四川省綿陽市2021屆高三第三次診斷考試數(shù)學(xué)（理）試題

四川省綿陽市2021屆高三理數(shù)第三次診斷考試試卷

一、單選題(共12題；共60分)

1.已知集合A={x\x2>1},則CR4=()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(—8,—l)u(l,+=)D.(-8,-1]u[1,+叼

2.若復(fù)數(shù)z滿足(z-l)i=1+i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2x—y>—2,

3.若x,y滿足約束條件{V+220,貝I]z=3x+y的最小值為（）

x+2y<2

A.-10B,-8C.16D.20

4.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，同比增長率一般是指和去年同期相比較的增長率，環(huán)比增長率一般是指和上一時(shí)期相比較

的增長率.根據(jù)下圖，2020年居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度統(tǒng)計(jì)折線圖，下列說法錯(cuò)誤的是()

A.2020年全國居民每月消費(fèi)價(jià)格與2019年同期相比有漲有跌

B.2020年1月至2020年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比有漲有跌

C.2020年1月全國居民消費(fèi)價(jià)格同比漲幅最大

D.2020年我國居民消費(fèi)價(jià)格中3月消費(fèi)價(jià)格最低

5.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)X20時(shí)，/(%)=x(l-x).則不等式x-/(%)>0的解

集為()

A.(-l,0)U(1,+河B.(-1,0)U(0,1)C.(-8,-1)U(0,1)D.(-8,一(1,+河

6々-1)?(我一卷6的展開式中x2的系數(shù)為()

VX

A.48B.54C.60D.72

7.已知IQ=G）03,b=log10.3,。=戒，貝|j。，b,c的大小關(guān)系為（）

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c

8.在平行四邊形ABCO中，AB=2,=代，點(diǎn)F為邊CD的中點(diǎn)，若希?赤=0,則裾.

AC=（）

A.4B.3C.2D.l

9.已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為f，面積為3兀，則球。的

表面積等于()

817T817T1211112171

A-VBvc-~D--

10.若函數(shù)/(x)=y/3sina)x+coscox(o)>0)在區(qū)間(。,專)上僅有一條對稱軸及一個(gè)對稱中心，則o)的

取值范圍為()

A.(5,8)B.(5,8]C.(5,11]D.[5,11)

.己知數(shù)列｛的前n項(xiàng)和為S,a=2,a=則

11&Jn%=1,2n3an_x+4an_2(n>3),S10=

()

12.已知點(diǎn)F為拋物線E:/=4y的焦點(diǎn)，C(0,-2),過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，若CP=mCA+nCB,則m+n的最小值為()

A.；B.|C.|D.;

二、填空題(共4題；共20分)

13.記等差數(shù)列｛廝｝的前n項(xiàng)和為S”，若$4=5a$,則出5=.

14.若函數(shù)f^=x2ex-m\nx在點(diǎn)(1,/(1))處的切線過點(diǎn)(0,0),則實(shí)數(shù)m=.

15.已知雙曲線E:捺一\=l(a>0,b>0)與拋物線C-.y2=2px(p>0)有共同的一焦點(diǎn)，過E的左焦

點(diǎn)且與曲線C相切的直線恰與E的一漸近線平行，則E的離心率為.

16.如圖，正方體ABCD-4/1的/中，點(diǎn)E,F是BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)G,H是久久上

的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)M,N,P分別為AB,GA和CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是41M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

下面結(jié)論中正確的是.

①尸H與ACt異面且垂直；

②尸G與AG相交且垂直；

③D[Q“平面EFN；

④Bi,H,F,P四點(diǎn)共面.

三、解答題(共7題；共70分)

17.在斜三角形ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,J3.c2=labcosC.

(1)若△ABC的面積為S,且滿足4S=c2,求角C的大??；

證明:3=，+，

(2)tanCtanAtanB

18.2020年5月28日，十三屆全國人大三次會(huì)議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1

日起施行.它被稱為"社會(huì)生活的百科全書"，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎(chǔ)性

地位，也是市場經(jīng)濟(jì)的基本法.某中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知法懂法，組織全校學(xué)生學(xué)習(xí)《中華人民共和國民法典》并

組織知識(shí)競賽.為了解學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)從高一，高二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(單位：分)，繪

制成如圖所示的莖葉圖：

高一高二

898636126

976500734579

96118025788

771109133589

(1)通過莖葉圖分析哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好：(不要求計(jì)算，分析并給出結(jié)論)

(2)根據(jù)學(xué)生的競賽成績，將其分為四個(gè)等級(jí)：

測試成績(單位：分)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

等級(jí)合格中等良好優(yōu)秀

①從樣本中任取2名同學(xué)的競賽成績，在成績?yōu)閮?yōu)秀的情況下，求這2名同學(xué)來自同一個(gè)年級(jí)的概率.

