7.5 多邊形的內(nèi)角和與外角和-蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)同步課件

第7章平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和三角形的內(nèi)角和多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和知識(shí)點(diǎn)三角形的內(nèi)角和11.三角形的內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和是180°.表達(dá)方式：在△

ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.特別解讀：1.三角形的內(nèi)角和是180°揭示了三角形三個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系.2.三角形的三個(gè)內(nèi)角中最多只有一個(gè)鈍角或直角，或者說(shuō)至少有兩個(gè)銳角.2.說(shuō)明“三角形的內(nèi)角和是180°”的思路思路一：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角，如圖7.5-1①所示.思路二：利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為兩平行線間的一組同旁內(nèi)角，如圖7.5-1②所示.例1在△ABC

中，∠A=40°，∠B=∠C，求∠C的度數(shù)；解：在△ABC中，由∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，得∠B+∠C=180°－∠A=180°－40°=140°，由∠B=∠C，得2∠C=140°=70°.解題秘方：緊扣三角形的內(nèi)角和是180°建立方程求解.方法點(diǎn)撥：求三角形內(nèi)角的度數(shù)的方法：1.若已知兩個(gè)角的度數(shù)，求第三個(gè)角的度數(shù)，直接利用三角形的內(nèi)角和定理求解.2.若已知一個(gè)角的度數(shù)及另兩個(gè)角之間的等量關(guān)系，或不知道任何一個(gè)角的度數(shù)，只知道三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，一般根據(jù)“三角形內(nèi)角和為180°”這個(gè)隱含的等量關(guān)系列方程求解.[月考·宜興]若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2∶3∶4，則這個(gè)三角形是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形A真題1解題秘方：緊扣三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比，求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)判斷三角形的形狀．

另解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角分別為2x°、3x°、4x°，則2x+3x+4x＝180.解得x＝20.所以4x

＝80.即可求解.方法點(diǎn)撥：按角判斷一個(gè)三角形的形狀的方法：可以將三個(gè)角的度數(shù)分別求出；也可以看三角形中最大的角的大?。鹤畲蠼鞘卿J角，三角形就是銳角三角形；最大角是直角，三角形就是直角三角形；最大角是鈍角，三角形就是鈍角三角形.例2如圖7-30，△ABC

的角平分線BD、CE

相交于點(diǎn)P，∠A=70°.求∠BPC的度數(shù).解:在ABC

中，由∠A+∠ABC+∠ACB=180°、∠A=70°,得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°因?yàn)锽D、CE

分別平分∠ABC、∠ACB，所以∠1=∠ABC,∠2=∠ACB，∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)=×110°=55°.在△PBC

中，由∠BPC+∠1+∠2=180°、∠1+∠2=55°,得∠BPC=180°-(∠1+∠2)=180°-55°=125°.解題秘方：建立三角形的模型，利用三角形的內(nèi)角和求出角度解決問(wèn)題.解法提醒：本例主要考查了建模思想，即把方位角建模成幾何圖形中與平行線相關(guān)的角，同時(shí)應(yīng)用了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及直角三角形的定義等.知識(shí)點(diǎn)多邊形的內(nèi)角和21.多邊形的定義在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的3條或3條以上的線段首尾依次相接組成的圖形叫做多邊形.(1)表示方法：表示多邊形時(shí)，先寫(xiě)出多邊形的名稱(chēng)，后面依次寫(xiě)出多邊形的頂點(diǎn)字母.●●●●(2)分類(lèi)：多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形.如果一個(gè)多邊形由n

條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做n

邊形.特別解讀：多邊形的三個(gè)必要條件：1.線段在“同一平面內(nèi)”；2.線段“不在同一直線上”且條數(shù)不少于3；3.首尾依次相接.2.多邊形的內(nèi)角和公式

n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°(n≥3).驗(yàn)證多邊形內(nèi)角和公式的方法：(1)如圖7.5-3，從n

邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作對(duì)角線；(2)如圖7.5-4，在n

邊形的一條邊上任取一點(diǎn)與其他的頂點(diǎn)相連；(3)如圖7.5-5，在n

邊形內(nèi)任取一點(diǎn)與n

個(gè)頂點(diǎn)相連.3.思路把多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和問(wèn)題，即把多邊形分成幾個(gè)三角形，利用三角形的內(nèi)角和推導(dǎo).

[期中·蘇州]如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于720°，則它的邊數(shù)為()A.3 B.4C.5 D.6D真題2解題秘方：緊扣多邊形的內(nèi)角和公式求出邊數(shù).解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是n，由題意，得(n-2)·180°＝720°，解得n

＝6．方法點(diǎn)撥：已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)n的方法：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程：(n-2)·180°=內(nèi)角和，解方程求出n，即得多邊形的邊數(shù).[模擬·宿遷]如圖7.5-6,求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠FED+∠F的度數(shù).真題3解：如圖7.5-6，連接BE，因?yàn)椤?/p>

COD=∠BOE，所以∠OBE+∠OEB=∠C+∠D.所以∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠FED+∠F=∠A+∠ABC+∠OBE+∠OEB+∠FED+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°.解題秘方：由于所求的六個(gè)角不在同一個(gè)多邊形中，所以考慮把它們轉(zhuǎn)化到同一個(gè)多邊形中.如圖7.5-6，連接BE，則這六個(gè)角的和等于四邊形ABEF的內(nèi)角和.規(guī)律點(diǎn)撥：在△OCD

與△OBE中，因?yàn)椤螩OD+∠C+∠D=∠BOE+∠OBE+∠OEB=180°，且∠COD=∠BOE，所以∠OBE+∠OEB=∠C+∠D.知識(shí)點(diǎn)多邊形的外角和31.多邊形的外角定義多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做多邊形的外角.2.多邊形的外角和的定義在多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處分別取多邊形的一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.3.多邊形的外角和多邊形的外角和等于360°.

[模擬·南京]根據(jù)下列條件解決問(wèn)題：(1)一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，已知其中一個(gè)外角為72°，求該多邊形的邊數(shù)；解：設(shè)該多邊形的邊數(shù)為n.因?yàn)槎噙呅蔚母鲀?nèi)角都相等，所以每一個(gè)外角也都相等.根據(jù)多邊形的外角和為360°，得n×72°=360°，解得n=5．所以該多邊形的邊數(shù)為5.真題4(2)已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于30°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60°，所以360°÷30°=12.所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12.解題秘方：根