新教材2023版高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布7.1條件概率與全概率公式學生用書新人教A版選擇性必修第三冊

7.2離散型隨機變量及其分布列課標解讀1.理解隨機變量所表示試驗結(jié)果的含義，并恰當?shù)囟x隨機變量．2．理解離散型隨機變量的分布列的意義，會求某些簡單的離散型隨機變量的分布列．3．掌握離散型隨機變量的分布列的兩個基本性質(zhì)，并會用它來解決一些簡單的問題．新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點一隨機變量與離散型隨機變量1．隨機變量：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有________的實數(shù)X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量?.2．離散型隨機變量：可能取值為________或可以________的隨機變量，我們稱為離散型隨機變量．用大寫英文字母X，Y，Z等表示隨機變量，用小寫英文字母x，y，z等表示隨機變量的取值．要點二離散型隨機變量的分布列1．分布列的定義：一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列?，簡稱分布列，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xnPp1p2…pn2.離散型分布列的性質(zhì)：(1)pi≥________，i＝1，2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝________．要點三兩點分布?隨機變量X的分布列是：X01P1－pp我們稱X服從________分布或________分布．助學批注批注?隨機變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點ω相當于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當于函數(shù)的定義域，不同之處在于不一定是數(shù)集．批注?與函數(shù)的表示法類似，離散型隨機變量的分布列有表格、圖形和解析式三種不同的表示形式．批注?兩點分布的試驗結(jié)果只有兩個可能，且其概率之和為1.夯實雙基1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)離散型隨機變量的取值是任意的實數(shù)．()(2)隨機變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．()(3)離散型隨機變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值．()(4)在離散型隨機變量的分布列中，所有概率之和為1.()2．袋中有2個黑球、6個紅球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是()A．取到的球的個數(shù)B．取到紅球的個數(shù)C．至少取到1個紅球D．至少取到1個紅球的概率3．在一次比賽中，需回答三個問題，比賽規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得－100分，則選手甲回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值的個數(shù)為()A．2B．4C．6D．84．已知X服從兩點分布，且P(X＝0)＝0.3，則P(X＝1)＝________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1離散型隨機變量的判定及取值例1(1)[2022·江蘇淮安高二期末](多選)下列隨機變量中屬于離散型隨機變量的是()A．某電話亭內(nèi)的一部電話1小時內(nèi)使用的次數(shù)記為XB．測量一個年級所有學生的體重，在60kg～70kg之間的體重記為XC．測量全校所有同學的身高，在170cm～175cm之間的人數(shù)記為XD．一個數(shù)軸上隨機運動的質(zhì)點在數(shù)軸上的位置記為X(2)寫出下列隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果．①一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1、2、3、4、5.現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)ξ；②某單位的某部電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)η.方法歸納(1)判斷隨機變量X的所有取值是否可以一一列出．(2)在寫出隨機變量的取值表示的試驗結(jié)果時，要特別注意隨機變量的一個值表示多個試驗結(jié)果的情況，不能漏掉某些試驗結(jié)果．鞏固訓練1(1)(多選)下列X是離散型隨機變量的是()A．某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)XB．在一段時間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)放出的α粒子數(shù)ηC．一天之內(nèi)的溫度XD．一射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分．