蘇科版九年級數(shù)學下冊《第七章銳角三角函數(shù)》單元測試卷-附答案

蘇科版九年級數(shù)學下冊第七章銳角三角函數(shù)單元測試卷

一、單選題（共10題；共29分）

1.在AABC中，ZA,/B都是銳角，tanA=l,sinB=立，你認為^ABC最確切的判斷是（）

2

A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

【考點】三角形內(nèi)角和定理，特殊角的三角函數(shù)值

解：由題意得：ZA=45°,NB=45。，AZC=180--ZA-ZB=90".故B.

【分析】由特殊角的銳角三角函數(shù)值可得NA=45。，NB=45。，再由三角形內(nèi)角和定理可得NC=180。-NA

-ZB=90°o

2.如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,BC=4,AC=3,則sinB=*=（）

【考點】銳角三角函數(shù)的定義

解：：/C=90°,BC=4,AC=3,

；.AB=5,

..AC3

..smnB=—=-,

AB5

故A.

【分析】根據(jù)勾股定理算出AB,再根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可直接得出答案。

3.游客上歌樂山山有兩種方式：一種是如圖，先從A沿登山步道走到B,再沿索道乘座纜車到C,另一種

是沿著盤山公路開車上山到C,已知在A處觀鋤到C,得仰角/CAD=3I。，且A、B的水平距離AE=430米,

A、B的豎直距離BE=210米，索道BC的坡度i=l：1.5,CD_LAD于D,BF_LCD于F,則山篙CD為（）

米；（參考數(shù)據(jù)：tan31°=0.6.cos3l°=0.9）

E

C.686

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題，解直角三角形的應用-仰角俯角問題

解:「索道BC的坡度i=l：1.5,ACF：BF=1：1.5,

設CF=x,則BF=1.5x,

/CAD=3I°,且A、B的水平距離AE=430米，A、B的豎直距離BE=210米,

?4/「ACCDx+210

..tanZCAD=—=---------

AD430+1.5X

Vtan31°=0.6,

?x+210(

??--------=n0.6,

430+1.5x

解得,x=480,

.,.CD=CF+DF=480+210=690,

故選B.

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和銳角三角函數(shù)可以求得CD的長，從而可以解答本題.

4.若a是銳角，tana?tan50°=l,則a的值為()

A.20°B.30°C.40°D.50°

C

【考點】互余兩角三角函數(shù)的關系

解：Vtana?tan50°=l.,.a+50°=90°

；.a=40°.

故選C.

【分析】互為余角的兩個角的正切值互為倒數(shù).

5.某地區(qū)準備修建一座高A8=6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角ZACB的余弦值為右

則坡面AC的長度為()

A.8B.9C.10D.12

C

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題

【分析】在RtZ^ABC中，通過已知邊和已知角的余弦值，即可計算出未知邊AC的長度.

A

由在RtdABC中,cos/ACB吟=三

AC5

設BC=4x,AC=5x,

則AB=3x,

則sin/ACB岑=&

AC5

又?.,AB=6m,

AC=10m.

故選c.

6.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,NBAD=60°,點M,N分別在AB,AD邊上，若

AM：MB=AN：ND=1：2,貝sinNMCN=(

A.速B.逋

1314

B

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形

解：；AB=AD=6,AM：MB=AN：ND=1：2,；.AM=AN=2,BM=DN=4,

連接MN,連接AC,

VAB1BC,ADXCD,ZBAD=60"

在RtZ\ABC與RtZ!\ADC中，

(AB=AD

^AC=AC'

ARtAABC^RtAADC(HL)，

...NBAC=NDAC=iNBAD=3。。，MC=NC,

.?.BC=1AC,

.*.AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,

3BC2=AB2,

；.BC=2V3,

在RtABMC中，CM=y/BM2+BC2=2幣,

VAN=AM,ZMAN=60",

」.△MAN是等邊三角形，

；.MN=AM=AN=2,

過M點作MEJ_CN于E,設NE=x,則CE=2V7-x,

AMN2-NE2=MC2-EC2，即4-x2=(2近)2-(2-x)2

解得：-m

:.EC=2S二駕,

由勾股定理得：ME=VMC2-CE2J(2夕)2—(軍)2

7

MF3舊

AsinZMCN=^-=ZzZ=—

CM2y/714

故選B.

