果小明沿線段8”向小穎（點(diǎn)H）走去，當(dāng)小明走到8〃的中點(diǎn)以處時(shí)淇影子長(zhǎng)為8心;當(dāng)

小明繼續(xù)走剩下路程的（到星處時(shí)，其影子長(zhǎng)為82c力當(dāng)小明繼續(xù)走剩下路程的!到當(dāng)處，…,

按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當(dāng)小明走剩下路程的一二到8〃處時(shí),其影子的長(zhǎng)為m.（直

接用含〃的代數(shù)式表示）

BC

3

【答案】⑴詳見(jiàn)解析；（2）路燈燈泡的垂直高度G”是4.8m；（3）BnCn=—.

〃+1

【分析】（1）確定燈泡的位置，可以利用光線可逆可以畫出；

（2）要求垂直高度GH可以把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相似三角形的問(wèn)題，圖中團(tuán)ABC03GHe由它們

對(duì)應(yīng)成比例可以求出GH；

（3）的方法和（2）一樣也是利用三角形相似，對(duì)應(yīng)相等成比例可以求出，然后找出規(guī)律.

【詳解】解乂1）形成影子的光線如圖所示，路燈燈泡所在的位置為點(diǎn)G

G

⑵根據(jù)題意，得△力團(tuán)金導(dǎo)團(tuán)=廣二，解得GH=4.8m.

GHrrCGH6+3

答:路燈燈泡的垂直高度GH是4.8m.

⑶提示:同理可得△43/。/團(tuán)空=V

U/7rzC)

設(shè)8心長(zhǎng)為xm,則線

4.8x+3

解得x=1.5,即BiCj=1.5m.

1.6,

同理哀=RC1?，解得BC=1m,

4.06jZ

1.6BCn____3

048?1“，解得8"C”=-----

紇RGr+—^x6n+1

n+\

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用及中心投影，只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形

中，利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例解題.

2.(2019?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖，平面內(nèi)的兩條直線小以點(diǎn)A、B在直線/2上，過(guò)點(diǎn)A、

B兩點(diǎn)分別作直線//的垂線，垂足分別為Ai、Bi，我們把線段AiBi叫做線段AB在直線上

的正投影，其長(zhǎng)度可記作T，AB.CD)或T<AB.如，特別地，線段AC在直線〃上的正投影就是線

段AiC,請(qǐng)依據(jù)上述定義解決如下問(wèn)題.

(1)如圖1,在銳角AABC中,AB=5,T(AC,AB)=3,則T，BGAB>=;

(2)如圖2,在Rt0ABe中,(3ACB=90°,T<AC.AB)=4,T.BC,AB>=9,求13ABe的面積；

(3)如圖3,在鈍角13ABe中,回A=60°,點(diǎn)D在AB邊上，0ACD=9O°,T<AD,AO=2,T(BC.AB>

7

【答案】(1)2；(2)AABC的面積=39；(3)T，BC,CD,=<6

2

【分析】⑴如圖L過(guò)C作CHI3AB,根據(jù)正投影的定義求出BH的長(zhǎng)即可；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CHI3AB于H,由正投影的定義可知AH=4,BH=9,再根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)求出CH的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題；

⑶如圖3,過(guò)C作CH0AB于H,過(guò)B作BK0CD于K,求出CD、DK即可得答案.

【詳解】⑴如圖1,過(guò)C作CHBAB,垂足為H,

團(tuán)T(ACAB)=3，

0AH=3,

0AB=5,

0BH=AB-AH=2,

0T（BC.AB）=BH=2,

故答案為2：

⑵如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CH13AB于H,

貝帆AHC=13CHB=90°,

00B+0HCB=9O°,

0BACB=9O°,

團(tuán)團(tuán)B+R1A=9O°

00A=0HCB,

00ACH00CBH,

團(tuán)CH：BH=AH：CH,

[?1CH2=AH-BH,

酊（AC.AB）=4,T（BC.AB）=9,

0AH=4,BH=9,

[?]AB=AH+BH=13,CH=6,

0SAABC=（AB-CHH2=13X64-2=39；

⑶如圖3,過(guò)C作CH回AB于H,過(guò)B作BK回CD于K,

00ACD=9O°?T（AD.AC）=2,

0AC=2,

國(guó)0A=60°,

團(tuán)團(tuán)ADC=囪BDK=30°,

0CD=AC-tan6O°=2V3,AD=2AC=4,AH=yAC=l,

0DH=4-1=3,

0T（BC.AB）=6，CH團(tuán)AB,

0BH=6,

E1DB=BH-DH=3,

在RtmBDK中，回K=90°,BD=3,0BDK=3O°,

ElDK=BD-cos30c>=—,

2

37

0T（BC,CD）=CK=CD+DK=6+產(chǎn)=

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了正投影的定義，解直角三角形，相似三角形的判定與

性質(zhì)等知識(shí)，理解題意，正確添加輔助線，構(gòu)建直角三角形是解題問(wèn)題的關(guān)鍵.