(2)[2022·廣東中山高二期末]袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球(不放回)，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為()A．1，2，…，6B．1，2，…，7C．1，2，…，11D．1，2，3…題型2離散型隨機變量分布列的性質(zhì)及應用例2設隨機變量X的分布列為P(X＝k5)＝ak(k＝1，2，3，4，5)(1)求常數(shù)a的值；(2)求P(X≥35)(3)求P(110<X<710方法歸納離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的三個應用鞏固訓練2設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝ckk+1，k＝1，2，3，c為常數(shù)，則P(0.5＜X＜2.5)＝題型3求離散型隨機變量的分布列例32022年冬奧會期間，冬奧會吉祥物“冰墩墩”備受人們的歡迎，某大型商場舉行抽獎活動，活動獎品為冰墩墩玩偶和現(xiàn)金．活動規(guī)則：凡是前一天進入商場購物且一次性購物滿300元的顧客，第二天上午8點前就可以從若干個抽獎箱(每個箱子裝有8張卡片，3張印有“獎”字，5張印有“謝謝參與”，其他完全相同)中選一個箱子并一次性抽出3張卡片，抽到印有“獎”字的卡片才能中獎，抽到1張印有“獎”字的卡片為三等獎，獎勵現(xiàn)金10元，抽到2張印有“獎”字的卡片為二等獎，獎勵1個冰墩墩玩偶，抽到3張印有“獎”字的卡片為一等獎，獎勵2個冰墩墩玩偶．根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，進入商場購物的顧客中一次性購物滿300元的約占13設每次參與抽獎活動所得的冰墩墩玩偶個數(shù)為X，求X的分布列．方法歸納求離散型隨機變量的分布列的一般步驟鞏固訓練3拋擲甲、乙兩個質(zhì)地均勻且四個面上分別標有1，2，3，4的正四面體，其底面落于桌面，記底面上的數(shù)字分別為x，y.設ξ為隨機變量，若xy為整數(shù)，則ξ＝0；若xy為小于1的分數(shù)，則ξ＝－1；若xy為大于1的分數(shù)，則ξ＝17．2離散型隨機變量及其分布列新知初探·課前預習[教材要點]要點一1．唯一2．有限個一一列舉要點二2．(1)0(2)1要點三兩點0－1[夯實雙基]1．(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：A的取值不具有隨機性，C是一個事件而非隨機變量，D中概率值是一個定值而非隨機變量，只有B滿足要求故選B.答案：B3．解析：可能回答全對，兩對一錯，兩錯一對，全錯四種結(jié)果，相應得分為300分，100分，－100分，－300分，因此甲回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值有4個．故選B.答案：B4．解析：因為X服從兩點分布，所以P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝0.7.答案：0.7題型探究·課堂解透例1解析：(1)電話1小時內(nèi)使用的次數(shù)是可以列舉的，是離散型隨機變量，選項A正確；體重無法一一列舉，選項B不正確；人數(shù)可以列舉，選項C正確；數(shù)軸上的點有無數(shù)個，點的位置是連續(xù)型隨機變量，選項D不正確．故選AC.(2)①最大號碼數(shù)ξ可取3、4、5，ξ＝3，表示取出的3個球的編號為：1、2、3，ξ＝4，表示取出的3個球的編號為：1、2、4或1、3、4或2、3、4，ξ＝5，表示取出的3個球的編號為：1、2、5或1、3、5或1、4、5或2、3、5或2、4、5或3、4、5；②某部電話在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)η可取0、1、2、…、n，n∈N＋，η取i表示被呼叫i次，其中i＝0、1、2、…、n，n∈N＋.答案：(1)AC(2)見解析鞏固訓練1解析：(1)A、B、D中的X取值均可一一列出，而C中的X是一個范圍．不能一一列舉出來，故選ABD.(2)從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則有可能第一次取出球，也有可能取完6個紅球后才取出白球．故選B.答案：(1)ABD(2)B例2解析：(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115(2)∵P(X＝k5)＝115k(k＝1，2，3，4，∴P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(x＝1)＝3(3)當110<X<710時，只有X＝故P(110<X<710)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X＝35)鞏固訓練2解析：隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝ckk+1，k＝1，2，∴c2+c即6c+2c+c12＝1，解得c＝4∴P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝c2+c6＝答案：8例3解析：由題設，X可能值為{0，1，2}，則P(X＝1)＝C32C51C83＝1556，PP(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝57所以X的分布列如下：X012P5151鞏固訓練3解析：隨機變量ξ的可能取值為－1，0，1.依題意，數(shù)對(x，y)共有16種情況，ξ＝0