四川省宜賓市重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期2月期末理科數(shù)學(xué)試題（含答案）

宜賓重點(diǎn)中學(xué)2023年秋期高三期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．若，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．甲、乙兩人進(jìn)行了10輪的投籃練習(xí)，每輪各投10個，現(xiàn)將兩人每輪投中的個數(shù)制成如下折線圖：下列說法正確的是（

）A．甲投中個數(shù)的平均數(shù)比乙投中個數(shù)的平均數(shù)小B．甲投中個數(shù)的中位數(shù)比乙投中個數(shù)的中位數(shù)小C．甲投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小D．甲投中個數(shù)的極差比乙投中個數(shù)的極差大4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（

）A．24 B．42 C．64 D．845．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=（

）A． B． C． D．6．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．1 B．6 C．20 D．157．在中，若，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．8．若函數(shù)在上存在極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．9．甲、乙、丙、丁4個學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動，現(xiàn)有五個研學(xué)基地供選擇，每個學(xué)校只選擇一個基地，則4個學(xué)校中至少有3個學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（

）A．420 B．460 C．480 D．52010．如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)與平面所成角為，則的最小值是（

）A． B． C． D．11．若拋物線上兩點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，且，則中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．12．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)，且，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．某校高三年級進(jìn)行了高考適應(yīng)性測試，考生的數(shù)學(xué)成績（滿分為150分）服從正態(tài)分布，且成績位于分的人數(shù)，成績低于80分或高于100分的人數(shù)，成績低于100分的人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，現(xiàn)從所有考生中任選一人，其數(shù)學(xué)成績高于100分的概率為．14．若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為．15．如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的正弦值為．16．已知定義在上的函數(shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)定義：表示不超過x的最大整數(shù)．設(shè)，求數(shù)列的前114項(xiàng)和．18．(12分)如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面．

(1)求證：；(2)若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．19．(12分)某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機(jī)會獲得5分，10分或20分的積分，且每次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，三次游戲?yàn)橐惠?，一輪游戲結(jié)束后，計(jì)算本輪游戲總積分．(1)求某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過25分的概率（用含的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的概率取得最大值時，求一輪游戲累計(jì)積分的數(shù)學(xué)期望．20．(12分)已知橢圓：（），直線：過的右焦點(diǎn)，橢圓的長軸長是下頂點(diǎn)到直線的距離的2倍.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，，，是橢圓上不同于，的兩點(diǎn)（其中在軸上方），若直線的斜率等于直線的斜率的2倍，求四邊形面積的最大值.21．(12分)已知函數(shù)．(1)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，證明：．（二）選考題，共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若，直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù).(1)求的最小值，并指出此時的取值范圍；(2)證明：等價于.理科數(shù)學(xué)參考答案1．C2．D3．C4．B5．A6．D7．D8．B9．C10．A11．B12．B13．14．15．16．17．解:（1）由數(shù)列為等差數(shù)列，且，，可得：數(shù)列的首項(xiàng)為：，公差為：，故其通項(xiàng)為：，即：①，當(dāng)時，②，由①-②可得：，整理得：③，當(dāng)時，④，由③-④可得：，即：，故數(shù)列為等差數(shù)列，因，其公差為，則.（2）由（1）得：，而，易得，由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：；由可得：，因，故得：，故得：.18．（1）在三棱柱中，由平面，平面，得，在平面內(nèi)過作于，由平面平面，平面平面，得平面，而平面，則有，顯然平面，因此平面，又平面，所以.

（2）過點(diǎn)作，由，得，由（1）知平面，平面，則，即直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，，假定在棱上存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為，令，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，顯然平面的一個法向量，依題意，，解得，即，所以在棱上存在一點(diǎn)，使二面角的余弦值為，.19．（1）某人在一輪游戲中，累計(jì)積分不超過25分的情況為：①三次游戲都獲得5分；②兩次游戲獲得5分，一次游戲獲得10分；③一次游戲獲得5分，兩次游戲獲得10分；所以其概率為：.（2）依題意，記一輪游戲累計(jì)積分為，而某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的情況有分和分兩種情況，則，，記某人在一輪游戲中累計(jì)積分在區(qū)間內(nèi)的概率為，則，，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減；所以當(dāng)時，取得最大值；此時每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，由題意可知的所有可能取值為，，，，，，，，，，則的數(shù)學(xué)期望為.20．（1）設(shè)橢圓的焦距為，直線恒過點(diǎn)，所以.橢圓的下頂點(diǎn)到直線的距離，由題意得，解得.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意，設(shè)直線的斜率為（），即直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡整理得，，設(shè)，由韋達(dá)定理得，即，，直線的斜率等于直線的斜率的2倍，直線的方程為，設(shè)，同理得，，則四邊形的面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，則，故的最大值為.

21．（1）依題意，.

①當(dāng)時，在上，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以不符合題設(shè).

②當(dāng)時，令，得，解得，，所以當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以不符合題設(shè).③當(dāng)時，判別式，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn).由（1）知，，，則.綜上，要證，只需證，因?yàn)?，設(shè)，.

所以，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以，即得成立．所以原不等式成立.22．（1）直線的參數(shù)