3.（2020?四川攀枝花?中考真題）實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開(kāi)展數(shù)學(xué)"綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng).有兩座垂

直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線MN的

距離皆為100cm.王詩(shī)嬤觀測(cè)到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高

圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示.已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直,

并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度i=1:0.75,在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)

解答下列問(wèn)題：

（1）若王詩(shī)嬤的身高為150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少cm?

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面

內(nèi).請(qǐng)直接回答這個(gè)猜想是否正確？

（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm,則高圓柱的高度為多少cm?

【分析】（1）根據(jù)同一時(shí)刻，物長(zhǎng)與影從成正比，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

（2）根據(jù)落在地面上的影子皆與坡腳水平線MV互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，結(jié)合橫

截面分析可得；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FGEICE于點(diǎn)G,設(shè)FG=4m,CG=3m,利用勾股定理求出CG和FG,得到BG,

過(guò)點(diǎn)F作FHG1AB于點(diǎn)H,再根據(jù)同一時(shí)刻身高與影長(zhǎng)的比例，求出AH的長(zhǎng)度，即可得到

AB.

【詳解】解：（1）設(shè)王詩(shī)姬的影長(zhǎng)為xcm,

人…“90150

由題意可得：—=—,

72x

解得：x=120,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=120是分式方程的解，

王詩(shī)嬤的的影子長(zhǎng)為120cm；

（2）正確，

因?yàn)楦邎A柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽(yáng)光的光線與MN垂直，

則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過(guò)斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，

而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，

回高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)；

（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽(yáng)光，團(tuán)CDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，

過(guò)點(diǎn)F作FG0CE于點(diǎn)G,

由題意可得：BC=100,CF=100,

回斜坡坡度i=1:0.75,

DEFG14

0----=------------=-，

CECG0.753

團(tuán)設(shè)FG=4m,CG=3m,在團(tuán)CFG中，

(4機(jī)『+(3機(jī)y=10()2,

解得：m=20,

0CG=6O,FG=80,

0BG=BC+CG=16O,

過(guò)點(diǎn)F作FHI3AB于點(diǎn)H,

團(tuán)同一時(shí)刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm,

FG0BE,AB團(tuán)BE,FH0AB,

可知四邊形HBGF為矩形，

90AHAH

團(tuán)—=---=----，

72HFBG

90廿90…

國(guó)AH二一xBG=一x160=200,

7272

[?]AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280,

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是理解實(shí)際物體與影長(zhǎng)之間的關(guān)系解決問(wèn)題，屬于中考常考題型.

4.（2011?全國(guó)?中考模擬）如圖所給的A、B、C三個(gè)幾何體中，按箭頭所示的方向?yàn)樗鼈兊?/p>

正面，設(shè)A、B、C三個(gè)幾何體的主視圖分別是人、B,,C,;左視圖分別是A?、Bz、C2;

俯視圖分別是A3、B3、C3.

（1）請(qǐng)你分別寫出5、Az、A3、Bi、B：、B；、C,、C?、C3圖形的名稱；

（2）小剛先將這9個(gè)視圖分別畫在大小、形狀完全相同的9張卡片上，并將畫有A-A?、

A3的三張卡片放在甲口袋中，畫有“、B2、B3的三張卡片放在乙口袋中，畫有Ci、C?、

加的三張卡片放在丙口袋中，然后由小亮隨機(jī)從這三個(gè)口袋中分別抽取一張卡片.

①畫出樹狀圖，求出小亮隨機(jī)抽取的三張卡片上的圖形名稱都相同的概率；

②小亮和小剛做游戲，游戲規(guī)則規(guī)定：在小亮隨機(jī)抽取的三張卡片中只有兩張卡片上的圖

形名稱相同時(shí)，小剛獲勝；三張卡片上的圖形名稱完全不同時(shí)，小亮獲勝.這個(gè)游戲?qū)﹄p方

公平嗎？為什么？

4面

【答案】⑴見(jiàn)解析；⑵①"②不公平，詳見(jiàn)解析.

【分析】（1）通過(guò)觀察幾何體，直接寫出它們?nèi)N視圖的名稱則可；

（2）按照題意畫出樹狀圖，獲勝的概率相同游戲就公平.

【詳解】（1）由已知可得Ai、A?是矩形，A3是圓：Bi、B2、B3都是矩形；Cj,是三角形，C2、

C3是矩形；

（2）①補(bǔ)全樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，共有27種等可能結(jié)果，其中三張卡片上的圖形名稱都相同的結(jié)果有12種,

回三張卡片上的圖形名稱都相同的概率是212=14；

②游戲?qū)﹄p方不公平.由①可知，三張卡片中只有兩張卡片上的圖形名稱相同的概率是

藁12=4￡，即勝尸?4，三張卡片上的圖形名稱完全不同的概率是《3=：I，即P＜，M?g=：1，

回這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平.

