陜西省西北大學2023學年高三最后一卷數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為-2,前”項和為S“，%,%為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內(nèi)角為120。,

若S,,WS,“對任意的〃eN*恒成立，則實數(shù)加=().

A.6B.5C.4D.3

2.為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計學家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所

示.勞倫茨曲線為直線OL時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線Oh時，表示收入完全不平等.記區(qū)域A為不平等

區(qū)域，。表示其面積，S為也的面積，將Gini=￡稱為基尼系數(shù).

累

計

收

n入

分

比

累計人口百分比(%)

對于下列說法：

①Gini越小，則國民分配越公平；

②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為y=/(x),則對Vxe(0,l),均有3>1；

X

③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為y=d(xe[0,1]),則Gini=；；

④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為y=[0,1]),則Gini=g.

其中正確的是：

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

3.若不等式2xlnx…必對xe[l,+oo)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,0)B.y,i]C.(0,+oo)D.

4.給出以下四個命題：

①依次首尾相接的四條線段必共面；

②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；

③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等;

④垂直于同一直線的兩條直線必平行.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

22

5.設(shè)點P是橢圓a+?=1（。>2）上的一點，耳，耳是橢圓的兩個焦點，若山用=46,則歸耳|+歸國=（）

A.4B.8C.472D.477

6.將函數(shù)J（x）=si"3x-百cos3x+l的圖象向左平移J個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，給出下列關(guān)于g（x）的結(jié)論:

6

①它的圖象關(guān)于直線尸白54對稱；

27r

②它的最小正周期為二I;

3

11"

③它的圖象關(guān)于點（-此，1）對稱；

1O

5TT1QTT

④它在［§,方］上單調(diào)遞增.

其中所有正確結(jié)論的編號是（）

A.①②B.②③C.①②④D.②③④

7.過拋物線y2=2px（p>0）的焦點/作直線與拋物線在第一象限交于點A,與準線在第三象限交于點8,過點A作

AF\

準線的垂線，垂足為H.若tan/MH=2,則一，=（）

543

A.—B.—C.-D.2

432

8.如圖1,《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？意思是:有

一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），現(xiàn)被風折斷，尖端落在地上，竹尖與竹根的距離三尺，問折斷處離地面的高為（）

尺.

A.5.45B.4.55C.4.2D.5.8

9.在棱長均相等的正三棱柱ABC=4MG中，。為3g的中點，尸在AC上，且。尸，AC1，則下述結(jié)論:

①AG，8C；②A/=/G；③平面D4C］，平面ACGA：④異面直線AG與CO所成角為60。其中正確命題的

C.3D.4

10.方程2(x-l)sin1=。在區(qū)間［―2,4］內(nèi)的所有解之和等于()

A.4B.6C.8D.10

11.某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人

臉識別，數(shù)據(jù)分析、機器學習、服務(wù)器開發(fā)五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學習，其中劉澤同學學習人臉

識別，則這6名研究生不同的分配方向共有()

A.480種B.360種C.240種D.120種

12.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務(wù)

巡診，其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士，則不同的分配方案有

A.72種B.36種C.24種D.18種

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知sin［5+a)=-\,那么tana-sina=.

14.定義min{a,b}=<［已知/(x)=e',g(x)=(x-l){mx+2nr-m-1),若

/?(x)=min{/(x),g(x?恰好有3個零點，則實數(shù)，〃的取值范圍是.

15.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列｛為｝,則%＞（）=.

?w???????.....

????????????

16.已知〃eN*,滿足C：+2C；+22C；++2"C；：=243,貝！J（f+》+.”的展開式中V丁的系數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）設(shè)直線/與拋物線2），交于A5兩點，與橢圓?+三=1交于C,。兩點，設(shè)直線。A,O8,OC,8

（0為坐標原點）的斜率分別為匕，k2,%,k4,若Q4_L。？.

（1）證明：直線/過定點，并求出該定點的坐標；

（2）是否存在常數(shù)X,滿足4+&=%（%+%）?并說明理由.

