福建省三明市縣2024屆數(shù)學(xué)七下期末綜合測(cè)試試題含解析

福建省三明市縣2024屆數(shù)學(xué)七下期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．等于（）A．-8 B．8 C．0.125 D．-0.1252．若x軸上的點(diǎn)p到y(tǒng)軸的距離為5，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．(5,0) B．(5,0)(-5,0) C．(0,5) D．(0,5)或(0，-5)3．觀(guān)察下列等式：，，，…；根據(jù)其蘊(yùn)含的規(guī)律可得（）A． B． C． D．4．如圖，8×8方格紙的兩條對(duì)稱(chēng)軸EF，MN相交于點(diǎn)O，圖a到圖b的變換是（）A．繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°B．先向上平移3格，再向右平移4格C．先以直線(xiàn)MN為對(duì)稱(chēng)軸作軸對(duì)稱(chēng)，再向上平移4格D．先向右平移4格，再以直線(xiàn)EF為對(duì)稱(chēng)軸作軸對(duì)稱(chēng)5．若5，4，且點(diǎn)Ma，b在第四象限，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）A．（5，4） B．（5，4） C．（5，4） D．（5，4）6．如圖，直線(xiàn)a、b相交于點(diǎn)O，若∠1＝30°，則∠2等于（）A．60° B．30° C．140° D．150°7．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，對(duì)于點(diǎn)P（x,y），我們把點(diǎn)P′（－y+1,x+1）叫做點(diǎn)P伴隨點(diǎn)．已知點(diǎn)A1的伴隨點(diǎn)為A2，點(diǎn)A2的伴隨點(diǎn)為A3，點(diǎn)A3的伴隨點(diǎn)為A4，…，這樣依次得到點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，…．若點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)A2018的坐標(biāo)為（

）A．（－3，3） B．（－2，－2） C．（3，－1） D．（2，4）8．若解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則這個(gè)不等式組可以是（）A． B．C． D．9．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的英語(yǔ)“Learningpower”中，字母“n”出現(xiàn)的頻率是（）A． B． C．2 D．110．如圖，點(diǎn)A位于點(diǎn)O的（）.A．南偏東35°方向上 B．北偏西65°方向上 C．南偏東65°方向上 D．二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)11．如圖，在的中線(xiàn)、相交于點(diǎn)，若四邊形的面積是2，則的面積是__________．12．一只船在A(yíng)、B兩碼頭間航行，從A到B順流航行需2小時(shí)，從B到A逆流航行需3小時(shí)，那么一只救生圈從A順流漂到B需要________小時(shí)．13．比較大?。篲_________-1．（填“”、“”或“”）14．若是完全平方式，則___．15．若，則的值是_______．16．如圖，將長(zhǎng)方形沿折疊，使得點(diǎn)恰好在邊上的點(diǎn)處，若，則______.三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)17．（8分）如圖，，平分，，，.求的度數(shù).18．（8分）（1）分解因式．（2）先化簡(jiǎn)再求值：，其中，．19．（8分）新知探究：光在反射時(shí)，光束的路徑可用圖（1）來(lái)表示.叫做入射光線(xiàn)，叫做反射光線(xiàn)，從入射點(diǎn)引出的一條垂直于鏡面的射線(xiàn)叫做法線(xiàn).與的夾角叫入射角，與的夾角叫反射角.根據(jù)科學(xué)實(shí)驗(yàn)可得：.則圖（1）中與的數(shù)量關(guān)系是：理由：；問(wèn)題解決：生活中我們可以運(yùn)用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測(cè)距.如圖（2）當(dāng)一束“激光”射入到平面鏡上、被反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線(xiàn).（1）若反射光線(xiàn)沿著入射光線(xiàn)的方向反射回去，即，且，則，；（2）猜想：當(dāng)時(shí)，任何射到平面鏡上的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)平面鏡和的兩次反射后，入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)總是平行的.請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)過(guò)的知識(shí)及新知說(shuō)明.20．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．(1)求證：BE∥DF；(2)若∠ABC＝56°，求∠ADF的大?。?1．（8分）某超市有甲、乙、丙三種商品，原價(jià)分別為20元/件，50元/件，30元/件．小慧一共購(gòu)買(mǎi)了三次，僅有一次購(gòu)買(mǎi)時(shí)丙商品打折，其余均無(wú)打折．前兩次購(gòu)買(mǎi)甲商品的數(shù)量相同，記為件，第三次購(gòu)買(mǎi)甲的數(shù)量記為件，乙的數(shù)量記為件，其余各商品的數(shù)量與總費(fèi)用信息如下表：購(gòu)買(mǎi)次數(shù)甲的數(shù)量（件）乙的數(shù)量（件）丙的數(shù)量（件）購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用（元）第一次43390第二次45375第三次4320（1）小慧第________次購(gòu)買(mǎi)的丙商品有打折，求本次丙商品打幾折？（2）若第三次購(gòu)買(mǎi)的每種商品不少于1件，問(wèn)第三次購(gòu)買(mǎi)商品的數(shù)量總和是多少件？（3）五一期間，該超市這三種商品的單價(jià)都有所下降，以每件下降金額來(lái)比較，乙商品是甲商品的2倍，丙商品是甲商品的倍．小瑋在此期間分別花了160元、210元、120元來(lái)購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種商品，結(jié)果甲、丙的數(shù)量之和是乙的3倍，求本次購(gòu)買(mǎi)跟原價(jià)相比共節(jié)省了多少元？22．（10分）已知：如圖，在中，AC=BC，點(diǎn)D在A(yíng)B邊上，DE//AC交BC邊于點(diǎn)E，，垂足是D，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F，試說(shuō)明是等腰三角形的理由．23．（10分）在中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度，是另外一個(gè)內(nèi)角角度的倍（為大于1的正整數(shù)），則稱(chēng)為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．（1）在中，，，則為_(kāi)_______倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另外一個(gè)內(nèi)角的余角的度數(shù)的，求的最小內(nèi)角．（3）若是2倍角三角形，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小內(nèi)角的取值范圍．24．（12分）已知：如圖1，在△ABC中，CD是高，若∠A=∠DCB．（1）試說(shuō)明∠ACB=90°；（2）如圖2，若AE是角平分線(xiàn)，AE、CD相交于點(diǎn)F．求證：∠CFE=∠CEF．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解題分析】