②現(xiàn)從樣本中成績?yōu)榱己玫膶W(xué)生中隨機(jī)抽取3人座談，記X為抽到高二年級(jí)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

19.如圖，在四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為梯形，AB“DC,AB1AD,DEL平面ABE.

(1)求證：平面ADE1平面ABCD；

(2)若DC=DE=1,AB^AD=2,求二面角D-BC-E所成角的余弦值.

20.已知橢圓9+2=l(a>b>0)的離心率為孝，右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B,且

\FA\■\FB\=10+5V2.

(1)求橢圓的方程；

(2)已知C(—4,0),。(4,0)，點(diǎn)P在橢圓上，直線PC,PD分別與橢圓交于另一點(diǎn)M,N,

若麗=XCM，~DP=nDN,求證：4+4為定值.

21.已知函數(shù)f(x)=ae*-伉(％-1)+仇a+1.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若/(%)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知曲線E的參數(shù)方程為{X=Vpcosa,戊為參數(shù))，直線I的參

y=VlOsina+4

數(shù)方程為f=:cosg(t為參數(shù)，0w夕〈兀).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

iy=tsinp廣

(1)分別寫出曲線E和直線I的極坐標(biāo)方程；

(2)直線I與曲線E交于M,N兩點(diǎn)，若赤=30M,求直線I的斜率.

23.已知函數(shù)/(%)=|2x-2|+|2x-l|,g⑺=|%+l|+|4x-2|.

(1)求不等式/(%)>4的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式2/(X)-5(X)>a\x\恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案解析

四川省綿陽市2021屆高三理數(shù)第三次診斷考試試卷

一、單選題(共12題；共60分)

1.已知集合4=[x\x2>1},則QA=()

R

A.(—1,1)B.[—1,1]C.(-8,—1)u(1,+=)D.(——1]U[1,+°°)

【答案】B

【考點(diǎn)】補(bǔ)集及其運(yùn)算，一元二次不等式的解法

【解析】【解答】「4=(x|x2)l}=[x\x<-1或x>1},

?1?C71=<%|-1<X<1]=[-1,1].

K

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意由一元二次不等式的解法求解出集合A再由補(bǔ)集的定義求解出答案即可。

2.若復(fù)數(shù)z滿足(z—l)i=1+i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】V(z-l)i=1+I,

-■-z=—+l=—^-+l=2-i,

???復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(2,-1)在第四象限，

故答案為：D

【分析】根據(jù)題意首先由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算性質(zhì)整理再結(jié)合復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義即可得出答案。

2x—y>—2,

3.若x,y滿足約束條件{V+2N0,貝ijz=3%+y的最小值為()

x+2y<2

A.-10B.-8C.16D.20

【答案】B

【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃

【解析】【解答】作出可行域如下圖所示:

z有最小值,

又^2x-y+2=0'解得Cl3所以應(yīng)一2，-2),

所以Zmin=3X(—2)+(-2)=-8,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意作出可行域再由己知條件找出目標(biāo)函數(shù)，把目標(biāo)函數(shù)化為直線方程的截距由數(shù)形結(jié)合

法即可得出當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值并由直線的方程求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后把坐標(biāo)代入到目標(biāo)函

數(shù)計(jì)算出z的值即可。

4.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，同比增長率一般是指和去年同期相比較的增長率，環(huán)比增長率一般是指和上一時(shí)期相比較

的增長率.根據(jù)下圖，2020年居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度統(tǒng)計(jì)折線圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.2020年全國居民每月消費(fèi)價(jià)格與2019年同期相比有漲有跌

B.2020年1月至2020年12月全國居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比有漲有跌

C.2020年1月全國居民消費(fèi)價(jià)格同比漲幅最大

D.2020年我國居民消費(fèi)價(jià)格中3月消費(fèi)價(jià)格最低

【答案】D

【考點(diǎn)】頻率分布折線圖、密度曲線

【解析】【解答】對于A,觀察圖中同比曲線，除11月份同比為-0.5,其余均是正值，所以2020年全國

居民每月消費(fèi)價(jià)格與2019年同期相比有漲有跌，A正確，不符合題意.