18.（12分）我國在2018年社保又出新的好消息，之前流動就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后，社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁

瑣，費時費力.社保改革后將簡化手續(xù)，深得流動就業(yè)人員的贊譽.某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,

得到其辦理手續(xù)所需時間（天）與人數(shù)的頻數(shù)分布表：

時間[0,2)[24)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)

人數(shù)156090754515

（D若300名辦理社保的人員中流動人員210人，非流動人員90人，若辦理時間超過4天的人員里非流動人員有60

人，請完成辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間

與是否流動人員”有關(guān).

列聯(lián)表如下

流動人員非流動人員總計

辦理社保手續(xù)所需

時間不超過4天

辦理社保手續(xù)所需

60

時間超過4天

總計21090300

（2）為了改進工作作風，提高效率，從抽取的300人中辦理時間為［8,12）流動人員中利用分層抽樣，抽取12名流動

人員召開座談會，其中3人要求交書面材料，3人中辦理的時間為［10,12)的人數(shù)為求出J分布列及期望值.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0100.005

k02.7063.8416.6357.879

19.(12分)函數(shù)/(x)=ar-ln(x+l),g(x)=sinx,且/(x)..O恒成立.

(1)求實數(shù)。的集合M；

(2)當aeM時，判斷了(力圖象與g(x)圖象的交點個數(shù)，并證明.

(參考數(shù)據(jù)：ln2a0.69,e2」al.77)

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足4用=2%+2向+1(〃€?0,4=1,等差數(shù)列｛々』滿足4+2〃=2〃,1+4(“=2,3,),

(1)分別求出｛4｝,仍“｝的通項公式；

41g2

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，數(shù)列(?+的前〃項和為&證明:T<\.

2+Jgn

21.(12分)如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABCD是菱形，對角線交于點。,M為棱PO的中點，

MA=MC.求證：

(1)PB//平面AMC；

(2)平面尸或)_1_平面AMC.

22.(10分)已知A是拋物線E：y2=2px(p>0)上的一點，以點A和點3(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x=l于

N兩點.

(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程；

(2)若OVpVL拋物線E與圓(x-5)2+V=9在x軸上方的交點為尸，Q,點G為尸。的中點，。為坐標原點，求直

線OG斜率的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

若S“4S,“對任意的〃eN*恒成立，則S,“為S”的最大值，所以由已知，只需求出S“取得最大值時的〃即可.

【詳解】

由已知，。|>%>。3>0，又三角形有一個內(nèi)角為120。，所以a：+a2a3，

a；=(%-2)2+(4-4產(chǎn)+(q—2)(a「4),解得％=7或q=2(舍)，

故S,=7〃+妁FX(-2)=—〃2+8〃，當〃=4時，S”取得最大值，所以加=4.

故選：C.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列前〃項和的最值問題，考查學生的計算能力，是一道基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

對于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式Gini=1,可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積。越小，國民分配越公平，所以①正確.

對于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得Vxe(O，D,均有/(X)<X,可得幺2<1,所以②錯誤.對于

X

￡

③，因為。=[4-馬去=(*2-%3)|；)=!，所以Gini=?=*=:，所以③錯誤.對于④，因為

J。2365[3

2

1

4-

?=j'(x-x3)dr=(-x2-\4)|o=-,所以Gini=!-

1=5,所以④正確.故選A.

2443

2-

3.B

【解析】

轉(zhuǎn)化2xlnx…+ox,xe[l,+8)為凡，21nx+x,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=21nx+x,xe[1,+8),利用導數(shù)研究單調(diào)性，求

函數(shù)最值，即得解.

【詳解】

由2xlnx…-x2+ax,xe口,+8),可知④2\nx+x.

,2

設(shè)％(x)=21nx+x,xe[l,+oo),則/(x)=—+1>0,

x

所以函數(shù)久X)在[1,4W)上單調(diào)遞增，

所以〃(外,皿=h(l)=1.