直接利用積的乘方運(yùn)算法則將原式變形計(jì)算得出答案．【題目詳解】（﹣0.125）2019×12020=（﹣0.125×1）2019×1=﹣1．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了積的乘方運(yùn)算，正確將原式變形是解題的關(guān)鍵．2、B【解題分析】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離.先根據(jù)P在x軸上判斷出點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0，再根據(jù)點(diǎn)P到y(tǒng)軸上的距離的意義可得橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為5，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：∵點(diǎn)P在x軸上，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)等于0，又∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是5，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是±5，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）或（-5，0）．故選B．3、D【解題分析】

歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，即可得到結(jié)果．【題目詳解】由a1=n，得到：以為循環(huán)節(jié)3次一循環(huán)，∵2013÷3=671，∴故選：D．【題目點(diǎn)撥】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．4、D【解題分析】

試題分析：選擇題觀(guān)察圖形，把圖形b關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)后的圖形與a的位置一致，然后在把該圖形向左平移四個(gè)小方格就可得到圖形a,所以圖a到圖b的變換是先向右平移4格，再以直線(xiàn)EF為對(duì)稱(chēng)軸作軸對(duì)稱(chēng)考點(diǎn)：圖形的變換點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的變換，掌握對(duì)稱(chēng)和平移的概念和特征是解本題的關(guān)鍵，本題屬基礎(chǔ)題5、D【解題分析】

先根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出a、b的值，再根據(jù)點(diǎn)M在第四象限，橫坐標(biāo)是正數(shù)，縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，對(duì)a、b的值進(jìn)行取舍，然后即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【題目詳解】∵|a|=5，|b|=4，

∴a=5或-5，b=4或-4，

∵點(diǎn)M（a，b）在第四象限，

∴a＞0，b＜0，

∴a=5，b=-4，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（5，-4）．

故選D．【題目點(diǎn)撥】考查了絕對(duì)值的性質(zhì)與點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記各象限點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6、D【解題分析】

因∠1和∠2是鄰補(bǔ)角，且∠1＝30°，由鄰補(bǔ)角的定義可得∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°．【題目詳解】解：∵∠1+∠2＝180°，且∠1＝30°，∴∠2＝150°，故選：D．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的特征和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．②鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．7、A【解題分析】

根據(jù)“伴隨點(diǎn)”的定義依次求出各點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)，每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2018除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點(diǎn)A2018的坐標(biāo)即可．【題目詳解】∵A1的坐標(biāo)為（2，4），