對于B,觀察圖中環(huán)比曲線，有正有負(fù)，如2月份0.8,3月份-1.2,環(huán)比有漲有跌，B正確，不符合題意.

對于C,觀察圖中同比曲線，1月份同比增加5.4,大于其他月份同比值，故2020年1月全國居民消費(fèi)價(jià)

格同比漲幅最大，C正確，不符合題意.

對于D,觀察圖中環(huán)比曲線，3月份環(huán)比值-1.2,4月份09,易知4月份消費(fèi)價(jià)格比3月份低，D錯(cuò)誤，

符合題意.

故答案為：D.

【分析】由己知條件結(jié)合折線圖中的數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。

5.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)無20時(shí)，/(x)=x(l-x).則不等式x-/(X)>0的解

集為()

A.(-1,O)U(1,+河B.(-1,0)U(0,1)C.(-8,-1)u(0,1)D.(-8,-l)u(1,+8)

【答案】C

【考點(diǎn)】偶函數(shù)，不等式

【解析】【解答】當(dāng)x20時(shí)，/(%)=x(l-%),由x"(x)>0可得/(x)>0,即x(l-x)>0,

解得0<x<1；

當(dāng)久<0時(shí)，-%>0，則/(-x)=-x(l+x)，又/(x)是偶函數(shù)，/(x)=-x(l+%)，由x-/(x)>

0可得/(%)<0,即-x(l+無)<0,解得x<—1,

綜上，X?/(X)>0的解集為(-00,-1)u(0,1).

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意由偶函數(shù)的性質(zhì)整理即可得出當(dāng)x位于不同區(qū)間時(shí)的不等式>0的解集，從而

得出答案。

6.(X-1)-(V7-^)6的展開式中/的系數(shù)為()

A.48B.54C.60D.72

【答案】D

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)(五一專廠的展開式的通項(xiàng)公式為G+i=C.(?)6-r.(—》r=c1(-2)r.x3-r,

2

令r=1,T2=-12x；令r=2,T3=60x,

所以(x-1)?(V^-專T的展開式中%2項(xiàng)的系數(shù)為：1x60+(-1)x(-12)=72,

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意首先求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式再結(jié)合題意令r=l以及r=2計(jì)算出展開式中x2項(xiàng)

的系數(shù)即可。

7.已知a=C)°3,b=log9,3,c=4,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.a>b>c

【答案】A

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

【解析】【解答】.=*=嗎)。.3］嗯°3=(；)°3鳴。3=$號(hào)。.3嚴(yán)=(03嚴(yán)

由于函數(shù)y=x0-3在（0葉8）上單調(diào)遞增，所以1=I03>a=（i）03>（O.3）0-3=c>0,

x

由于函數(shù)y=1°gi在（0，+叼上單調(diào)遞減，所以6=log|0,3>logij=1,

所以b>a>c.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出a與b的大小關(guān)系，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可比較出大

小。

8.在平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=遮，點(diǎn)F為邊CD的中點(diǎn)，若而?而=0,貝U麗?

AC=（）

A.4B.3C.2D.l

【答案】C

【考點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式

【解析】【解答】：AF-^F=0,

..AFLAB,如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

F(0,2),C(l,2),B(2,0),

AC=(1,2),前=(-2,2),

???JF-AC=-2+4=2,

故答案為：C

【分析】首先建立直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)以及向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果

即可。

9.已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周都在球。面上，圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為y，面積為37r，則球。的

表面積等于（）

A8171c817r_121nr1217r

AvB-c'—D--

【答案】A

【考點(diǎn)】球的體積和表面積

【解析】【解答】設(shè)圓錐母線為I,底面半徑為r,

2n~r_2n_

則｛，解得dZi，

nl2x-=3TTr-L

如圖，△4BC是圓錐軸截面，外接圓。是球的大圓，設(shè)球半徑為R,

CQS^ABC=7=7,smZ^ABC=—,

i33

2R=——-——_3_9VJp_9V2

sin^ABC￡V24'&一'

38

所以球表面積為S=4兀/?2=4兀x（竽）2=等

故答案為：A.