【分析】連接AC,通過三角形全等，求得/BAC=30。，從而求得BC的長，然后根據(jù)勾股定理求得CM的長,

連接MN,過M點作ME_LCN于E,則AMNA是等邊三角形求得MN=2,設NE=x,表示出CE,根據(jù)勾股

定理即可求得ME,然后求得sinZMCN的值即可.

7.在RSABC中，ZC=90°,若cosB=|,則sinB的值得是（）

A

【考點】同角三角函數(shù)的關系

3

Vsin2B+cos2B=l,cosB=",

Asin2B=l-(|)2=||,

2NB為銳角,

..D4

故選A.

【分析】根據(jù)siMB+cos2B=l和COSB]即可求出答案.

8.如圖，在反比例函數(shù)y=*的圖象上有一動點A,連接A0并延長交圖象的另一支于點B,在第二象限內(nèi)

有一點C,滿足AC=BC,當點A運動時，點C始終在函數(shù)y=:的圖象上運動，若tan/CAB=2,則k的值

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

解：如圖，連接0C,過點A作AELy軸于點E,過點C作CFd_y軸于點F,二?由直線AB與反比例函數(shù)

y=/的對稱性可知A、B點關于0點對稱，

；.AO=BO.

又：AC=BC,

Z.C01AB.

VZAOE+ZAOF=90°,ZAOF+ZCOF=90°,

.*.ZAOE=ZCOF,

又；NAEO=90°,ZCFO=90°,

.,.△AOE^ACOF,

,AEOEAO

,?—————

CFOFCO

VtanZCAB=三=2,

OA

ACF=2AE,OF=2OE.

又：AE?OE=|,CF*OF=|k|,

k=±6.

??,點C在第二象限，

k=-6,

故選：B.

【分析】連接0C,過點A作AEj_x軸于點E,過點C作CFJ_y軸于點F,通過角的計算找出/AOE=NCOF,

結合"NAEO=90。，NCFO=90。"可得出△AOEsacOF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再由tan/CAB=2,

可得出CF.OF的值，進而得到k的值.

9.如圖，小敏同學想測量一棵大樹的高度.她站在B處仰望樹頂，測得仰角為30。，再往大樹的方向前

進4m,測得仰角為60。，已知小敏同學身高（AB）為1.6m,則這棵樹的高度為（）（結果精

確到0.1m,4=1.73）.

A.3.5mB.3.6mC.4.3mD.5.1m.

D

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題

設CD=x,

在Rt/XACD中，CD=x，ZCAD=30°,

則tan300=CD：AD=x：AD

故AD=羸

在Rt/XCED中，CD=x,ZCED=60°,

貝Utan60°=CD：ED=x：ED

則這棵樹的高度=2圖+1.6=5.1m.

故選D.

【分析】設CD=x,在Rt/XACD中求出AD,在Rt^CED中求出ED,再由AE=4m,可求出X

的值，再由樹高=CD+FD即可得出答案.

10.如圖，在平面直角坐標系中Rt/XABC的斜邊BC在X軸上，點B坐標為（1,0）,AC=2,ZABC=30°,

把Rtz^ABC先繞B點順時針旋轉(zhuǎn)180。，然后再向下平移2個單位，則A點的對應點A，的坐標為（）

【考點】銳角三角函數(shù)的定義，作圖-旋轉(zhuǎn)

解：作AD_LBC,并作出把RtZ\ABC先繞B點順時針旋轉(zhuǎn)180。后所得aAiBCi,如圖所示.

A

VAC=2,NABC=30°,；.BC=4,；.AB=2百，.\AD==^2=痘,；.BD=—=迎士=3.:

BC4BC4

點B坐標為（1,0）,；.A點的坐標為（4,V3）.VBD=3,/.BDi=3,...Di坐標為（-2,0）,AAi

坐標為（-2,-g）再向下平移2個單位，；.A，的坐標為（-2,-百-2）.故D.

【分析】因本題要求點A，的坐標，所以要求出AiDi和ODi的長度，那我們求出AD和OD的長度即可。首

先，根據(jù)已知題意作出旋轉(zhuǎn)圖形△AiBCi,然后根據(jù)面積相等法求出AD的長度，再根據(jù)勾股定理求出BD

的長度，即可得到Ai的坐標：最后再根據(jù)題意向下平移2個單位即可。

二、填空題（共10題；共33分）

11.已知a、|3均為銳角，且滿足|sina-||+'（tan什~1*=0,則a+B=.