∴A2（-3，3），A3（-2，-2），A4（3，-1），A5（2，4），

…，

依此類(lèi)推，每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

∵2018÷4=504…2，

∴點(diǎn)A2018的坐標(biāo)與A2的坐標(biāo)相同，為（-3，3）．

故答案是A．【題目點(diǎn)撥】考查點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點(diǎn)”的定義并求出每4個(gè)點(diǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．8、A【解題分析】

根據(jù)數(shù)軸表示出不等式的解集，確定出所求不等式組即可．【題目詳解】解：若解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，可得解集為﹣2≤x≤3，則這個(gè)不等式組可以是，故選：A．【題目點(diǎn)撥】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)（＞，≥向右畫(huà)；＜，≤向左畫(huà)），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線(xiàn)的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．9、A【解題分析】

找出字母“n”出現(xiàn)的次數(shù)，進(jìn)而求出字母“n”出現(xiàn)的頻率.【題目詳解】這句話(huà)中,13個(gè)字母“n”出現(xiàn)了2次,

所以字母“n”出現(xiàn)的頻率是.

故選:A.【題目點(diǎn)撥】考查概率的計(jì)算，明確概率的意義是解題的關(guān)鍵，概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)的比.10、B【解題分析】

先觀(guān)察圖形，得OA與正北方向的夾角為65°；再結(jié)合A點(diǎn)處于西北方向，即可得出答案.【題目詳解】∵OA與正北方向的夾角為65°，

∴點(diǎn)A位于點(diǎn)O的北偏西65°的方向上.

故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查方位角，解題的關(guān)鍵是掌握方位角的相關(guān)知識(shí).二、填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分)11、2【解題分析】

根據(jù)三角形的中線(xiàn)將三角形分成面積相等的兩部分即可得出結(jié)論【題目詳解】解：∵AD和CE是△ABC的兩條中線(xiàn)，

故答案為：2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用三角形中線(xiàn)的性質(zhì)找出三角形面積關(guān)系．12、12【解題分析】設(shè)A、B兩碼頭間的距離為a，船在靜水中的速度為x，水流的速度為y，根據(jù)航行問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系建立方程組，解得，所以一只救生圈從A順流漂到B需要（小時(shí)）．故答案：12.13、【解題分析】

先由，得到>，再利用兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小得到結(jié)論．【題目詳解】解：∵>，∴，∴>．故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)大小的比較，關(guān)鍵要熟記實(shí)數(shù)大小的比較方法：正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對(duì)值大的反而小．14、【解題分析】

利用完全平方公式的題中判斷即可求出m的值．【題目詳解】是完全平方式，，故答案為：【題目點(diǎn)撥】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．15、【解題分析】

根據(jù)乘方的定義進(jìn)行計(jì)算即可【題目詳解】解：∵∴∴故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了乘方的定義，熟練掌握乘方的意義是解題的關(guān)鍵16、【解題分析】

設(shè)∠1=3x，則∠2=4x，由折疊可得∠EFC=∠EFC'=7x，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到∠FD′C'的度數(shù)．【題目詳解】設(shè)∠1=3x，則∠2=4x，由折疊可得∠EFC=∠EFC'=7x，∵DA∥CB，∴∠DEF=∠1=3x，∠DEF+∠CFE=180°，∴3x+7x=180°，解得x=18°，∴∠2=72°，由折疊可得，∠C'=∠C=90°，∴Rt△C'D'F中，∠FD'C'=90°-72°=18°，故答案為：18°．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．三、解下列各題(本大題共8小題，共72分)17、【解題分析】

先利用角平分線(xiàn)求出∠DCB的度數(shù)，再利用AB∥CD，求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)∠CBF的度數(shù)，求出∠ABF的度數(shù)，因?yàn)椤螮FB的度數(shù)知道，可以判斷出AB∥EF，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠CEF.【題目詳解】解：平分，，，，，，，，，，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)和平行線(xiàn)的判定，學(xué)生們熟練掌握該定理即可求解.18、（1）；（2），2.【解題分析】

（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

（2）原式利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，平方差公式，以及完全平方公式化簡(jiǎn)，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把x與y的值代入計(jì)算即可求出值．【題目詳解】（1）解：原式（2）解：原式當(dāng)，時(shí)，原式.【題目點(diǎn)撥】此題考查了因式分解和整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．19、新知探究：，等角的余角相等；問(wèn)題解決：（1），；（2），理由詳見(jiàn)解析.【解題分析】

