概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過(guò)程課件23離散型隨機(jī)變量及其概率分布

§2.3離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義若隨機(jī)變量X

的可能取值是有限多個(gè)或無(wú)窮可列多個(gè)，則稱(chēng)X

為離散型隨機(jī)變量描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即概率分布的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的概念

非負(fù)性

規(guī)范性1

F(x)是分段階梯函數(shù)，在X

的可能取值

xk處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度

pk離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)2?1?2??k?k+1?o?1?o?o?oF(X)3(1)0–1分布X=xk

10Pkp1-p0<p<

1注其分布律可寫(xiě)成

常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布凡是隨機(jī)試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，常用0–1分布描述，如產(chǎn)品是否格、人口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超負(fù)荷等等.應(yīng)用場(chǎng)合4(2)二項(xiàng)分布背景：n

重Bernoulli試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)感興趣的事件A

在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)——X是一離散型隨機(jī)變量若P(A)=p,則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p

的二項(xiàng)分布，記作0–1分布是n=1的二項(xiàng)分布5二項(xiàng)分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見(jiàn),當(dāng)

時(shí)，分布取得最大值此時(shí)的稱(chēng)為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?867設(shè).01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見(jiàn),當(dāng)時(shí)，分布取得最大值0.22

?89二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)則稱(chēng)為最可能出現(xiàn)的次數(shù)10當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時(shí)，在k=[(n+1)p]與

[(n+1)p]–1處的概率取得最大值對(duì)固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對(duì)稱(chēng)分布；固定p,隨著

n

的增大，其取值的分布趨于對(duì)稱(chēng)當(dāng)(n+1)p

整數(shù)時(shí)，在k=[(n+1)p]處的概率取得最大值11例4獨(dú)立射擊5000次，每次的命中率為0.001,求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；(2)命中次數(shù)不少于2次的概率.(2)令X表示命中次數(shù)，則X~B(5000,0.001)解

(1)

k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=512問(wèn)題如何計(jì)算？

本例啟示

小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件.由此可見(jiàn)日常生活中“提高警惕,防火防盜”的重要性.由于時(shí)間無(wú)限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流等都是必然的，毫不奇怪.同樣，人生中發(fā)生車(chē)禍、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都是十分正常的,大可不必怨天尤人，更不要想不開(kāi)而跳樓自殺.13Possion定理則對(duì)固定的

k設(shè)Poisson定理說(shuō)明：若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小，而適中，則可以用近似公式14超幾何分布:從裝有

a

個(gè)白球，b

個(gè)紅球的袋中不放回地任取n個(gè)球，其中恰有k

個(gè)白球的概率為當(dāng)時(shí)，對(duì)每個(gè)n有結(jié)論超幾何分布的極限分布是二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的極限分布是Poisson分布15解令X表示命中次數(shù)，則X~B(5000,0.001)令此結(jié)果也可直接查P.360附表2Poisson分布表得到，它與用二項(xiàng)分布算得的結(jié)果0.9574

僅相差千分之二點(diǎn)四.利用Poisson定理再求例4

(2)16例5

某廠產(chǎn)品不合格率為0.03，現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱，若要以不小于90%的概率保證每箱中至少有100個(gè)合格品，則每箱至少應(yīng)裝多少個(gè)產(chǎn)品？解

設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+n個(gè)，每箱的不合格品個(gè)數(shù)為X

，則X~B(100+n,0.03)應(yīng)用Poisson定理由題意

3(100+n)0.03=3+0.03n取=317查Poisson分布表=3一欄得n+1=6,n=5所以每箱至少應(yīng)裝105個(gè)產(chǎn)品,才能符合要求.18在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n

20,p0.05時(shí)，可用上述公式近似計(jì)算；而當(dāng)n

100,np10時(shí),精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015按二項(xiàng)分布按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=119解

(1)設(shè)需要配備N(xiāo)

個(gè)維修工人,設(shè)X

為90臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則X~B(90,0.01)

設(shè)有同類(lèi)型設(shè)備90臺(tái)，每臺(tái)工作相互獨(dú)立，每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障可由一個(gè)人獨(dú)立維修，每人同時(shí)也只能維修一臺(tái)設(shè)備.問(wèn)至少要配備多少維修工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?(2)問(wèn)3個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)還是3個(gè)人各自獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率低？例620令則查附表2得N=421三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為22設(shè)30臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為

Y~B(30,0.01)設(shè)每個(gè)人獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備，第i個(gè)人負(fù)責(zé)的30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件Ai

則三個(gè)人各獨(dú)立負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修為事件故

三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備比各自負(fù)責(zé)好！23在Poisson定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機(jī)變量的概率分布—Poisson分布24(3)Poisson分布或或若其中是常數(shù)，則稱(chēng)

X服從參數(shù)為的Poisson分布，記作在一定時(shí)間間隔內(nèi)：一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；大賣(mài)場(chǎng)的顧客數(shù)；應(yīng)用場(chǎng)合電話(huà)總機(jī)接到的電話(huà)次數(shù)；25一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；一本書(shū)中每頁(yè)印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)；某一地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流,若它們滿(mǎn)足一定的條件，則稱(chēng)為Poisson流,在長(zhǎng)為

t

的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)Xt~P(t)市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；等等