【分析】利用已知條件求出圓錐的母線以及底面半徑，然后求解球的半徑，即可求解球的表面積.

10.若函數(shù)f(x)=Vis譏3X+C0S3X(O>>0)在區(qū)間(0,，)上僅有一條對稱軸及一個(gè)對稱中心，則3的

取值范圍為()

A.(5,8)B.(5,8]C.(5,11]D.[5,11)

【答案】B

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象，由丫=人$而(3X+6)的部分圖象確定其解析式

【解析】【解答】由題意，函數(shù)/(x)=V5sinex+cos3x=2sin(3x+“,

因?yàn)閄e(0,^),可得3X+：<：(l+3),

要使得函數(shù)/(X)在區(qū)間(05)上僅有一條對稱軸及一個(gè)對稱中心，

則滿足兀<久1+3)〈尊，解得5<3W8,

OZ

所以3的取值范圍為(5,8].

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意首先由兩角和的正弦公式整理再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可得出兀<+3)<斗由此

OZ

求出3的取值范圍。

11.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,@i=l,a2=2,an=3an_r+4an_2(n>3)，則S10=

()

T4】1-l

A.41°B.C.410一1D.411-1

55

【答案】A

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】因?yàn)閮?3an_i+4冊_2(兀N3),所以%,+a-i=4(an_i+冊_2)，又如+。2=

3H0,

所以詈詈工=4(n23),所以｛%+an+J是等比數(shù)列，公比為4,首項(xiàng)為3,

十%1—2

則數(shù)列｛。2"-1+。2?｝也是等比數(shù)列,公比為42=16,首項(xiàng)為3.

所以s。=喑詈=寧-

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意首先由數(shù)列的通項(xiàng)公式整理得鉆B1szl'=4523)從而判斷出數(shù)列為等比數(shù)列再由

on_1+an_2

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

12.已知點(diǎn)F為拋物線E-.x2=4y的焦點(diǎn)，C(0,-2),過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B

兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，若CP=mCA+nCB,則m+n的最小值為()

A.1B.|C.|D.1

【答案】A

【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【解答】由題可得/(0,1),則直線AB的方程為y=%+l,設(shè)/。1/]+1),8。2，%2+1)，

設(shè)P(x,Y)，則。。=(%，?+2)，C/f=(x1,x14-3)，而=('2/2+3)，

由CP=mCA+nCB可得(％7+2)=+3)+兀(％2，%2+3),

x=mx1+nx22

則｛/O/.Iz2、，兩式相減得9+2—％=3血+3幾

4

7+2=mQi+3)+n(x2+3)

則可得m+n=-2)2+；,則當(dāng)x=2時(shí)，m+n取得最小值為1.

故答案為：A.

【分析】首先由已知條件求出直線的方程再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)由此得到向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算公

式整理得出￡+2-x=3m+3n，由特殊值法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值。

4

二、填空題(共4題；共20分)

13.記等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為Sn,若Sd=5a5,則的5=.

【答案】0

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列｛%,｝的公差d,

由S4=5a5,可得：4ai+^d=5(即+4d),

a1+14d=0,

即ais=0'

故答案為：0

【分析】首先由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式整理再由整體思想結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算出結(jié)果即可。

14.若函數(shù)f^=x2ex-m\nx在點(diǎn)(1,/(1))處的切線過點(diǎn)(0,0),則實(shí)數(shù)m=.

【答案】2e

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

【解析】【解答】解：函數(shù)/(x)=/e*-minx,求導(dǎo)得/'(x)=(7+2x)e*-7，

所以/(I)=e,f(1)=3e—m,

所以函數(shù)/(x)=/ex-mlnx在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為：y-e=(3e-m)(x-1),

又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,0),所以0-e=(3e-m)(0—1),解得：m=2e.