新知探究：利用等角的余角相等解決問(wèn)題即可．問(wèn)題解決：（1）根據(jù)題意可求出∠CBO，從而得到∠ABC，然后根據(jù)平行線(xiàn)性質(zhì)可求出∠BCD，從而得到∠BCO，最后利用三角形內(nèi)角和定理可解決問(wèn)題；（2）過(guò)作，垂足為，根據(jù)題意和平行線(xiàn)性質(zhì)可得，然后可證．，問(wèn)題得解.【題目詳解】新知探究：∵∠α＋∠1＝90°，∠β＋∠2＝90°，∠α＝∠β，∴∠1＝∠2（等角的余角相等），故答案為：∠1＝∠2，等角的余角相等；問(wèn)題解決：（1）由題意：∠ABE＝∠CBO＝35°，∴∠ABC＝110°，∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝70°，∴∠BCO＝∠DCF＝55°，∴∠O＝180°?35°?55°＝90°，故答案為70°，90°；（2），理由：如圖，過(guò)作，垂足為，∵∴∴由題意知∴∴，∴【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等角的余角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．20、(1)證明見(jiàn)解析；(2)∠ADF＝62°.【解題分析】

（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理和∠A＝∠C＝90°，得∠ABC+∠ADC＝180°；根據(jù)角平分線(xiàn)定義、等角的余角相等易證明和BE與DF兩條直線(xiàn)有關(guān)的一對(duì)同位角相等，從而證明兩條直線(xiàn)平行；（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和角平分線(xiàn)的定義即可得到結(jié)論．【題目詳解】(1)證明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ADC，∴∠1+∠3＝(∠ABC+∠ADC)＝×180°＝90°，又∠1+∠AEB＝90°，∴∠3＝∠AEB，∴BE∥DF；(2)解：∵∠ABC＝56°，∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝124°，∵DF平分∠CDA，∴∠ADF＝∠ADC＝62°．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平行線(xiàn)的判定，角平分線(xiàn)定義，三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)并正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．21、（1）二（2）2件（3）20元【解題分析】

（1）由第一、二次購(gòu)買(mǎi)商品數(shù)量及總價(jià)之間的關(guān)系，可得出第二次購(gòu)物丙商品有打折，設(shè)本次丙商品打m折，根據(jù)打折省的錢(qián)數(shù)＝本次購(gòu)買(mǎi)丙商品的數(shù)量×丙商品的原價(jià)×（1?折扣率），即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于y，z的二元一次方程，結(jié)合y，z均為正整數(shù)即可求出y，z的值，進(jìn)而可求出第三次購(gòu)買(mǎi)商品的數(shù)量總和；（3）設(shè)每件甲商品降價(jià)n元，則每件乙商品降價(jià)2n元，每件丙商品降價(jià)n元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合購(gòu)買(mǎi)甲、丙的數(shù)量之和是乙的3倍，即可得出關(guān)于n的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出n的值，再利用節(jié)省的總錢(qián)數(shù)＝購(gòu)買(mǎi)每件商品節(jié)省的錢(qián)數(shù)×購(gòu)買(mǎi)數(shù)量即可求出本次購(gòu)買(mǎi)跟原價(jià)相比共節(jié)省的錢(qián)數(shù)．【題目詳解】（1）觀(guān)察表格中的數(shù)據(jù)，可知：第二次購(gòu)進(jìn)商品的數(shù)量比第一次的多且購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用較低，∴小慧第二次購(gòu)買(mǎi)的丙商品有打折．設(shè)本次丙商品打m折，依題意，得：1×30×（1?）＝390?371?30×（1?3），解得：m＝1．答：本次丙商品打1折．故答案為：二．（2）依題意，得：20y＋10z＋30×4＝320，∴z＝4?y．又∵y，z均為正整數(shù)，∴y＝1，z＝2，∴y＋z＋4＝2．答：第三次購(gòu)買(mǎi)商品的數(shù)量總和是2件．（3）設(shè)每件甲商品降價(jià)n元，則每件乙商品降價(jià)2n元，每件丙商品降價(jià)n元，依題意，得：＋＝3×，解得：n＝4，經(jīng)檢驗(yàn)，n＝4是原分式方程的解，且符合題意．∴節(jié)省的錢(qián)數(shù)為4×＋2×4×＋＝20（元）．答：本次購(gòu)買(mǎi)比原價(jià)共節(jié)省20元．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．22、證明見(jiàn)解析．【解題分析】

由與得，根據(jù)等角的余角相等，可得，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【題目詳解】，，，，，，，，∵，，，，即是等腰三角形．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，余角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和判定定理，掌握等角的余角相等，是解題的關(guān)鍵．23、（1）4；（2）的最小內(nèi)角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解題分析】

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，