【點(diǎn)睛】本題比較容易，考查三視圖和考查立體圖形的三視圖和學(xué)生的空間想象能力.還考

查了通過(guò)畫樹狀圖求隨機(jī)事件的概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為:三視圖分別是從物體的正面，左面，

上面看得到的圖形；概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

5.（2022?陜西?中考真題）小明和小華利用陽(yáng)光下的影子來(lái)測(cè)量一建筑物頂部旗桿的高.如

圖所示，在某一時(shí)刻，他們?cè)陉?yáng)光下，分別測(cè)得該建筑物。8的影長(zhǎng)OC為16米，04的影

長(zhǎng)。。為20米，小明的影長(zhǎng)FG為2.4米，其中。、C、D、F、G五點(diǎn)在同一直線上，A.

B、。三點(diǎn)在同一直線上，且NO0OZ）,EF^FG.已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高

AB.

【答案】旗桿的高Z8為3米.

【分析】證明△/OZMAEFG,利用相似比計(jì)算出40的長(zhǎng)，再證明A8OC0UOZ）,然后利用

相似比計(jì)算08的長(zhǎng)，進(jìn)一步計(jì)算即可求解.

【詳解】解：EWZX2AG,

WADO=&EGF.

乂的4OZ）=MFG=90°,

^AOD^t^EFG.

0-A-O=-0-D

EFFG

sEFOD1.8x20?

團(tuán)AO=-------=------=15.

FG2.4

同理，△AOCl△40。.

BOOC

0—=

AO~OD

AOOC15X16

團(tuán)BO=

0D-20

^4B=OA-OB=3（米）.

團(tuán)旗桿的高48為3米.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽(yáng)光的照射

下形成的影子就是平行投影.平行投影中物體與投影面平行時(shí)的投影是全等的.

6.（2022?江西?模擬預(yù)測(cè)）如圖1所示的是一戶外遮陽(yáng)傘支架張開(kāi)的狀態(tài)，圖1可抽象成圖

2,在圖2中，點(diǎn)”可在8。上滑動(dòng)，當(dāng)傘完全折疊成圖3時(shí)，傘的下端點(diǎn)廠落在F'處，點(diǎn)

C落在C'處，AE=EF,AC=BC=CE=90cm,DF'=10cm.

B

E

B

(1)BD的長(zhǎng)為.

⑵如圖2,當(dāng)AB=54cm時(shí).

①求,ACB的度數(shù)；(參考數(shù)據(jù)：sin17.5°?0.30,tan16.7°x0.30,sin36.9°=0.60,

tan31.0°a0.60)

②求傘能遮雨的面積(傘的正投影可以看作一個(gè)圓).

【答案】⑴250cm

(2)①35°；②29484萬(wàn)

【分析】(1)根據(jù)題意可得+當(dāng)傘完全折疊成圖3時(shí)，傘的下端點(diǎn)尸落在F'

處，點(diǎn)C落在C'處，可得BF'=EF=AC+CE,代入數(shù)據(jù)求解即可；

(2)①過(guò)點(diǎn)C作CGLAG,根據(jù)8C=AC,可得4G=G8=27cm,ZACG=-ZACB,根

據(jù)sinNACG=0.3,sin17.5°?0.30,即可求解；

②根據(jù)題意可知CG〃AF,則NE4H=17.5。，根據(jù)=sinl7.5。-AE求得EH,根據(jù)勾股

定理可得A"2=AE2-E〃2,根據(jù)正投影是一個(gè)圓，根據(jù)圓的面積公式求解即可.

(1)

解：團(tuán)=+當(dāng)傘完全折疊成圖3時(shí)，傘的下端點(diǎn)尸落在F'處，點(diǎn)C落在C'處，

可得BF'=EF=AC+CE

QBD=BF'+F'D=EF+F'D=AC+CE+F'D=90+90+10=250cm

(2)

①如圖，過(guò)點(diǎn)C作CGLAG

圖2

BC=AC=90cm,AB=54cm

.?.AG=G8=27cm,ZACG=-ZACB

2

sinZACG=—=—=—^0.3

AC9010

.\ZACG=n.5°

/.ZACB=2ZACG=35°

②如圖，連接AT,過(guò)點(diǎn)E作尸,

圖2

AE=EF

：.AH=HF

根據(jù)題意可知CG〃AF

.-.ZEA//=17.5°

AE=180cm

EH=sin17.5°-AE=0.3x180=54

AH'=AE2-EH2=18（）2-542=29484

二傘能遮雨的面枳為29484萬(wàn)

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正投影，理解題意是解題的關(guān)鍵.

