概率論與數(shù)理統(tǒng)計第8講

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第八講主講教師：楊勇佛山科學技術(shù)學院數(shù)學系§3.4邊緣分布3.4.1邊緣分布函數(shù)

二維隨機向量(X,Y)作為一個整體,有分布函數(shù)F(x,y)，其分量X與Y

都是隨機變量，有各自的分布函數(shù)，分別記成FX(x)和FY(y)，分別稱為X的邊緣分布函數(shù)和Y的邊緣分布函數(shù)；稱F(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{X<+∞,Y≤y}=F(+∞,y).

X與Y的邊緣分布函數(shù)實質(zhì)上就是一維隨機變量X或Y的分布函數(shù)。稱其為邊緣分布函數(shù)的是相對于(X,Y)的聯(lián)合分布而言的。同樣地，(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)是相對于(X,Y)的分量X和Y的分布而言的。注意:

求法則X的邊緣分布律為Y的邊緣分布律為設(X,Y)是二維離散型隨機向量，聯(lián)合分布律為3.4.2二維離散型隨機向量的邊緣分布律解：例1：已知二維隨機變量(X,Y)的分布律為求分量X和Y的邊緣分布律。把這些數(shù)據(jù)補充到前面表上,例2：把兩封信隨機地投入已經(jīng)編好號的3個郵筒內(nèi)，設X,Y分別表示投入第1，2個郵筒內(nèi)信的數(shù)目，求(X,Y)的分布律及邊緣分布律。解：X,Y各自可能的取值為0，1，2。由提設，(X,Y)取(1,2),(2,1),(2,2)均不可能，因而相應的概率均為0。再由古典概率計算公式得XY012Pi.01/92/91/94/912/92/904/921/9001/9P.j4/94/91/9因此，(X,Y)的分布律及邊緣分布律為3.4.2連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密度若(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則故X的邊緣概率密度為類似地，Y的邊緣概率密度為例3：若(X,Y)服從矩形區(qū)域a≤x≤b，c≤y≤d上均勻分布，則聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度分別為注：本例中X與Y都是服從均勻分布的隨機變量。但對其它非矩形區(qū)域上的均勻分布不一定有上述結(jié)論。例4：設(X,Y)服從單位圓域x2+y2≤1上的均勻分布。求X和Y的邊緣概率密度。解:當|x|＞1時,當-1≤x≤1時,(注意積分限的確定方法)熟練時，被積函數(shù)為零的部分可以不寫。由X和Y在問題中地位的對稱性,將上式中的x改為y，得到Y(jié)的邊緣概率密度例5：設(X,Y)的概率密度為求(1).c的值;(2).邊緣密度。=5c/24=1,c=24/5;解:(1).解:(2)注意積分限注意取值范圍注意積分限注意取值范圍即例6：設(X,Y)求X和Y

的邊緣概率密度。解：由

說明對于確定的

1,

2,

1,

2,當

不同時,對應不同的二維正態(tài)分布。但它們的邊緣分布是相同的，所以在考慮多維隨機向量時，不但要考慮它們的邊緣分布，還要考慮隨機向量各分量之間的關(guān)系。

X與Y之間的關(guān)系的信息是包含在(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)之內(nèi)的。在以后章節(jié)將指出：對于二維正態(tài)分布而言，參數(shù)

正好刻畫了X和Y之間關(guān)系的密切程度。因此，僅由X和Y的邊緣概率密度(或邊緣分布)一般不能確定(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)(或分布律)?！?.5條件分布第一章中，我們介紹了條件概率的概念,在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率為將其推廣到隨機變量：

設有兩個隨機變量

X與Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布。這個分布就是條件分布。3.5.1條件分布的概念例如：考慮某大學的全體學生，從中隨機抽取一個學生，分別以X和Y表示其體重和身高。則X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布。體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布現(xiàn)在限制180<Y<190(cm)，在這個條件下求X的條件分布，這就意味著要從該校的學生中把身高在180cm和190cm間的那些人都挑出來，

然后在挑出來的學生中求其體重的分布。容易想象：這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣。

例如：在條件分布中體重取大值的概率會顯著地增加。3.5.2離散型隨機變量的條件分布定義1:設(X,Y)是二維離散型隨機向量，對固定的j，若P(Y=yj)>0，則稱為在Y=yj

條件下,隨機變量X的條件概率分布。P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…

條件分布是一種概率分布，具有概率分布的一切性質(zhì)。例如：

i=1,2,…對固定的i，若P(X=xi)>0，則稱P(Y=Yj

|X=xi)=，j=1,2,…為在X=xi條件下,隨機變量Y

的條件概率分布。例1:

已知二維隨機變量(X,Y)的分布律及邊緣分布律為解：在X=0條件下，求Y的條件分布。在

X=1