所以④力(X)1n=1?

故a的取值范圍是(f』].

故選：B

【點睛】

本題考查了導數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

4.B

【解析】

用空間四邊形對①進行判斷；根據(jù)公理2對②進行判斷；根據(jù)空間角的定義對③進行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對

④進行判斷.

【詳解】

①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.

②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.

③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么

這兩個角相等或互補，故③錯誤.

④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.

故選：B

【點睛】

本小題考查空間點，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能

力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.

5.B

【解析】

?.?忻國=46

,??“|=2c=4e

?，?c—2G

Vc2-a2-h2?b2=4

?,?<7=4

：.\PFt\+\PF2\=2a^S

故選B

點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不

畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖

掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

6.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)'=4411(5+夕)圖象的平移變換公式求出函數(shù)8(幻的解析式，再利用正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)區(qū)間等相

關(guān)性質(zhì)求解即可.

【詳解】

因為大x)=s加3x-6cos3x+l=2si"(3x-g)+l,由y=Asin(cox+3)圖象的平移變換公式知，

函數(shù)g(x)=2si〃[3(x+B)-g]+l=2s加(3X+B)+1,其最小正周期為丁=:，故②正確；

6363

令3*+?=而+工，得X="+￡(AGZ),所以尸包不是對稱軸，故①錯誤；

62399

令3*+(依，得廣券-晟依6益取H2,得*=胃，故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(*，1)對稱，故③正確；

.Kn71?2k兀272k兀兀*?10萬13%_?16〃19萬

令2kit—-<3x+-<2k7i-i—,AGZ,得--------<x<------+—,取?=2,得----<x<-----,取左=3,得----￡x<------,

26239399999

故④錯誤；

故選：B

【點睛】

本題考查丁=Asin(5+夕)圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì)；考查運算求解能力和

整體代換思想；熟練掌握正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題

型

7.C

【解析】

需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得AFH為等腰三角形，設(shè)準線與x軸的交點為M，過點E作FCLR7,再由三角

函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出忸日=嬴餐’

|AF!=sin：?0，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可

【詳解】

如圖，設(shè)準線與X軸的交點為用，過點尸作FC，加7.由拋物線定義知|AF|=|AH|,

,,\MF\p

!

所以ZA/TFuZAfHua,4FAH=兀-2a="FB，忸/=—~~=—產(chǎn)——?

1cos（乃一2a?）cos（九一2a）

M_|CF|_|CH|tana_plana

1sin（左一2a）sin（乃一2a）sin（zr-2a）

tanatanatan2a-\3

所以--------------------------=---------=—.

BF\tan（萬一2a）-tan2a22

故選：C

【點睛】

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題

8.B

【解析】

如圖，已知AC+AB=10,BC=3,AB2-AC2=BC2=9

.?.（A8+AC）（AB-AC）=9,解得A8—AC=0.9,

AB+AC=101AB=5.45

[AB-AC=0.9[AC=4.55

折斷后的竹干高為4.55尺

故選B.

9.B

【解析】

設(shè)出棱長，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷尸是AG的中點推出②正的誤；利用

直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標系求出異面直線AC,與CO所成角判斷④的正

誤.

【詳解】

解：不妨設(shè)棱長為：2,對于①連結(jié)A4,則M=AG=2&,.?.ZAGB產(chǎn)90。即AG與反G不垂直，又BCgC1,

，①不正確：

對于②，連結(jié)AT>,DC1,在AA￡>G中，AD=DC、=&而。F，AG?.尸是AC的中點，所以AF=FG，，②

正確；

對于③由②可知，在中，。尸=&,連結(jié)CF,易知。/=及，而在RtACBD中，CD=y/5,DF2+CF2=CD2,

即OELCE,又。尸_LAG，尸_1面4。64，；?平面DAG，平面ACGA，，③正確；

以A為坐標原點，平面4gG上過4點垂直于4G的直線為X軸，AG所在的直線為y軸，所在的直線為z軸,

建立如圖所示的直角坐標系；

4（0,0,0）,4（百,1,0）,G（0,2,0）,A（0,0,2）,C（0,2,2）,D（V3,1,1）；

AC,=（0,2,-2）,CD=（73,-1,-1）;

異面直線AG與CO所成角為兄cos”2f：R=0,故8=90。.④不正確.

l-AC|||CD|

故選：B.

