新教材2023版高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.3圓及其方程2.3.4圓與圓的位置關(guān)系學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

2.3.4圓與圓的位置關(guān)系[課標(biāo)解讀]1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為________、________、________、________、________．知識(shí)點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系的判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1、r2的關(guān)系________________________________________(2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．圓C1知識(shí)點(diǎn)三兩圓的公切線兩圓相離時(shí)，有四條公切線；外切時(shí)，有三條公切線；相交時(shí)，有兩條公切線；內(nèi)切時(shí)，僅有一條公切線；內(nèi)含時(shí)，沒有公切線．基礎(chǔ)自測(cè)1．兩圓x2＋y2＝r2與(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，則r的值是()A．5B．5C．52D．22．兩圓x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置關(guān)系是()A．外離B．相交C．內(nèi)切D．外切3．已知兩圓的半徑分別為方程x2－7x＋12＝0的兩個(gè)根，如果圓心距|O1O2|＝8，則兩圓的位置關(guān)系是()A．外離B．外切C．內(nèi)切D．相交4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是________．題型1圓與圓位置關(guān)系的判定例1當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相離？狀元隨筆求圓C1的半徑r1→求圓C2的半徑r2→求C1C2→利用|C1方法歸納1．判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍問題有以下幾個(gè)步驟：(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑；(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d；(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．2．應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求字母參數(shù)的范圍是非常簡(jiǎn)單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．試求a為何值時(shí)，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．題型2兩圓相交的有關(guān)問題例2已知兩圓x2＋y2＋4x－6y＋12＝0與x2＋y2－2x－14y＋15＝0.(1)公共弦所在直線的方程是()A．x－3y＋1＝0B．6x＋2y－1＝0C．6x＋8y－3＝0D．3x－y＋5＝0(2)求兩圓相交所得公共弦的弦長．方法歸納1．求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法：將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程，但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時(shí)，才能如此求解，否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù)．2．求兩圓公共弦長的方法：一是聯(lián)立兩圓方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解．3．已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).跟蹤訓(xùn)練2(1)求兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程及公共弦長；(2)兩圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有()A．1條B．2條C．3條D．4條題型3圓與圓的相切問題【思考探究】1．圓與圓相切是什么意思？[提示]兩圓相切指得是內(nèi)切和外切兩種情況．2．兩圓相切可用什么方法求解？[提示](1)幾何法，利用圓心距d與兩半徑R，r之間的關(guān)系求得d＝R＋r為外切，d＝|R－r|為內(nèi)切．(2)代數(shù)法，將兩圓聯(lián)立消去x或y得到關(guān)于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．例3求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋3y＝0相切于點(diǎn)M(3，－3)的圓的方程．狀元隨筆設(shè)圓的方程，利用兩圓外切和直線與圓相切建立方程組求得．方法歸納處理兩圓相切問題的兩個(gè)步驟1．定性，即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須考慮分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論．2．轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí))．跟蹤訓(xùn)練3已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9教材反思1．本節(jié)課的重點(diǎn)是理解并掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系，會(huì)利用方程判斷圓與圓的位置關(guān)系，以及解決有關(guān)問題，難點(diǎn)是利用方程判斷圓與圓的位置關(guān)系及利用直線與圓的方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活問題．2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法(1)判斷兩圓位置關(guān)系的方法及應(yīng)用．(2)求兩圓公共弦長的方法．易錯(cuò)點(diǎn)本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是判斷兩圓位置關(guān)系時(shí)易忽略相切的兩種情況而丟解．2．3.4圓與圓的位置關(guān)系新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識(shí)點(diǎn)一外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含知識(shí)點(diǎn)二(1)d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)相交內(nèi)切或外切外離或內(nèi)含[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：∵兩圓外切，∴圓心距d＝0-22+0+12＝2答案：C2．解析：兩圓x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圓心分別為(0，0)和(4，－3)，半徑分別為3和4.所以兩圓的圓心距d＝42+又4－3<5<3＋4，故兩圓相交．答案：B3．解析：依題意r1＋r2＝7，又|O1O2|＝8，故選A.答案：A4．解析：圓的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化為x2＋y2－2x－6y＝10，又x2＋y2＝10，兩式相減得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圓C1的圓心為C1(－2，3)，半徑r1＝1；圓C2的圓心為C2(1，7)，半徑r2＝50-k(k＜從而|C1C2|＝-2-當(dāng)1＋50-k＝5，k＝當(dāng)|50-k－1|＝5，50-k＝6，當(dāng)|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34時(shí)，兩圓相交．當(dāng)1＋50-k＜5或|50-k－即k＜14或34＜k＜50時(shí)，兩圓相離．跟蹤訓(xùn)練1解析：圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C1(a，1)，C2(2a，1)，半徑r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝a-2a2(1)當(dāng)|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時(shí)，兩圓外切；當(dāng)|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時(shí)，兩圓內(nèi)切．(2)當(dāng)3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5時(shí)，兩圓相交．(3)當(dāng)|C1C2|＞5，即a＞5時(shí)，兩圓外離．(4)當(dāng)|C1C2|＜3，即0<a＜3時(shí)，兩圓內(nèi)含．例2解析：(1)兩圓方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0與x2＋y2－2x－14y＋15＝0相減，可得公共弦所在直線方程為6x＋8y－3＝0.(2)x2＋y2＋4x－6y＋12＝0化成標(biāo)準(zhǔn)方程得，(x＋2)2＋(y－3)2＝1，所以弦長為212--12+24-3答案：(1)C(2)見解析跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)聯(lián)立兩圓的方程得方程組x兩式相減得x－2y＋4＝0，此即為兩圓公共弦所在直線的方程．方法一：設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A，B，則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組x解得x=-4所以|AB|＝(-4-0)2+(0方法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圓心坐標(biāo)為(1，－5)，半徑長r＝55，圓心到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝|1-2×(設(shè)公共弦長為2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(35)2＋l2，解得l＝5，故公共弦長2l＝25.(2)圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴|C1C2|＝32+22＝13，0<13答案：(1)見解析(2)B例3解析：設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，則(a-1)2+b又所求圓過點(diǎn)M的切