7.（2018?江蘇揚(yáng)州?中考模擬）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，圖形W在坐標(biāo)軸上的投影

長(zhǎng)度定義如下：設(shè)點(diǎn)尸U,%）,0（演，＞,2）是圖形W上的任意兩點(diǎn)，若忱-司的最

大值為m，則

圖形w在X軸上的投影長(zhǎng)度為lx=m；若e-的最大值為“，則圖形w在y軸

上的

投影長(zhǎng)度為ly=n.如圖1,圖形W在X軸上的投影長(zhǎng)度為lx=|4-。=4；在y軸

上的投影長(zhǎng)度為ly=|3-0|=3.

(1)己知點(diǎn)A(l,2),8(2,3),C(3,l),如圖2所示，若圖形W為四邊形OABC,

則lx=,ly=；

(2)己知點(diǎn)C(-g,O)，點(diǎn)D在直線y=yx-l(x<0)上，若圖形W為XOCD，當(dāng)收=

2N

ly

時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)若圖形W為函數(shù)y=x2(a4x46)的圖象，其中(04“<用，當(dāng)該圖形滿足

lx=ly41時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍.

圖1圖2

2141

【答案】(1)43；(2)—)或(-10,-14);(3)0<a<-.

【分析】(1)確定出點(diǎn)A在y軸的投影的坐標(biāo)、點(diǎn)B在x軸上投影的坐標(biāo)，于是可求得問(wèn)題

的答案；

(2)過(guò)點(diǎn)P作PD取軸，垂足為P.設(shè)D(x,2x+6),則PD=|2x+6|.PC=|3-x|,然后依據(jù)lx=ly,

列方程求解即可；

(3)設(shè)A(a,a2),B(b,b2).分別求得圖形在y軸和x軸上的投影,由k=1丫可得到b+a=L

然后根據(jù)?OVaVb可求得a的取值范圍.

【詳解】解：(1)0A(3,3),

團(tuán)點(diǎn)A在y軸上的正投影的坐標(biāo)為(0,3).

00OAB在y軸上的投影長(zhǎng)度ly=3.

0B(4,1),

回點(diǎn)B在x軸上的正投影的坐標(biāo)為(4,0).

03OAB在x軸上的投影長(zhǎng)度lx=4.

故答案為4；3.

(2)如圖1所示；過(guò)點(diǎn)P作PD取軸，垂足為P.

0PD0X軸,

團(tuán)P(x,0).

0PC=4-x.

Ellx=ly?

2

EI2x+6=4-x,解得；x=--.

EIPD取軸，

回P(x,0).

0PC=4-x.

0lx=ly>

0-2x-6=4-x,解得；x=-10.

0D(-10,-14).

214

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,g)或(-10,-14).

1J

（3）如圖3所示:

圖3

設(shè)A(a,a?)、B(b,b2).則CE=b-a,DF=b2-a2=(b+a)(b-a).

0lx=ly?

0(b+a)(b-a)=b-a,即(b+a-1)(b-a)=0.

Elbxa,

0b+a=l.

乂團(tuán)OWaVb,

0a+a<l,

0O<a<^.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、解答本題主要應(yīng)用了圖形W在坐標(biāo)軸上

的投影長(zhǎng)度定義、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，依據(jù)卜=1丫列出

關(guān)于x的方程和不等式是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè)）測(cè)量金字塔高度：如圖1,金字塔是正四棱錐S-A88,點(diǎn)

。是正方形ABCZ）的中心SO垂直于地面，是正四棱錐S-43CD的高，泰勒斯借助太陽(yáng)光.測(cè)

量金字塔影子.PBC的相關(guān)數(shù)據(jù)，利用平行投影測(cè)算出了金字塔的高度，受此啟發(fā)，人們對(duì)

甲、乙、丙三個(gè)金字塔高度也進(jìn)行了測(cè)量.甲、乙、丙三個(gè)金字塔都用圖1的正四棱錐S-MCD

表示.

圖1圖2

（1）測(cè)量甲金字塔高度：如圖2,是甲金字塔的俯視圖，測(cè)得底座正方形A3C。的邊長(zhǎng)為80m,

金字塔甲的影子是PBC,PC=PB=50m,此刻，1米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.7米，則甲金字塔的

高度為m.

（2）測(cè)量乙金字塔高度：如圖1,乙金字塔底座正方形488邊長(zhǎng)為80m,金字塔乙的影

子是PBC,ZPCB=75°,PC=40V2m,此刻1米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為0.8米，請(qǐng)利用已測(cè)出的數(shù)

據(jù)，計(jì)算乙金字塔的高度.

【答案】(1)100；(2)50娓.