故答案為：2e

【分析】根據(jù)題意首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)再把數(shù)值代入到導(dǎo)函數(shù)的解析式計(jì)算出切線的斜率值，在意點(diǎn)

斜式求出直線的方程并把點(diǎn)的坐標(biāo)代入非常求出m的值即可。

15.已知雙曲線l(a>0,6>0)與拋物線C:y2=2px(p>0)有共同的一焦點(diǎn)，過E的左焦

點(diǎn)且與曲線C相切的直線恰與E的一漸近線平行，則E的離心率為.

【答案】V2

【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)，雙曲線的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】因?yàn)閽佄锞€與雙曲線共焦點(diǎn)，所以c=l,p=2c,拋物線方程為y2=4cx,

雙曲線的左焦點(diǎn)為6(-c,0),過居與一條漸近線y=;%平行的直線方程為y=;(x+c),

y2—4cx

由｛b,,、得by2—4acy4-4bc2=0，

所以A=16a2c2—16b2c2=0,所以a=b,

從而c=Va2+b2=y/2a,離心率為e=-=y/2,

故答案為：y[2.

【分析】由拋物線與雙曲線的焦點(diǎn)相同可得p與C的關(guān)系，設(shè)過左焦點(diǎn)的直線方程為丫=50+。)與拋

物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用判別式等于零以及直線平行可得進(jìn)一步求得a=b,再由

雙曲線的離心率?的公式結(jié)合整體思想求出答案即可。

16.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F是BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)G,H是A.D,上

的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)M,N,P分別為AB,C1D1和CD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是41M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

下面結(jié)論中正確的是.

①FH與ACr異面且垂直；

②FG與4cl相交且垂直；

③。1?！ㄆ矫鍱FN；

④名,H,F,P四點(diǎn)共面.

【答案】①③④

【考點(diǎn)】向量的共線定理，異面直線及其所成的角，平面與平面平行的性質(zhì)

【解析】【解答】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)正方體棱長為3,

①因?yàn)镕(l,3,0),H(L0,3),麗=(0,—3,3),4(3,0,0),g(0,3,3),際=(-3,3,3),所以而?溫=0,又

矩形EFHG與矩形A1BCD1的中心重合，且ACr過矩形A1BCD1的中心，所以FH與4cl異面且垂直,

故正確；

②因?yàn)閒(1,3,0),下(2,0,3),前=(1,-3,3),4(3,0,0),。1(0,3,3),溫=(一3,3,3),所以路宿=-3。

0,所以FG與ACX不垂直，故錯(cuò)誤；

③由&(3,0,3),“(3,|,0),。1(0。3),初=(0,|,-3),而=(-3,0,0),設(shè)平面A.MH的一個(gè)法向量

n=(x,y,z),則，即｛1—3z=0,令y=2,則元=(0,2,1),同理求得平面EFN的

一個(gè)法向量m=(0,2,1),因?yàn)閙//n,所以平面A\MD[”平面EFN,又因?yàn)閡平面AtMD.,

所以5Q〃平面EFN,故正確；

④因?yàn)锽i(3,3,3),H(l,0,3),F(l,3,0),P(0,|,0),則瓦目=(-2,-3,0),廣？=(一1,一|,0),所以瓦方=

2FP,則瓦萬//而，所以B],H,F,P四點(diǎn)共面，故正確，

故答案為：①③④

【分析】首先根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共線的性質(zhì)結(jié)合面面平行的判定定理對選項(xiàng)逐一

判斷即可得出答案。

三、解答題(共7題；共70分)

17.在斜三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為Q,b,c,且=2abcosC.

(1)若△ABC的面積為S,且滿足4S=c2,求角C的大??；

(2)證明：品=康+就?

【答案】(1)解:由S=^absinC,4S=c2,得c2=2absinC,

又心=2abcosC,???2absinC=2abcosC，

???tanC=1.

v0<C<7T,

"C=4'

(2)證明：由c2=2abcosC及正弦定理得：sin2C=2sinAsinBcosC,

sinC_2cosc

sinAsinBsinC'

'A+B=71—C,

■sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

2cosCsinAcosB+cosAsinB

1—f

sinCsinAsinB

，+，

tanCtanAtanB

【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理

【解析】【分析】⑴根據(jù)題意由三角形的面積公式整理得到c2=2absinC再由正弦定理即可得出tanC=1

從而求出角C的大小。

sinC2cosC

(2)首先由正弦定理整理得出再結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式整理得鋁程

sinAsinBsinC

魯七:，然后由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式得證出結(jié)論即可。

o171ASLTlD

18.2020年5月28日，十三屆全國人大三次會(huì)議表決通過了《中華人民共和國民法典》，自2021年1月1

日起施行.它被稱為“社會(huì)生活的百科全書”，是新中國第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎(chǔ)性

