新教材2023版高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.1條件概率與事件的獨(dú)立性4.1.2乘法公式與全概率公式學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第二冊

4．1.2乘法公式與全概率公式[課標(biāo)解讀]1.結(jié)合古典概型，會(huì)利用乘法公式計(jì)算概率.2.結(jié)合古典概型，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率．了解貝葉斯公式．【教材要點(diǎn)】知識點(diǎn)一兩個(gè)事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式若P(B)>0，則P(AB)＝P(B)P(A|B)，或P(AB)＝P(A)P(B|A)知識點(diǎn)二全概率公式(1)一般地，如果樣本空間為Ω，而A，B為事件，則BA與BA是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋A)＝BA＋BA，從而P(B)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)，當(dāng)P(A)>0且P(A)>0時(shí)，有P(B)＝________________．(2)定理1若樣本空間Ω中的事件A1，A2，…，An滿足：①任意兩個(gè)事件均________，即AiAj＝?，i，j＝1，2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝________；③P(Ai)＞0(i＝1，2，…，n).則對Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝________．知識點(diǎn)三貝葉斯公式(選學(xué)內(nèi)容)1．與全概率公式解決的問題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因．2．一般地，當(dāng)1＞P(A)＞0且P(B)＞0時(shí)，有P(A|B)＝PAPBA【基礎(chǔ)自測】1．已知P(B)＝12，P(A|B)＝13，則P(AB)＝(A．12B．C．16D．2．已知某學(xué)校中，經(jīng)常參加體育鍛煉的學(xué)生占0.6，而且在經(jīng)常參加體育鍛煉的學(xué)生中，喜歡籃球的占0.3.從這個(gè)學(xué)校的學(xué)生中任意抽取一人，則抽到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉而且喜歡籃球的概率是多少？3．(教材例題改編)為加強(qiáng)對新型冠狀病毒預(yù)防措施的落實(shí)，學(xué)校決定對甲、乙兩個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)抽查．已知甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶4，其中甲班女生占35，乙班女生占12，則學(xué)校恰好抽到一名女生的概率為(A．29B.49C.594．設(shè)某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號家用電器，第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12，兩個(gè)車間的成品都混合堆放在一個(gè)倉庫，假設(shè)第1，2車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉庫中隨機(jī)提一臺產(chǎn)品，求該產(chǎn)品合格的概率．題型1概率乘法公式的應(yīng)用例1設(shè)有1000件產(chǎn)品，其中850件是正品，150件是次品，從中依次抽取2件，兩件都是次品的概率是多少？(精確到0.0001)方法歸納已知事件A的概率，以及已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，可以求出A、B同時(shí)發(fā)生的概率．跟蹤訓(xùn)練1在某大型商場促銷抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，甲、乙兩人先后進(jìn)行抽獎(jiǎng)前，還有60張獎(jiǎng)券，其中有6張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券．假設(shè)抽完的獎(jiǎng)券不放回，甲抽完以后乙再抽，求：(1)甲中獎(jiǎng)而且乙也中獎(jiǎng)的概率；(2)甲沒中獎(jiǎng)而且乙中獎(jiǎng)的概率；(3)乙中獎(jiǎng)的概率．題型2全概率公式的應(yīng)用例2已知甲袋中有6只紅球，4只白球；乙袋中有8只紅球，6只白球．求下列事件的概率：(1)隨機(jī)取一只袋，再從該袋中隨機(jī)取一球，該球是紅球；(2)合并兩只袋，從中隨機(jī)取一球，該球是紅球．方法歸納全概率公式，本質(zhì)上是將樣本空間分成互斥的兩部分或幾部分后，再根據(jù)互斥事件的概率加法公式而得到．跟蹤訓(xùn)練2已知市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，(1)求從市場上買到一個(gè)是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率．(2)市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠的合格率是80%.若用事件A，A分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品為合格品．求市場上買一個(gè)燈泡的合格率．題型3貝葉斯公式的應(yīng)用(選學(xué))例3某車間用甲、乙、丙三臺機(jī)床進(jìn)行生產(chǎn)，各種機(jī)床的次品率分別為5%、4%、2%，它們各自的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的25%、35%、40%，將它們的產(chǎn)品組合在一起，并隨機(jī)取一件，如果取到的一件產(chǎn)品是次品，分別求這一產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的概率．(精確到0.001)方法歸納貝葉斯公式可以看成要根據(jù)事件發(fā)生的結(jié)果找原因，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，看看這一結(jié)果有各種可能原因?qū)е碌母怕适嵌嗌伲櫽?xùn)練3設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．4．1.2乘法公式與全概率公式新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識點(diǎn)二(1)P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)(2)互斥Ωi=1nP[基礎(chǔ)自測]1．解析：由乘法公式得，P(AB)＝P(B)P(A|B)＝12×1答案：C2．解析：從這個(gè)學(xué)校的學(xué)生中任意抽取一人，則抽到經(jīng)常參加體育鍛煉的學(xué)生的事件為A，抽到喜歡籃球的學(xué)生為B，則P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.3，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.18.3．解析：設(shè)A：抽到一名學(xué)生是甲班的，B：是女生，則P(A)＝59，P(A)＝49，P(B|A)＝35，P(B|A)P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＝59×3答案：C4．解析：設(shè)B＝{從倉庫中隨機(jī)提出的一臺是合格品}，Ai＝{提出的一臺是第i車間生產(chǎn)的}，i＝1，2，則有B＝A1B∪由題意P(A1)＝25，P(A2)＝35，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：設(shè)Ai表示“第i次抽到的是次品”(i＝1，2)，所求概率為P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝1501000·149999跟蹤訓(xùn)練1解析：方法一：設(shè)A：甲中獎(jiǎng)，B：乙中獎(jiǎng)，則P(A)＝660＝110，P(B|A)＝559，P(A)＝910，P(B|A(1)甲中獎(jiǎng)而且乙也中獎(jiǎng)的概率P(BA)＝P(A)·P(B|A)＝110×5(2)甲沒中獎(jiǎng)而乙中獎(jiǎng)的概率P(BA)＝P(A)·P(B|A)＝910×6(3)P(B)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)＝1118+27方法二：(1)甲中獎(jiǎng)而且乙也中獎(jiǎng)的概率為A62A602(2)甲沒中獎(jiǎng)而乙中獎(jiǎng)的概率為A541·A6(3)乙中獎(jiǎng)的概率為A62+例2解析：(1)記B＝{該球是紅球}，A1＝{取自甲袋}，A2＝{取自乙袋}，已知P(B|A1)＝610，P(B|A2)＝814，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝12(2)P(B)＝1424＝7跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)記A為“甲廠產(chǎn)品”，B為“合格產(chǎn)品”，則P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.(2)B＝AB＋AB且AB與AB互不相容．P(B)＝P(AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905.例3解析：設(shè)A1表示“產(chǎn)品來自甲臺機(jī)床”，A2表示“產(chǎn)品來自乙臺機(jī)床”，A3表示