【分析】(1)如圖2中，連接OP交8C于7,勾股定理求得OP,再根據(jù)物體的長(zhǎng)度與影子

的長(zhǎng)度成比例，即可求得OS：

(2)如圖1中，連接OP,OC,過(guò)點(diǎn)。作ORLPC交PC的延長(zhǎng)線于R,勾股定理求得OP,

再根據(jù)物體的長(zhǎng)度與影子的長(zhǎng)度成比例，即可求得。S.

【詳解】(1)如圖2中，連接。尸交8CTT,

圖2

??四邊形ABC。是正方形，

?.OC=OB,AC1.BD,BC=C￡>=80,

PC=PB=5Q,

，o尸垂直平分BC,

OT=-CD=40,TC=TB=-BC=40,

22

：.PT=ylPC2-CT2=>/502-402=30>

OP=OT+PT=40+30^10.

設(shè)金子塔的高度為/?,物體的長(zhǎng)度與影子的長(zhǎng)度成比例,

OP0.7

.\/i=100,

故答案為：100.

(2)如圖，根據(jù)圖1作出俯視圖，連接OP，OC,過(guò)點(diǎn)。作ORLPC交PC的延長(zhǎng)線于R,

圖1

NOCP=ZOCB+4PCB=45°+75°=l20°,

/OCR=60。，

BC=80,四邊形ABC。是正方形，

OC=-AC=-4ABr+BC-=-V802+802=400,

222

/.CR=OCxcos600=20V2，

G

6>??=OCxsin60°=4072x—=20x/6,

2

PR=PC+CR=40V2+2072=6072，

..OP=ylOR2+PR2=J(20府+(6(X②2=加#，

SO=1

而一淳，

SO=50娓.

，乙金字塔的高度為50#.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，俯視圖，物長(zhǎng)與影長(zhǎng)成正比等知識(shí)，正

確的添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

9.(2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖是某校校史榮譽(yù)室的正方形網(wǎng)格平面圖，實(shí)線表示墻

體或門.在點(diǎn)A處安裝了360度旋轉(zhuǎn)攝像頭，由于墻體的的遮擋，陰影部分無(wú)法監(jiān)控，這部

分無(wú)法監(jiān)控到的區(qū)域通常稱為監(jiān)控盲區(qū).

(1)小紅同學(xué)進(jìn)入校史榮譽(yù)室隨意參觀，站在監(jiān)控盲區(qū)的概率是多少？

(2)為了監(jiān)控效果更好，使得監(jiān)控盲區(qū)最小，請(qǐng)你幫助學(xué)校在墻體A8上重新設(shè)計(jì)攝像頭

安裝的位置，畫出示意圖，并說(shuō)明理由.

3

【答案】（1）益；（2）見(jiàn)詳解

【分析】（1）分別求出榮譽(yù)室面積和盲區(qū)面積，再利用概率公式，即可求解；

（2）把攝像頭安裝在的中點(diǎn)處，計(jì)算出監(jiān)控盲區(qū)的面積，然后把攝像頭安裝在的其

他位置，表達(dá)出監(jiān)控盲區(qū)的面積，即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,

回榮譽(yù)室面積=2x2+2x2+2x6=20,盲區(qū)面積=2x2-gx2xl=3,

3

由站在監(jiān)控盲區(qū)的概率=3+20二點(diǎn)；

（2）如圖所示：攝像頭安裝在的中點(diǎn)處，監(jiān)控盲區(qū)的面積最小，此時(shí)，監(jiān)控盲區(qū)面積

=2x^-xlx2=2,

若攝像頭不安裝在”的中點(diǎn)處，則監(jiān)控盲區(qū)面積=1x（CM+2）x2>2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概率，掌握概率公式和方格紙的面積的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵.

10.（2019?陜西西安?中考模擬）如圖，小華在晚上由路燈/走向路燈&當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，

發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部；當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)

他身前影子的頂部剛好接觸到路燈8的底部.已知小華的身高是1.6m,兩個(gè)路燈的高度都

是9.6m,JiAP=QB.

（1）求兩個(gè)路燈之間的距離.

（2）當(dāng)小華走到路燈8的底部時(shí)，他在路燈4下的影長(zhǎng)是多少？

【答案】（1）18米；（2）3.6米

【分析】（1）如圖1,先證明EWPM0a4B0,利用相似比可得4P=）/8,即得

66

貝lj:48+12+—/8=28,解得48=18（M）；

66

（2）如圖2,他在路燈4下的影子為8M證明團(tuán)N8朋0毗4C,利用相似三角形的性質(zhì)得

■^77=總，然后利用比例性質(zhì)求出8N即可.

8V+189.6

【詳解】解：(1)如圖1,團(tuán)尸M08D,

^APM^ABD,

APPMAP1.6

---=----'即nn---='

ABBDAB9.6

^AP=-AB

6f

國(guó)QB=4P,

^BQ=-AB,

6

而4P+PQ+BQ=AB,

^-AB+12+-AB=AB,

66

^L4B=18.