地位，也是市場經(jīng)濟(jì)的基本法.某中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知法懂法，組織全校學(xué)生學(xué)習(xí)《中華人民共和國民法典》并

組織知識(shí)競賽.為了解學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)從高一，高二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(單位：分)，繪

制成如圖所示的莖葉圖：

高一高二

898636126

976500734579

96118025788

771109133589

（1）通過莖葉圖分析哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好；（不要求計(jì)算，分析并給出結(jié)論）

（2）根據(jù)學(xué)生的競賽成績，將其分為四個(gè)等級(jí)：

測試成績（單位：分）[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

等級(jí)合格中等良好優(yōu)秀

①從樣本中任取2名同學(xué)的競賽成績，在成績?yōu)閮?yōu)秀的情況下，求這2名同學(xué)來自同一個(gè)年級(jí)的概率.

②現(xiàn)從樣本中成績?yōu)榱己玫膶W(xué)生中隨機(jī)抽取3人座談，記X為抽到高二年級(jí)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

【答案】（1）解：由圖知：高二年級(jí)的學(xué)生成績的平均分高于高一年級(jí)考核成績的平均分，

高二年級(jí)的學(xué)生成績比較集中，而高一年級(jí)的同學(xué)成績比較分散.

所以高二年級(jí)的學(xué)生學(xué)習(xí)效果更好.

（2）解：記事件4為“從樣本中任取2名同學(xué)的競賽成績?yōu)閮?yōu)秀"，

事件B為“這兩個(gè)同學(xué)來自同一個(gè)年級(jí)”，則P（A）=等，P（4B）=竽.

L40L40

所以在成績?yōu)閮?yōu)秀的情況下，這2個(gè)同學(xué)來自同一個(gè)年級(jí)的概率為

(3)由題意X的可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=^*,P(x=l)=管=器

P(X=2)=警=3P(X=3)=導(dǎo)=[

Jozcio0

所以X的分布列為:

X0123

1311

P

301026

數(shù)學(xué)期望為：F(X)=0x^-4-1x^-4-2xi+3xl=2

JUAUNO□

【考點(diǎn)】莖葉圖，列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列，離散型隨機(jī)變

量的期望與方差

【解析】【分析】⑴根據(jù)題意由莖葉圖中的數(shù)據(jù)分析即可得出結(jié)論。

（2）由古典概率的公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

⑶根據(jù)題意即可得出X的取值，再由概率的公式求出對應(yīng)的X的概率由此得到X的分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期

望公式計(jì)算出答案即可。

19.如圖，在四棱錐E-ABCD中，四邊形力BCD為梯形，,AB1.AD,DE1.平面ABE.

(1)求證：平面ADE1平面ABCD；

(2)若OC=OE=1,AB=AD=2,求二面角D-BC-E所成角的余弦值.

【答案】(1)證明：由DE_L平面ABE，且4Bu平面ABE,所以DE1AB.

又由AB1DA,且DEn￡M=D,所以AB1平面ADE.

因?yàn)锳Bc平面ABCD,所以平面ADE1平面ABCD.

(2)解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

因?yàn)镈E1平面ABE,AEu平面ABE,所以DE1AE.

由AD=2,DE=1,可得E(|,O,y),(2,2,0),C(0,l,0),

則BC=(-2,-1,0),EC=(-i,l.-f),

設(shè)平面BCE的法向量為m=(x,y,z),

_—2x—y=0

則嚴(yán),藍(lán)一n:，即得｛1,6取x=l,得y=-2

m-EC=0——x+v-*-z=0

2,2

所以平面BCE的一個(gè)法向量為m=(1,-2,-^).

取平面BCD的一個(gè)法向量元=(0,0,1),

VTo

可得cos(7n,n)=—

4

因?yàn)槎娼荄-BC-E所成角為銳角，所以二面角D-BC-E的余弦值為回.

4

【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角

【解析】【分析】⑴利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證

出結(jié)論。

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量,

由向量的夾角公式求解即可.

