概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)5

2024/2/71

條件概率及其三大公式1一、條件概率二、古典概率的三大公式一、條件概率引例：假定生男生女是等可能。若已知某一個(gè)家庭有倆孩子，求這個(gè)家庭有一個(gè)男孩，一個(gè)女孩的概率；若已知這個(gè)家庭至少一個(gè)女孩，求這家有一個(gè)男孩，一個(gè)女孩的概率。設(shè)A表示“這個(gè)家庭有一個(gè)男孩，一個(gè)女孩”；

B表示“這個(gè)家庭至少一個(gè)女孩”。由題意知樣本空間和事件分別可表示為

所以有

條件概率定義:區(qū)別P(AB)、P(A|B)：1、P(AB)表示事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率。P(A|B)表示事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率。2、P(AB)、P(A|B)區(qū)別的實(shí)質(zhì)是樣本空間的變化。BAAB條件概率的計(jì)算例1

某種動(dòng)物出生之后能活到20歲的概率為0.7，能活到25歲的概率為0.56，已知現(xiàn)有一只年齡為20歲的這種動(dòng)物，求其能繼續(xù)活到25歲的概率。例2體檢發(fā)現(xiàn)，某地區(qū)自然人群中，每10萬(wàn)人內(nèi)平均有40人還原發(fā)性肝癌，有34人甲胎球蛋白含量高，有32人患原發(fā)性肝癌又出現(xiàn)甲胎球蛋白含量高。若在這個(gè)人群中，已知一人患原發(fā)性肝癌，求該人甲胎球蛋白含量高的概率？現(xiàn)從這一地區(qū)隨機(jī)抽查一人，發(fā)現(xiàn)其甲胎球蛋白量高，求其患原發(fā)性肝癌的概率有多大？

條件概率的性質(zhì)

條件概率具有概率的一切性質(zhì)，譬如：古典概率的三大公式對(duì)于任意事件則推廣到事件若一、乘法公式例甲、乙、丙3位求職者參加面試，每人的試題通過(guò)不放回抽取方式確定。假設(shè)被抽的10個(gè)試題卡中有4個(gè)是難題卡，抽取按甲先，乙次，丙最后的次序進(jìn)行。試求解下列事件的概率：（1）甲抽到難題卡；（2）甲沒(méi)抽到難題簽而乙抽到難題卡；（4）甲、乙、丙都抽到難題卡。二、全概率公式設(shè)

為一個(gè)完備事件組，為任意事件，且

則有該公式稱(chēng)為全概率公式。完備事件組例1：為了掌握一支股票未來(lái)一定時(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化，人們往往會(huì)去分析影響股票的基本因素，比如利率的變化?，F(xiàn)在假設(shè)經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%。人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，在利率不變的情況下，其價(jià)格上漲的概率為40%，求該支股票將上漲的概率。例2：送檢的兩批燈管在運(yùn)輸中各打碎一支，若每批十支，而第一批中有1支次品，第二批中有2支次品?，F(xiàn)從剩下的燈管中任取一支，問(wèn)抽得次品的概率是多少？三：貝葉斯公式設(shè)為互斥事件完備群，為任意事件，且

則有該公式稱(chēng)為貝葉斯公式。其中成為先驗(yàn)概率，稱(chēng)為后驗(yàn)概率。例：發(fā)報(bào)機(jī)以0.7和0.3的概率發(fā)出信號(hào)0和1，由于隨機(jī)干擾的影響，當(dāng)發(fā)出信號(hào)0時(shí)，接收機(jī)不一定收到0，而是以概率0.8和0.2收到信號(hào)0和1；同樣地，當(dāng)發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號(hào)1時(shí)，接受機(jī)以概率0.9和0.1收到信號(hào)1和0，問(wèn)當(dāng)接受機(jī)收到信號(hào)0時(shí)，發(fā)報(bào)機(jī)是發(fā)出信號(hào)0的概率。思考：某市有一輛出租車(chē)涉嫌夜間肇事逃逸，該市的出租車(chē)有85%是綠色的，