答：兩路燈的距離為18m；

(2)如圖2,他在路燈/下的影子為8M

團(tuán)8ML4C,

闔N8M非1ARC,

BNBMBN1.6”口

0-----=------，即Rn-------=—，解倚5N=3.6.

ANACBN+T89.6

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)圖形，能判定

出相似三角形，以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等的原理解決求

線段長(zhǎng)的問(wèn)題等，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

11.(2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))小華想用學(xué)過(guò)的測(cè)量知識(shí)來(lái)測(cè)量家門前小河8c的寬度：

如圖所示，他們?cè)诤影哆叺目盏厣线x擇一點(diǎn)C,并在點(diǎn)C處安裝了測(cè)傾器8,選擇了河對(duì)

岸邊的一棵大樹，將其底部作為點(diǎn)8,頂部作為點(diǎn)4現(xiàn)測(cè)得古樹的項(xiàng)端Z的仰角為37。，

再在8c的延長(zhǎng)線上確定一點(diǎn)凡使CF=5米，小華站在斤處，測(cè)得小華的身高EF=1.8米，

小華在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)FG=3米，此時(shí)，大樹在太陽(yáng)光下的影子為8?已知測(cè)傾器的

高度CD=1.5米，點(diǎn)G、F、C、8在同一水平直線上，且EGCD、均垂直于8G,求

小河的寬度BC.(參考數(shù)據(jù):sin370~0.6,cos37°~0.8,tan37°~0.75)

【答案】10米

【分析】過(guò)點(diǎn)。作?！癊L48所在直線于點(diǎn)〃，可得四邊形。是矩形，BC=DH,BH=

CD=1.5,設(shè)BC=DH=x,在Rt△力。H中，用x表示出47,再根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的

比相等，列出等式即可求出小河的寬度BC.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。曲8所在直線于點(diǎn)

可得四邊形。C84是矩形，

0BC—,BH=CD=1.5,

設(shè)BC=DH=x,

根據(jù)題意可知：

在中，聰。，=37。，

0J"=DH"a〃37°=O.75x,

&AB=AH+BH=0.75x+1.5,

8F=FC+C8=5+x,

根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等,

EFAB

0--=--,

FGBF

1.80.75X+1.5

0—=------，

解得x=10,

所以8c=10（米），

答：小河的寬度8c為10米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題、平行投影，解決本題的關(guān)鍵是設(shè)

出未知數(shù)，利用同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比相等建立方程.

12.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在陽(yáng)光下，小玲同學(xué)測(cè)得一根長(zhǎng)為1米的垂直地面的竹

竿的影長(zhǎng)為0.6米，同時(shí)小強(qiáng)同學(xué)測(cè)量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子有一部分0.2米落在教學(xué)

樓的第一級(jí)臺(tái)階上，落在地面上的影長(zhǎng)為4.42米，每級(jí)臺(tái)階高為0.3米.小玲說(shuō)：“要是沒(méi)

有臺(tái)階遮擋的話，樹的影子長(zhǎng)度應(yīng)該是4.62米”；小強(qiáng)說(shuō)：“要是沒(méi)有臺(tái)階遮擋的話，樹

的影子長(zhǎng)度肯定比4.62米要長(zhǎng)”.

（1）你認(rèn)為小玲和小強(qiáng)的說(shuō)法對(duì)嗎？

（2）請(qǐng)根據(jù)小玲和小強(qiáng)的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算樹的高度；

（3）要是沒(méi)有臺(tái)階遮擋的話，樹的影子長(zhǎng)度是多少？

【答案】（1）小玲的說(shuō)法不對(duì)，小強(qiáng)的說(shuō)法對(duì)；（2）樹的高度為8米；（3）樹的影子長(zhǎng)度是

4.8米.

【分析】（1）根據(jù)題意可得小玲的說(shuō)法不對(duì)，小強(qiáng)的說(shuō)法對(duì)；

DE1

（2）根據(jù)題意可得等=白，DE=0.3,EH=0.18,進(jìn)而可求大樹的影長(zhǎng)AF,所以可求大樹

EH0.6

的高度；

（3）結(jié)合（2）即可得樹的影長(zhǎng).

【詳解】（1）小玲的說(shuō)法不對(duì)，小強(qiáng)的說(shuō)法對(duì)，理由如下（2）可得；

（2）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，

根據(jù)平行投影可知：蕓DE=白1，DE=03,

EH0.6

，E，=0.3X0.6=0.18,

..?四邊形。G”是平行四邊形，

:.FH=DG=Q2,

VJ￡=4.42,

,4/=N￡+E〃+/7/=4.42+0.18+0.2=4.8,

..AB1

'AF

48

=8（米）.

0.6

答：樹的高度為8米.

（3）由（2）可知：

/尸=4.8（米），

答：樹的影子長(zhǎng)度是4.8米.