75°

【考點】特殊角的三角函數(shù)值，非負數(shù)的性質(zhì)：算術平方根，絕對值的非負性

由已知sina-=。，tanB-l=O,...01=30。，0=45。，；.a+B=75。.【分析】根據(jù)兩個非負數(shù)的和等于0可得這

兩個非負數(shù)都等于0可得，sina-1=0,tanP-l=O,sinaj,tangl,由特殊角的三角函數(shù)值可得a=30。，0=45。,

故，a+B=75。.

12.在RtZXABC中，ZC=90",a,b分別是NA、NB的對邊，如果sinA：sinB=2：3,那么a：b等于.

2：3

【考點】互余兩角三角函數(shù)的關系

解：在RtZXABC中，NC=90。，a,b分別是/A、/B的對邊，c為ZC對的邊，.,.sinA=-,sinB=-,

cc

VsinA：sinB=2：3,

?ab今]

??C:7=2：3,

/.a：b=2：3.

故答案為2：3.

【分析】根據(jù)正弦的定義得到sinA=-,sinB=P，再由sinA：sinB=2：3得至U-：-=2：3,然后利用比

cccC

例性質(zhì)化簡即可.

13.如圖，。。的直徑AB與弦CD相交于點E,AB=5,AC=3,則tan/ADC=.

【考點】圓周角定理，解直角三角形

,ArO*2

解：；AB是直徑，AB=5,AC=3,Z.BC=y/AB2-AC2=4，AtanZADC=tanZB=槐=；故；

BC44

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NACB=90,在直角三角形ABC中，由勾股定理可得

BCR/1B2-462=4,所以tanZADC=tanZB=—

BC4

14.在AABC中，已知NC=90°,sinA=1,則cosA=,tanB=.

出2V2

【考點】同角三角函數(shù)的關系，互余兩角三角函數(shù)的關系

解：如圖，：^^=90°,sinA=,，sinC="=_二，

3AD-3

設BC=x,則AB=3x,

.".AC=y/AB2-BC2=2V2x,

2&x_2V2

-3xF

7=黑=2企.

故答案為緡2夜.

【分析】根據(jù)正弦的定義得到sinC=Q3則可設BC=x,則AB=3x,再利用勾股定理計算出AC,然后

根據(jù)余弦和正切的定義求解.

15.趙亮同學想利用影長測量學校旗桿的高度，如圖，他在某一時刻立1米長的標桿測得其影長為1.2米，

同時旗桿的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墻上，分別測得其長度為9.6米和2米，則學校

旗桿的高度為米.

10

【考點】相似三角形的應用，解直角三角形的應用

解：1米長的標桿測得其影長為1.2米，即某一時刻實際高度和影長之比為定值上，所以墻上的2米投

射到地面上實際為2.4米，即旗桿影長為12米，因此旗桿總高度為10米.

【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比.過點D作DELAB于點E,由題意可得出AE:DE=1：1.2,即可求

出旗桿的總高AB的長。

16.已知一條長度為10米的斜坡兩端的垂直高度差為6米，那么該斜坡的坡角度數(shù)約為（備用數(shù)

據(jù)：tan31°=cot59°~0.6,sin37°=cos53°-0.6）

37°

【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題

解：斜坡的坡角的正弦值為：卷=0.6,

則斜坡的坡角度數(shù)約為37。,

故37°.

【分析】根據(jù)解直角三角形求出斜坡的坡角的正弦值，得到斜坡的坡角度數(shù).

17.已知菱形的邊長為3,一個內(nèi)角為60。，則該菱形的面積是.

9V3

【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義

解：如圖所示：連接AC,過點A作AMLBC于點M,

???菱形的邊長為3,

；.AB=BC=3,

???有一個內(nèi)角是60。，

.*.ZABC=60°,

「?△ABC是等邊三角形，

.*.AM=ABsin60"=—.

2

此菱形的面積為：3x逋=些.