本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力

以及邏輯推理能力.

10.C

【解析】

畫出函數(shù)〉=5由值和＞=一七_X的圖像，丁=5皿值和＞=一"一穴均關(guān)于點(1,0)中心對稱，計算得到答案.

2(x—1)2(x—1)

【詳解】

2(x—l)sin萬x+l=O,驗證知x=l不成立，^sin^x=-—~~-

2(x-1)

1

畫出函數(shù)〉=5由值和y=的圖像,

2(1)

1

易知：y=sin?和＞=-三rly均關(guān)于點(L°)中心對稱，圖像共有8個交點,

故所有解之和等于4x2=8.

故選：C.

本題考查了方程解的問題，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力，確定函數(shù)關(guān)于點(1,0)中心對稱是解題的關(guān)鍵.

11.B

【解析】

將人臉識別方向的人數(shù)分成：有2人、有1人兩種情況進行分類討論，結(jié)合捆綁計算出不同的分配方法數(shù).

【詳解】

當人臉識別方向有2人時，有々=120種，當人臉識別方向有1人時，有C；A：=240種，.?.共有360種.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科

醫(yī)生和1名護士，根據(jù)排列組合進行計算即可.

【詳解】

2名內(nèi)科醫(yī)生，每個村一名，有2種方法，

3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫(yī)生和1

名護士，

若甲村有1外科,2名護士，則有=3x3=9,其余的分到乙村，

若甲村有2外科,1名護士，則有《號=3X3=9,其余的分到乙村，

則總共的分配方案為2x(94-9)=2x18=36種，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配，屬于?？碱}型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.--

20

【解析】

由已知利用誘導公式可求COSa,進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.

【詳解】

.(n\4

(2)5

...C,sink-3=2

52525

9

.sin2a9

/.tana?sina=------==---

cose_420

-5

9

故答案為：一二.

20

【點睛】

本小題主要考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.

1痣1

14.-，+U

e2)到

【解析】

當初＜0時，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)/'(*)=/-,無零點，不合題意；當機＞0時,

根據(jù)題意，分類討論求解,

m

令/(x)=e*__-=0,得x=-lnm,令g(x)=(x-l)(mx+2mr-m-l)=0,得x=］或

x==L+\-2m,再分當，+1-2加＞1,，+1-2加＜1兩種情況討論求解.

mm"zm

【詳解】

由題意得：當初＜()時，/(x)="-'在X軸上方，且為增函數(shù)，無零點，

m

g(x)=(x-l)+2M-〃2-1)至多有兩個零點，不合題意；

2

當機＞0時，令=—■-=0,得x=_hn%,令(g(x)=(x-l)(^ir+2^-m-l)=0,得x=］或

2rrr-m-\1-

x=-=--——--F-lt----2-m,

mm

如圖所示:

iP)ie.

當一+1-2根＞1時，即0＜根＜一時，要有3個零點，則—上根＜1,解得上＜m＜

m2e2，

1/n1

當一+1-2加＜1時，即“＞注時，要有3個零點，則一Inmv—+1—2”,

m2機

f(/%)—F1—2/篦+In1TLf

m

L-iT+z

/?=」一2+一四二"=一2(8＜o'

irTmm")TT

(五\

所以/(加)在苛,+8是減函數(shù)，又/。)=0,

要使/(根)＞0,則須機＜1,所以多＜m＜1.

fi五\rv2)

綜上：實數(shù)〃7的取值范圍是-*u一,1.