【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的應(yīng)用、平行投影，解題關(guān)鍵是掌握并運(yùn)用平行投影.

13.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）為方便住校生晚自習(xí)后回到宿舍就寢，新安裝了一批照明

路燈；一天上午小剛在觀看新安的照明燈時(shí)，發(fā)現(xiàn)在太陽(yáng)光的正面照射下，照明燈的燈桿的

投影的末端恰好落在2.5米高文化走廊墻的頂端，小剛測(cè)得照明燈的燈桿的在太陽(yáng)光下的投

影從燈桿的桿腳到文化走廊的墻腳的影長(zhǎng)為4.6米，同一時(shí)刻另外一個(gè)前來(lái)觀看照明路燈小

靜測(cè)得身高1.5米小剛站立時(shí)在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)恰好為1米，請(qǐng)同學(xué)們畫出與問(wèn)題相關(guān)聯(lián)的

線條示意圖并求出新安裝的照明路燈的燈桿的高度？

【答案】線條示意圖見(jiàn)解析，新安裝的照明路燈的燈桿的高度為9.4m.

AR1SAft

（分析］利用同一時(shí)刻投影的性質(zhì)得出黑=?=哭，進(jìn)而得出答案.

BE14.6

【詳解】解:如圖所示:過(guò)點(diǎn)E作EB0AC于點(diǎn)B,

B

2.5

C4.6D

由題意可得:DC=BE=4.6m,DE=BC=2.5m,

團(tuán)同一時(shí)刻身高L5米小剛站立時(shí)在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)恰好為1米，

AB1.5AB

47

解得:AB=6.9,

0AC=AB+BC=6.9+2.5=9.4（m）,

答:新安裝的照明路燈的燈桿的高度為9.4m.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了投影的應(yīng)用，利用同一時(shí)刻影子與高度的關(guān)系得出比例式是解題關(guān)

鍵.

14.（2011?四川達(dá)州?中考模擬）已知：如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=

5m,某一時(shí)刻，AB在陽(yáng)光下的投影BC=4m.

（1）請(qǐng)你在圖中畫出此時(shí)DE在陽(yáng)光下的投影；

（2）在測(cè)量AB的投影長(zhǎng)時(shí)，同時(shí)測(cè)出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為6m,請(qǐng)你計(jì)算DE的長(zhǎng).

D

BCE

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）7.5m

【詳解】解：（1）作法：連接AC,過(guò)點(diǎn)D作DFMC,交直線BE于F,

則EF就是DE的投影.

(2)團(tuán)太陽(yáng)光線是平行的,

團(tuán)AC團(tuán)DF.

團(tuán)團(tuán)ACB二13DFE.

又團(tuán)團(tuán)ABC二團(tuán)DEF=90°,

團(tuán)團(tuán)ABC雷DEF.

ABBC

團(tuán)----=----

DEEF

團(tuán)AB=5m,BC=4m,EF=6m,

54

團(tuán)---=—,

DE6

0DE=7.5(m).

【點(diǎn)睛】本題難度中等，主要考查學(xué)生對(duì)投影問(wèn)題與相似三角形相結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

15.(2021,全國(guó),九年級(jí)專題練習(xí))某數(shù)學(xué)興趣小組，利用樹影測(cè)量樹高，如圖(1),已測(cè)

出樹的影長(zhǎng)/C為12米，并測(cè)出此時(shí)太陽(yáng)光線與地面成30。夾角.

(1)求出樹高/以

(2)因水土流失，此時(shí)樹沿太陽(yáng)光線方向倒下，在傾倒過(guò)程中，樹影長(zhǎng)度發(fā)生了變化，

假設(shè)太陽(yáng)光線與地面夾角保持不變.求樹的最大影長(zhǎng).(用圖(2)解答)

B

【答案】⑴樹48的高約為4G加；(2)873/?,

【分析】(1)在直角西8c中，已知胡C8=30。，/C=12米.利用三角函數(shù)即可求得Z8的長(zhǎng)；

(2)在財(cái)歷。中，已知48/的長(zhǎng),即28的長(zhǎng),?8MC/=45。，Hfi/C/^=30°.過(guò)8/作/C/的

垂線，在直角B48/N中根據(jù)三角函數(shù)求得ZN,BN；再在直角助小。中，根據(jù)三角函數(shù)求得

NG的長(zhǎng)，再根據(jù)當(dāng)樹與地面成60。角時(shí)影長(zhǎng)最大，根據(jù)三角函數(shù)即可求解.

【詳解】解：(1)Z8=4Ctan30°=12x3=46(米).

3

答：樹高約為46米.

(2)如圖(2),BIN=AN=AB5心=4昌4-=2限(米).

2

NC尸N8/tan60°=26=672（米）.

ACkAN+NCI=2瓜+6人.