22

【分析】如圖所示：連接AC,過點A作AMLBC于點M,首先根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定判斷

出AABC是等邊三角形，根據(jù)正弦函數(shù)的定義由AM=ABsin60。得出AM的長，再根據(jù)菱形的面積等于底乘

以高即可得出答案。

18.小明乘滑草車沿坡比為1：2.4的斜坡下滑130米，則他下降的高度為米.

50

【考點】解直角三角形的應用

解：；坡比為1：2.4,

ABC：AC=1：2.4,

設BC=x,AC=2.4x,

則AB=V4C2+8c2=+（2.4X）2=2.6X,

VAB=130米,

.*.x=50,

則BC=x=50（米）.

故50.

B

【分析】根據(jù)斜坡的坡比為1：2.4,可得BC：AC=1：2.4,設BC=x,AC=2.4x,根據(jù)勾股定理求出AB,然

后根據(jù)題意可知AB=130米，求出X的值，繼而可求得BC的值.

19.如圖，若AABC內(nèi)一點P滿足/PAC=/PCB=NPBA,則稱點P為aABC的布羅卡爾點，三角形的布羅卡

爾點是法國數(shù)學家和數(shù)學教育家克雷爾首次發(fā)現(xiàn)，后來被數(shù)學愛好者法國軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)，并用他

的名字命名，布羅卡爾點的再次發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了研究“三角形幾何"的熱潮.已知4ABC中，CA=CB,NACB=120。,

P為4ABC的布羅卡爾點，若PA=b，則PB+PC=.

1+9

3

【考點】等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義

作CH1AB于H.

；CA=CB,CH1AB,ZACB=120°,

；.AH=BH,ZACH=ZBCH=60°,ZCAB=ZCBA=30°,

.,.AB=2BH=2*BC?cos300=V3BC,

VZPAC=ZPCB=ZPBA,

；./PAB=/PBC,

.".△PAB^APBC,

??~PB~~PC~~BC~V'

VPA=V3，

.\PB=1,PC=—,

3

:.PB+PC=1+@?

3

故答案為1+—?

3

【分析】作CH_LAB于H.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AH二BH,ZACH=ZBCH=60°,ZCAB=ZCBA=30°,根

據(jù)余弦函數(shù)的定義，BH=BC<cos30°,故AB=2BH=2?BC?cos3(r=bBC,根據(jù)布羅卡爾點的定義及等腰三角

形的性質(zhì)得出NPAB=NPBC,從而判斷出△PABs^PBC,根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出粵=普=格=

rDrCoC

百,根據(jù)比例式即可算出PB,PC的長，從而得出答案。

20.（貴港）如圖，點P在等邊△ABC的內(nèi)部，且PC=6,PA=8,PB=10,將線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。

得到P'C,連接APT則sinNPAP，的值為.

3

5

【考點】等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

解：連接PP',如圖，?.?線段PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到PC

；.CP=CP，=6,NPCP，=60。，

??.△CPP，為等邊三角形，

.?.PP'=PC=6,

???△ABC為等邊三角形，

；.CB=CA,ZACB=60°,

.*.ZPCB=ZP,CA,

在APCB^IJAPXA中

PC=P'C

{ZPCB=ZP'CA,

CB=CA

/.△PCB^APXA,

.,.PB=P'A=10,

,/62+82=102,

pp-z+AP^P/A2,

.?.△APP'為直角三角形，NAPP'=90°,

PP'6_3

...sinNPAP'=-

10~5

故答案為I-

【分析】連接PP'，如圖,先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CP，=6,NPCP，=60。，則可判定4CPP為等邊三角形得到

PP，=PC=6,再證明4PCB絲ZXP'CA得到PB=P，A=10,接著利用勾股定理的逆定理證明△APP，為直角三角形，

NAPP，=90。，然后根據(jù)正弦的定義求解.

三、解答題（共8題；共58分）

21.(深圳)計算|V2-2|-2cos45°4-(-1)-2+V8?

解:原式=2-夜-2、乎+：1+2夜.

=3.

【考點】實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)與化簡，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的

絕對值

【分析】根據(jù)二次根式，負指數(shù)基，絕對值，特殊角的三角函數(shù)值等性質(zhì)計算即可得出答案.

22.如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60。方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行

一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45。方向的B處，求此時輪船所在的B處與燈塔P的距離.（參考

數(shù)據(jù)：76=2.449,結果保留整數(shù)）

由題意可得NAPC=30°,ZBPC=45°,AP=80（海里）.

