新教材2023版高中數(shù)學(xué)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用課標(biāo)解讀1.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義．2．了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件．3．針對(duì)實(shí)際問題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)．新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)要點(diǎn)一一元線性回歸模型我們稱Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型?，其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為________參數(shù)，b稱為________參數(shù)；要點(diǎn)二線性回歸方程與最小二乘法將y＝________稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程?，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線?.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，要點(diǎn)三殘差對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱為預(yù)測(cè)值，________減去________稱為殘差．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．要點(diǎn)四用R2比較模型的擬合效果用R2來比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2的計(jì)算公式為R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2).R2越大，意味著殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，即模型的擬合效果________；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果________.助學(xué)批注批注?由于所有的樣本點(diǎn)不共線，而只是散布在某條直線的附近，因此一元線性回歸模型反映了表示成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)散布于直線y＝bx＋a附近的線性相關(guān)關(guān)系．批注?在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝bx＋a中，b是經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率，a是截距．一般地，當(dāng)回歸系數(shù)b>0時(shí)，說明兩個(gè)變量呈正相關(guān)關(guān)系，它的意義是當(dāng)每增大一個(gè)單位時(shí)，y平均增大b個(gè)單位；當(dāng)b<0時(shí)，說明兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，它的意義是當(dāng)x每增大一個(gè)單位時(shí)，y平均減小|b|個(gè)單位．批注?經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn)(x，y)，點(diǎn)(x夯實(shí)雙基1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程適用于一切樣本和總體．()(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程一般都有局限性．()(3)樣本取值的范圍會(huì)影響經(jīng)驗(yàn)回歸方程的適用范圍．()(4)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)測(cè)值是預(yù)測(cè)變量的精確值．()2．某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其經(jīng)驗(yàn)回歸方程可能是()A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200D．y＝10x－2003．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的R2分別如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好？()A．甲B．乙C．丙D．丁4．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入x與年支出y的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到回歸直線方程y＝0.76x＋0.4，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為________萬元．題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1經(jīng)驗(yàn)回歸方程例1[2022·江蘇蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中]對(duì)于數(shù)據(jù)組：x2345y1.94.16.17.9(1)作散點(diǎn)圖，你能直觀上得到什么結(jié)論？(2)求線性回歸方程．方法歸納求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的一般步驟鞏固訓(xùn)練1(1)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm175175176177177則y對(duì)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為()A．y＝x－1B．y＝x＋1C．y＝88＋12xD．y＝(2)[2022·河北滄州高二期末]已知x與y的數(shù)據(jù)如表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.7x＋1.05，則m的值是()x2345y2.53.0m4.5A.3.8B．3.9C．4.0D．4.1題型2利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)例2[2022·河北張家口高二期末]某市統(tǒng)計(jì)了近7年的實(shí)際利用外資金額y(單位：億元)的數(shù)據(jù)，得到下面的表格：年份2015201620172018201920202021年份代號(hào)x1234567實(shí)際利用外資金額y(單位：億元)25415058647889由表中數(shù)據(jù)，求得變量x，y的相關(guān)系數(shù)r≈0.9931，可判定變量x，y線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)．(1)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，預(yù)測(cè)該市實(shí)際利用外資金額首次超過150億元的年份．參考數(shù)據(jù)：i=17yi＝405，方法歸納解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，再根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)求出預(yù)測(cè)值．鞏固訓(xùn)練2[2022·山東濟(jì)寧高二期末]2021年9月，山東省政府辦公廳印發(fā)《山東省電動(dòng)自行車管理辦法》(以下簡(jiǎn)稱《辦法》)，自2022年5月1日起施行．《辦法》的第十九條第三款規(guī)定：駕乘電動(dòng)自行車人員規(guī)范佩戴安全頭盔．佩戴頭盔是一項(xiàng)對(duì)家庭與社會(huì)負(fù)責(zé)的行為．