20.已知橢圓捻+3=l(a>b>0)的離心率為乎,右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B,且

\FA\■\FB\=10+5V2.

(1)求橢圓的方程；

(2)已知C(-4,0),0(4,0)，點(diǎn)P在橢圓上，直線PC,PD分別與橢圓交于另一點(diǎn)M,N,

若謂=ACM,DP=fiDN,求證：A+/1為定值.

【答案】(1)解：設(shè)F(c,0).由題意得\FA\=a,|FB|=a+c,=y,a2=b2+c2,

???\FA\■\FB\=a(a+c)=10+5>/2.

解得a2=10,b2=5.

???橢圓的方程為三+《=1.

105

(2)解：設(shè)P(x0,y0),,N(x2,y2).

由麗=ACM,'DP=nDN,

得Oo+4,%)=4(巧+4,%)，(x0-4,y0)=^(x2-4,y2),

x0-Axr=4(2-1),YQ-nx2=4(1-g),

7%=小，'ty0=fiy2>

Axx-=8-4(2+〃)，①

又點(diǎn)P,M,N均在橢圓上，

溫+通=1

由q+二"且%=以,得9啜2=1一萬,

105-'

?1?x0+Ax1=-|(/l+1).②

逋+遍=1

同理，由｛/星—’2且％="2,得(X。的誓+眸)=1一.

黃+優(yōu)=

AX0+M%2=/+1).③

聯(lián)立②③得獨(dú)1-眸=一久4+〃)-5.④

聯(lián)立①④得2+"=與，

二4+4為定值y.

【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由橢圓的定義以及已知條件|凡4|“?切=10+5代，結(jié)合橢圓里a、b、

c的關(guān)系即可求出a與b的值由此得出橢圓的方程。

⑵設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知向量關(guān)系建立等式關(guān)系，再利用點(diǎn)在橢圓上代入橢圓方程建立關(guān)系式，聯(lián)立

即可證明.

21.已知函數(shù)f(x)=a"-Zn(x-1)+ma+1.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若/(%)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)解：當(dāng)a=l時(shí)，/(%)=ex-/n(x-l)+l(x>1),

即廣(%)=〃一土,

易知廣(乃=娟一士在(1,+叼單調(diào)遞增.

又/(^)=e?—8<e2—8<0,/(2)=e2—1>0,

存在唯一x0G(^2),使得/'(%)=0.

當(dāng)x€(l,xo)時(shí)，/^(%)<0.

當(dāng)％E(%0，+8)時(shí)，f'(X)>0,

???函數(shù)/(X)在(I/O)單調(diào)遞減，在(%0，+8)單調(diào)遞增，

???函數(shù)/(X)有唯一極值點(diǎn)%0.

(2)解：(x)=a1-三，由題意得a>0,

易知f'(x)=aex—土在(1,+河單調(diào)遞增.

且XT1時(shí)，/(X)T-8,XT+8時(shí)，y(x)T+8,

.1.存在唯一&€(1,+8)，使/(Xo)=a〃。一焦、=0,

二當(dāng)久e(1,與)時(shí)，/'(%)<o,當(dāng)xe(%0,+時(shí)，/(%)>o

函數(shù)f(x)在(l,x0)單調(diào)遞減，在。0，+8)單調(diào)遞增，

且aeXo=—y,Ina+x0=~ln(x0-1).

???/(x)min=/(&)=ae"°一上(％o-1)+/na+1>0,

即~~~/n(x—1)—/n(x—1)—x+1>0,

XQ-L000

即~~~2ln(xQ—1)—x0+1>0,

XQ-1

令t=Xo—1,則:一21nt-t>0.

設(shè)力(t)=1—2lnt-t(t>0),

???/(t)=-^-1-l<0，

???力(t)在(0,+8)遞減，又4(1)=0,

?,"(t)>4⑴，0<t<1,

???Ina=-Int—t—1>—2,

…堂?

【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

【解析】【分析】⑴首先由a的值求出函數(shù)的解析式，再對其求導(dǎo)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)%x)的

單調(diào)性，然后由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合極值的定義即可得出答案。

(2)根據(jù)題意對函數(shù)求導(dǎo)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)f(x)的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)f(x)

的最小值