"2)12J

fl⑸(42)

故答案為：一,一U一,1

"2)12J

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的圖象和分段函數(shù)的零點問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，利用

導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題.

15.5252

【解析】

根據(jù)圖像歸納4=2+3+4+...+〃+2,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.

【詳解】

根據(jù)圖像：4=2+3,。2=2+3+4,故=2+3+4+…+〃+2,

乂（2+102）x101

故40G=2+3+4+…+102=^------f-------=5252.

故答案為：5252.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.

16.1

【解析】

根據(jù)二項式定理求出?,然后再由二項式定理或多項式的乘法法則結(jié)合組合的知識求得x系數(shù).

【詳解】

由題意C：+2C：+22C；++2"C,：=（l+2）"=243,n=5.

：.（1+%+的展開式中x5j2的系數(shù)為C/C；=30.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查二項式定理，掌握二項式定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）證明見解析（0,2）；（2）存在，理由見解析

【解析】

（1）設(shè)直線/的方程為尸履+b代入拋物線的方程，利用求出心即可知直線過定點（2）由斜率公式分別

求出勺+%2，匕+%4,聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關(guān)系得王+々，七%2，X3+X4，X3X4代入占+%2,

肉+&4,化簡即可求解.

【詳解】

（1）證明：由題知，直線/的斜率存在且不過原點，

故設(shè)/:丁=依+6（0工0）,A（±，x）,3（七,必）

y=kx+b

由）:c可得/-2Ax-2Z?=0，

x=2y

x,+x2=2k,x1x2=-2b.

OA±OB,，OA03=0,

(%1%2丫

+X%=---——=0，

故/?=2

所以直線/的方程為y=H+2

故直線/恒過定點（0,2）.

(2)由(1)知％+%=2%,%1%2=-4

:.k}+k2=—+—

"%x2

_g+2+5+2

…22

=2k-\------1-----

%x2

=2k+2^x'+x^=k

平2

設(shè)。（七，%）,。（%4，%）

y=kx+2

由＜了22可得(1+222卜2+8丘+4=0,

---F—=1

42

8k4

FL

/.k3+k4=&+&

x3x4

京3+2+儲+2

c,22

2kH------1-----

&Z

=2k+2^+X^

■

=-2k

?.《+e=一；（&3+44），即存在常數(shù)4=-g滿足題意.

【點睛】

本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，直線過定點問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

3

18.（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，

4

【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫列聯(lián)表，計算出K?的觀測值，即可進行判斷；

（2）先計算出時間在［8,10）和［10/2）選取的人數(shù)，再求出自的可取值，根據(jù)古典概型的概率計算公式求得分布列,

結(jié)合分布列即可求得數(shù)學期望.

【詳解】

（1）因為樣本數(shù)據(jù)中有流動人員210人，非流動人員90人，所以辦理社保手續(xù)

所需時間與是否流動人員列聯(lián)表如下：

辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員列聯(lián)表

流動人員非流動人員總計

辦理社保手續(xù)所需

453075

時間不超過4天

辦理社保手續(xù)所需

16560225

時間超過4天

總計21090300

結(jié)合列聯(lián)表可算得K'郊就膏一專

有95%的把握認為“辦理社保手續(xù)所需時間與是否流動人員”有關(guān).

（2）根據(jù)分層抽樣可知時間在［8,10）可選9人，時間在［10,12）可以選3名,

故“0,1,2,3,

C321C2C'27

則尸6=0)=#=啟,P^=I)=-^=-

C；C；_27C；C；_1

PK=2)=PK=3)=

3-220'品220

可知分布列為

0123

2127271

P

5555220220

ri…、c21,27c27c13

可知EC)=0x—+lx—+2x---+3x----=—.

55552202204

【點睛】

本題考查獨立性檢驗中K2的計算，以及離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，涉及分層抽樣，屬綜合性中檔題.