某市為貫徹《辦法》精神，加強(qiáng)對(duì)市民的安全教育，自2022年5月1日起，在該市某主干路口連續(xù)監(jiān)控5周，每周抓拍到駕乘電動(dòng)自行車人員未規(guī)范佩戴安全頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：周數(shù)第1周第2周第3周第4周第5周周數(shù)序號(hào)x12345未規(guī)范佩戴頭盔人數(shù)y11501000900750600(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求未規(guī)范佩戴頭盔人數(shù)y與周數(shù)序號(hào)x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝bx＋a；(2)利用(1)中建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程估算該路口第6周未規(guī)范佩戴頭盔的人數(shù)．參考數(shù)據(jù)：i=15xiyi＝題型3經(jīng)驗(yàn)回歸分析例3共享單車進(jìn)駐城市，綠色出行引領(lǐng)時(shí)尚，某市有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，某站點(diǎn)6天的使用單車用戶的數(shù)據(jù)如下，用兩種模型①y＝bx＋a；②y＝bx＋a分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程y1＝10.7x＋3.4，y2＝35.5x－22.8日期x(天)123456x＝3.5y＝41i=16xi=16x用戶y(人)132243455568模型①的殘差值－1.1－2.87.5－1.2－1.90.4模型②的殘差值0.3－5.44.3－3.2－1.63.8(1)殘差值的絕對(duì)值之和越小說明模型擬合效果越好，根據(jù)殘差，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪一個(gè)模型？并說明理由；(2)殘差絕對(duì)值大于3的數(shù)據(jù)認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除，剔除異常數(shù)據(jù)后，重新求出(1)中所選模型的回歸方程．方法歸納刻畫回歸效果的三種方法鞏固訓(xùn)練3某種農(nóng)作物可以生長(zhǎng)在灘涂和鹽堿地，它的灌溉方式是將海水稀釋后進(jìn)行灌溉．某實(shí)驗(yàn)基地為了研究海水濃度x(%)對(duì)畝產(chǎn)量y(t)的影響，通過在試驗(yàn)田的種植實(shí)驗(yàn)，測(cè)得了該農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與海水濃度的數(shù)據(jù)如下表海水濃度x(%)34567畝產(chǎn)量y(t)0.560.520.460.350.31殘差e－0.020.01mn0.01繪制散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，可以用線性回歸模型擬合畝產(chǎn)量y(t)與海水濃度x(%)之間的相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法計(jì)算得y與x之間的線性回歸方程為y＝－0.07x＋a.(1)求a，m，n的值；(2)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越大，回歸效果越好，如假設(shè)R2＝0.85，就說明預(yù)報(bào)變量y的差異有85%是解釋變量x引起的．請(qǐng)計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2(精確到0.01)，并指出畝產(chǎn)量的變化多大程度上是由澆灌海水濃度引起的？附：殘差eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i，相關(guān)指數(shù)R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2)，其中eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝0.04628．2一元線性回歸模型及其應(yīng)用新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一截距斜率隨機(jī)誤差要點(diǎn)二bx＋a要點(diǎn)三觀測(cè)值預(yù)測(cè)值要點(diǎn)四越好越差[夯實(shí)雙基]1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：∵y與x負(fù)相關(guān)，∴排除B，D，又∵C項(xiàng)中x>0時(shí)，y<0不合題意，∴C錯(cuò)．故選A.答案：A3．解析：R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好．故選A.答案：A4．解析：令x＝15，所以y＝0.76×15＋0.4＝11.8.答案：11.8題型探究·課堂解透例1解析：(1)由圖知：兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系且正相關(guān)．(2)由數(shù)據(jù)知：x＝2+3+4+54＝3.5y＝1.9+4.1+6.1+7.94＝5i=1nxiyi＝2×1.9＋3×4.1＋4×6.1＋5×7.9＝80所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(x,\s\up6(－))2)＝80-4×3.5×554-4令y＝bx＋a，則a＝5－2×3.5＝－2，綜上，回歸直線方程為y＝2x－2.鞏固訓(xùn)練1解析：(1)由題意得x＝174+176+176+176+1785＝176(cm)y＝175+175+176+177+1775＝176(cm)由于(x，y)一定滿足經(jīng)驗(yàn)回歸方程，經(jīng)驗(yàn)證知選(2)因?yàn)閤＝14×(2＋3＋4＋5)＝72，y＝14×(2.5＋3.0＋m＋4.5)＝10+m4，所以樣本中心為(72，10+m4)，將其代入回歸方程y＝0.7x＋1.05，得10+m4＝0.7答案：(1)C(2)C例2解析：(1)由表格數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)，得x＝1+2+3+4+5+6+77＝4，y＝i=17yi=17xi2＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋7則b＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－7\o(x,\s\up6(－))2)＝1900-7×4×4057140-7×42＝10，a＝y(tǒng)-b所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝10x＋1257(2)由(1)可知，10x＋1257>150，解得x>185所以首次超過150億元的年份代號(hào)為14，故預(yù)測(cè)2028年該市實(shí)際利用外資金額首次超過150億元．鞏固訓(xùn)練2解析：(1)由表中數(shù)據(jù)知，x＝1+2+3+4+55＝3y＝i=15yi5＝i=15xi2＝12＋22＋32＋42＋5所以b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up6(－))2)＝11850-5×880×355-5所以a＝y(tǒng)-bx＝880－(－135)×3故所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝－135x＋1285.(2)令x＝6，則y＝－135×6＋1285＝475人，預(yù)計(jì)該路口第6周未規(guī)范佩戴頭盔的人數(shù)為475人．例3解析：(1)應(yīng)該選擇模型①，模型①的殘差值的絕對(duì)值之和為1.1＋2.8＋7.5＋1.2＋1.9＋0.4＝14.9；模型②的殘差值的絕對(duì)值之和為0.3＋5.4＋4.3＋3.2＋1.6＋3.8＝18.6.∵14.9<18.6，∴模型①的擬合效果較好，應(yīng)該選模型①.(2)剔除異常數(shù)據(jù)，即剔除第3天的數(shù)據(jù)后，得x＝15(3.5×6－3)＝3.6，y＝15(41×6－43)＝i=15xiyi＝1049－3×43＝920，i=15x∴b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－5\o(x,\s\up6(－))2)＝920-5×3.6×40.682-5×3.6a＝y(tǒng)-bx＝40.6－11×∴y關(guān)于x的回歸方程為y＝11x＋1.鞏固訓(xùn)練3解析：(1)由題設(shè)，x＝3+4+5+6+75＝5，y＝0.56+0.52+0.46+0.35+0.