在RtZ\APC中，PC=PA?cosZAPC=40V3（海里）.

在RtZ\PCB中，PB=—上一=*2=40布=98（海里）.

cosNBPCcos45

答：此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是98海里.

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題

【分析】構造直角三角形，作PCJ_AB交于C點；由方位角易知ZAPC=30。，/BPC=45。，則根據(jù)解直角三

角形的知識解答即可.

23.（恩施州）如圖，小明家在學校。的北偏東60。方向，距離學校80米的A處，小華家在學校。的南偏

東45。方向的B處，小華家在小明家的正南方向，求小華家到學校的距離.（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù):

V2=1.41,V3=1.73,V6=2.45)

北

在RtAACO中，

VZACO=90°,ZAOC=30°,

；.AC=jA0=40m,OC=V3AC=40V3m.

在RtABOC中，

VZBCO=90°,ZBOC=45°,

ABC=OC=40V3m.

AOB=70c2+BC2=40V6=40x2.45=82（米）.

答：小華家到學校的距離大約為82米.

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題

【分析】作OC_LAB于C,由已知可得AAB。中NA=60。，NB=45。且OA=80m,要求0B的長，可以先求出

0C和BC的長.

24.如圖，某湖心島上有一亭子A,在亭子A的正東方向上的湖邊有一棵樹B,在這個湖心島的湖邊C

處測得亭子A在北偏西45°方向上，測得樹B在北偏東36°方向上，又測得B、C之間的距離

等于200米，求4、B之間的距離（結果精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：V2?1.414，sin36°?0.588,cos36°?0.809,tan36"?0.727,

cot36°?1.376）

解：過點C作CHJL4B,垂足為點H,

,BC=200,

在RtABHC中，sinNBCH=萼:

BC

BH

：.sin36°

200

Vsin36°?0.588,

:.BH?117.6

又cos/BCH=答

BC

??cos36=——

200

'/cos36°x0.809,

HCx161.8

在RQ4HC中，tan/4cH=粵

HC

,/ZACH=45°

AH=HC

AHx161.8

又AB^AH+BH

：.ABx279.4

AAB?279（米）

答：A、B之間的距離為279米.

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題

【分析】過點C作CH1AB，垂足為點H,在RtaBHC中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出BH

的值，由余弦函數(shù)得出HC的值，在RtZXAHC中，根據(jù)正切函數(shù)得出AH=HC,從而根據(jù)線段的和差得

出AB的值，即A、B之間的距離。

25.某海船以(2V3+2)海里/小時的速度向北偏東70。方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東40。

方向，5小時后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔B在海船的北偏西65。方向，求此時燈塔B到C處的距離。

因為NMAB=40°,NMAC=70°,

所以NBAC=70°-40°=30°,

又因為NNCB=65°,ZNCA=180o-70o=110",

所以NACB=45°,

所以DB=CD,AD=y/3BD.

設CD=x,貝IJBD=x,AD=V3x.

所以V3x+x=5x(273+2),解得x=10.

所以BC=10V2.

此時燈塔B到C處的距離是10V2海里.

【考點】特殊角的三角函數(shù)值

【分析】過點B作BDLAC于點D,根據(jù)特殊角的函數(shù)值，表示出邊長，然后根據(jù)BD+AD=路程，求出BC

的長度。

26.(泰州)如圖，地面上兩個村莊C、D處于同一水平線上，一飛行器在空中以6千米/小時的速度沿MN

方向水平飛行，航線MN與C、D在同一鉛直平面內(nèi).當該飛行器飛行至村莊C的正上方A處時，測得

ZNAD=60°；該飛行器從A處飛行40分鐘至B處時，測得NABD=75。.求村莊C、D間的距離（悔取1.73,

結果精確到0.11米）

解：過B作BE1AD于E,VZNAD=60°,/ABD=75°,

；.NADB=45°,

..40

.AB=6x一=4,

60

；.AE=2.BE=25

；.DE=BE=2上,

；.AD=2+2樞,

VZC=90,ZCAD=30°,

CD=-AD=1+石=2.7千米.

2N

【考點】解直角三角形的應用

【分析】過B作BELAD于E,三角形的內(nèi)角和得到NADB=45。,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=2.BE=2V3,

求得AD=2+2