當(dāng)樹與地面成60。角時(shí)影長(zhǎng)最大4c2（或樹與光線垂直時(shí)影長(zhǎng)最大或光線與半徑為AB的的

相切時(shí)影長(zhǎng)最大）

4c2=2AB2=8y/5:

16.（2015?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）某興趣小組開(kāi)展課外活動(dòng).如圖，A,8兩地相距12米，小

明從點(diǎn)4出發(fā)沿N8方向勻速前進(jìn)，2秒后到達(dá)點(diǎn)O,此時(shí)他（CD）在某一燈光下的影長(zhǎng)為

AD,繼續(xù)按原速行走2秒到達(dá)點(diǎn)F,此時(shí)他在同一燈光下的影子仍落在其身后，并測(cè)得這

個(gè)影長(zhǎng)為1.2米，然后他將速度提高到原來(lái)的1.5倍，再行走2秒到達(dá)點(diǎn)〃，此時(shí)他（G，）

在同一燈光下的影長(zhǎng)為8"（點(diǎn)C,E,G在一條直線上）.

CEG

ADFHB

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出光源。點(diǎn)的位置，并畫出他位于點(diǎn)尸時(shí)在這個(gè)燈光下的影長(zhǎng)尸M（不寫

畫法）：

（2）求小明原來(lái)的速度.

【答案】（1）作圖見(jiàn)試題解析；（2）

【分析】（1）利用中心投影的定義作圖；

（2）設(shè)小明原來(lái)的速度為P'lJCE-2xm,AM-（4x-1.2）m,EG-3xm,SA/=13.2-4x,

CFFG

由△OC￡I配CMM,LOEG^\OMB,得至U——=——，即代入解方程即可.

AMBM

【詳解】解：（1）如圖，

0

ADMFHB

(2)設(shè)小明原來(lái)的速度為

則CE=ZwnAM^AF-MF^(4x-1.2)nuEG=2xl.5x=3xm,BM=AB-AM=12-(4x-1.2)

=13.2-4x,

田點(diǎn)C,E,G在一條直線上，CGEL48,

團(tuán)團(tuán)OCE團(tuán)團(tuán)。1歷，^OEGWOMB,

0CEOEEGOE

0-----=~~—，----=——，

AMOMBMOM

CEEG2x3x

團(tuán)---=----，即nn-------=--------,

AMBM4x-1.213.2-4%

解得x=1.5,經(jīng)檢驗(yàn)x=1.5為方程的解，

13小明原來(lái)的速度為1.5m/s.

答：小明原來(lái)的速度為1.5m/s.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用以及中心投影，掌握中心投影的定義以及相似三角形的

判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

17.（2015?甘肅蘭州?中考真題）如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗

桿AB和一根高度未知的電線桿CD,它們都與地面垂直，為了測(cè)得電線桿的高度，一個(gè)小組

的同學(xué)進(jìn)行了如下測(cè)量：某一時(shí)刻，在太陽(yáng)光照射下，旗桿落在圍墻上的影子EF的長(zhǎng)度為

2米，落在地面上的影子BF的長(zhǎng)為10米，而電線桿落在圍墻上的影子GH的長(zhǎng)度為3米，

落在地面上的影子DH的長(zhǎng)為5米，依據(jù)這些數(shù)據(jù)，該小組的同學(xué)計(jì)算出了電線桿的高度.

⑴該小組的同學(xué)在這里利用的是投影的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算的；

（2）試計(jì)算出電線桿的高度，并寫出計(jì)算的過(guò)程.

【答案】（1）平行；（2）電線桿的高度為7米.

【分析】（1）有太陽(yáng)光是平行光線可得利用的是平行投影；

（2）連接AM、CG,過(guò)點(diǎn)E作ENEIAB于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)G作GMEICD于點(diǎn)M,根據(jù)平行投影時(shí)

同一時(shí)刻物體與他的影子成比例求出電線桿的高度.

【詳解】（1）平行：

（2）連接AM、CG,過(guò)點(diǎn)E作ENISAB于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)G作GMEICD于點(diǎn)M,

貝BN=EF=2,GH=MD=3,EN=BF=10,DH=MG=5

所以AN=10-2=8,

AX_GVJOT.

由平行投影可知：A/GBIJ：嬲：5

解得CD=7

所以電線桿的高度為7m.

18.（2020?甘肅白銀?二模）如圖，一棵被大風(fēng)吹折的大樹在B處斷裂，樹梢著地.經(jīng)測(cè)量，

折斷部分A8與地面的夾角a=33°,樹干在某一時(shí)刻陽(yáng)光下的影長(zhǎng)8=6米，而在同時(shí)刻

身高L8米的人的影子長(zhǎng)為2.7米.求大樹未折斷前的高度（精確到0』米）.（參考數(shù)據(jù)：

sin33?0.54,cos33?0.84,（。〃33才0.65）

【答案】11.4米

【分析】利用比例式求得BC