19.(1)⑴；(2)2個，證明見解析

【解析】

(1)要/(x)..O恒成立，只要的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看/(x)是否有最小值；

(2)將/(%)圖像與g(x)圖像的交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實數(shù)解的個數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)

°(x)=/(x)-g(x),再利用導數(shù)討論此函數(shù)零點的個數(shù).

【詳解】

⑴/⑴的定義域為㈠,母)，因為ra)=a-二

1。當4,0時，/。)<0,/。)在玉€(0,”)上單調(diào)遞減，玉?《((),”)時，使得/(x)</(0)=0,與條件矛盾;

2。當。>0時，由/'(x)<0,得——1；由/'(x)>0,所以/(幻在］一1一一1］上單調(diào)遞減,

aayaj

在上單調(diào)遞增，即有7m2(幻=/15-1)=1一。+111。，由/(x)..O恒成立，所以1—a+lna.O恒成立,

令h(a)=1-a+Ina{a>0),h\a)=-1+—=----

aa

若0<a<1,〃'(a?0,h(a)<〃⑴=0；

若。>1,〃'3)<0,力3)<力(1)=0；而a=l時，h⑷=0,要使1一a+lna.O恒成立,

故”{1}.

(2)原問題轉(zhuǎn)化為方程f(x)=g(x)實根個數(shù)問題,

當。=1時，f(x)圖象與g(x)圖象有且僅有2個交點，理由如下:

由f(x)=g(x),即x-ln(x+1)-sinx=0,令。(無)=x-ln(x+l)—sinx,

因為奴0)=0,所以x=0是e(x)=0的一根；9'(?=1一一!--COSX,

X+1

1。當-1<x<0時，1-----(0,cosx^0,

所以"(x)<(),夕(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，°(x)>9(0)=0,即以幻=0在(-1,0)上無實根;

2。當0<x<3時，<p\x)=1+sinx>0,

(x+1)-

則段)在(。,3)上單調(diào)遞遞增，又嗯11-占＞?！?。)一＜。,

所以0(無)=0在(0,3)上有唯一實根毛,％G［0,彳］,且滿足I一-」

=COSXQ,

\27%+1

①當o＜x,4時，＜P(X)?0,夕3在(0,玉)］上單調(diào)遞減,此時。(x)＜e(o)=o，e(x)=o在(0,跖］上無實根;

②當40<%<3時，°'(%)>0,夕(%)在(%,3)上單調(diào)遞增，(pM<(p)=y-l-ln~+\

<ln2(lnl=0M3)=3-sin3-21n2=2(l-ln2)+l-sin3〉0,故以?=°在(％,3)上有唯-實根.

--F1

2

3。當xN3時，由(1)知，工一111(1+幻一1在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以x-ln(l+x)-1..2-21n2=21ng>0,

2

故°(x)=x-ln(l+x)-sinx=x-ln(l+x)-l+(I-sinx)〉0,所以e(x)=0在［3,+8)上無實根.

綜合1。，2。，3。，故。(x)=0有兩個實根，即f(x)圖象與g(x)圖象有且僅有2個交點.

【點睛】

此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，考查導數(shù)的運用，屬于較難題.

20.(1)a?=n-2"-\,b?=2n(2)證明見解析

【解析】

(1)因為％=24+2同+1(nwN，),所以4“+1=2?！?2.+2(〃€N),

所以守=*+1，即&好一竽=1，又因為4=1，

所以數(shù)列｛竽｝為等差數(shù)列，且公差為1,首項為L

則=1+(〃-l)x1=〃,BPan=?-2"-1.

設(shè)｛￡｝的公差為d,則d_AT=勸“_1_2〃+4_"T=〃i_2〃+4=d,

所以%=2〃-4+d(〃=2,3,),則包=2(”+l)-4+d(〃eN*)，

所以d=b“=[2(〃+l)-4+”]-(2〃-4+d)=2,因此々=2(〃+l)-4+2=2〃,

綜上，a?=n-2n-1,b?=2n.

(2)