信 與系統(tǒng)課后習(xí)題答案匯總

第一章習(xí)題參考解答

繪出下列函數(shù)波形草圖。

(1/2)〃n>0

(1)x(r)=3eT"

2〃n<0

(3)x⑺=sin2加2⑺

(5)x(f)=e~rcos4加[￡(，)-s(t-4)]

7t

(7)x?)=[5(r)-5(f-2)]cos—f

2

(9)x(t)=-1)+s(t-2)

(11)X(0=—[￡(t+1)--1)](12)x(〃)=e(-n+5)-s(-n)

dt

(13)x(t)=[J(r-l)6/r(14)x(ti)=-〃￡(-〃)

J-00

確定下列信號(hào)的能量和功率，并指出是能量信號(hào)還是功率信號(hào)，或兩者均不是。

(1)x(f)=3e-M

解能量有限信號(hào)。信號(hào)能量為:

,、(1/2)"?>0

⑵%(?)=?7'

2""0

解能量有限信號(hào)。信號(hào)能量為：

(3)x(r)=sin2加

解功率有限信號(hào)。周期信號(hào)在(-8,8)區(qū)間上的平均功率等于在一個(gè)周期內(nèi)的平均功率，sin2勿的周期為1。

(4)x(n)=sin—/?

4

TT

解功率有限信號(hào)。sin一〃是周期序列，周期為8。

4

(5)x(t)=sin271t￡(t)

解功率有限信號(hào)。由題(3)知，在(-0。,00)區(qū)間上sin2加的功率為1/2,因此sin2m儀力在(-。,8)區(qū)間上的功率

為1/4。如果考察sin2萬(wàn)￡?)在(0,8)區(qū)間上的功率，其功率為1/2。

(6)x(n)=sin—ns(ri)

4

解功率有限信號(hào)。由題(4)知，在(-oc,oo)區(qū)間上sin工〃的功率為1/2,因此sin工〃￡(〃)在(TX>,co)區(qū)間上的功率

44

TT

為1/4。如果考察sin—〃￡(")在(0,oo)區(qū)間上的功率，其功率為1/2。

4

(7)M)=3e-'

解非功率、非能量信號(hào)。考慮其功率：

上式分子分母對(duì)7求導(dǎo)后取極限得Pf8.

(8)x{t}=3e~'￡(t)

解能量信號(hào)。信號(hào)能量為：

已知x(f)的波形如題圖所示，試畫出下列函數(shù)的波形。

(3)x(2f)

1

⑸

(8)x{—2i+2)

(10)x(一;/一2)

22

1已知x(〃)的波形如題圖1

(5)x(—n-3)+x(—n+3)

▽x(〃)=x(n)-x(n-1)(8)

任何信號(hào)可以分解為奇分量和偶分量的和：

x(t)=xe(t)+xo(t)或x(n)=xe(n)+xo(n)

其中“為偶分量；與為奇分量。偶分量和奇分量可以由下式確

定：

Xe?)=；［x?)+X(T)］，

%-X(T)]

xe(n)=；[x(n)+x(-n)],%(〃)=；[x(〃)一X(-H)]

(1)試證明/(，)=/(T)或須,(〃)=/(-〃)；2%(/)=-與(一，)或

xo(n)=-xo(-n)o

(2)試確定題圖(a)和(b)所示信號(hào)的偶分量和奇分

量，并繪出其波形草圖。

(1)證明根據(jù)偶分量和奇分量的定義：

離散序列的證明類似。

(2)根據(jù)定義可繪出下圖

1

設(shè)元(“)=2",試求辦(〃),Ax(〃),不何〃)。

解Vx(n)=x(n)-x(n-l)=2n-2"-1=--2n=2n-1

2

判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是周期的，試求其最小周期。

(1)x(t)=cos(4/+—)

6

解周期信號(hào)，(=一

2

⑵x(r)=sin(2m)￡?)

解非周期信號(hào)。

(3)x(t)=e~fcos(2^r)

解非周期信號(hào)。

/7(33)

(4)x(0=e34

解周期信號(hào)，T]=8。

(5)x(t)=asin(5r)+bcos(加)

解若。=0涉。0,則X")為周期信號(hào)，7協(xié)=2；

若。。0/=0,則X。)為周期信號(hào)，TXa=1zr；

若涉工0,則為非周期信號(hào)飛

(6)x(〃)=cos(—〃+3)

8

解周期信號(hào)，N]=16。

7

(7)M〃)=cos(—加7)

解周期信號(hào)，Nx=18o

(8)x(n)=con(l6n)

解：非周期信號(hào)。

J2-4H

(9)x(〃)=e]5

解：周期信號(hào)，N|=15。

(10)x(〃)=3cos(—n)+sin(—n)-2sin(—n+

634

解：周期信號(hào)，最小公共周期為N|=24。

計(jì)算下列各式的值。

(1)f

J—00

解：原式=jx(-t0)8{t}dt=x(-/0).

J—CO

(2)|X(T-/0)S(r)dT

解：原式=fx(-r0)(^(r)Jr=x(-zo)-￡：(O

J-co

(3)Px{t-t)8(t)dt

J-OC0

解：原式=Jj(/())3(f)(〃=xQ())

(4)J/XQToW⑺力

解：原式=_"什_『o)|o=一工'(一2)

⑸f-，o）￡（f-《）力

J-82

解：原式=j￡（t（）一~：）?演1一，0）力=￡（彳-）

（6）「3（:■-，o）￡?-2,o）dr

J—30

解：原式二I=5（7_fo）￡（，0_2f0）dz'二￡（To）［/?_f0）dK=￡（-/（））￡（/_，0）二i）J<0

（7）「8{t}dt

解：原式二1

（8）（°8（t）dt

J-8

解：原式=0

⑼r6{t）dt

JO

解原式二0

fO4

（10）S（t）dt

J。-

解原式=1

(11)「S(3r-3)(f2+21)4

解令u=3/得：

原式=「S(f吟1

)2+2Z_I]1</V=1[(Z)2+2^_1]

J-83333333

(12)「9Q+l)x(f)〃

J—00

=x

解：原式=—X(o|z__j~(—1)

(13)「^(t)e~rdt

J—00

解：原式=-[6-']/=0=1

1

(14)Rs⑵-3)x(，)力

~3

解：令u=N得：

2121

f—v1r—v

原式=「^(v-3)x(—)?—Jv==，3b(u-3)x(—)?一du

J，2222

33

2

因?yàn)?(y-3Mu=0,所以：原式=0

~3

設(shè)x(f)或x(〃)為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，y(f)或y5)為系統(tǒng)的輸出信號(hào)，試判定下列各函數(shù)所描述的系統(tǒng)是否是：(a)

線性的(b)時(shí)不變的(c)因果的(d)穩(wěn)定的(e)無(wú)記憶的？

(1)y(r)=x(r+4)

解(。)線性的.

??,若xx(/)->y}(f)=X[什+4);x2(t)->y2(r)=x2(t+4)

貝ij:axx(t)+bx2(t)Ty(t)=axj(t+4)+bx2(Z+4)=ayx(t)+by2(0

(b)時(shí)不變的.

???若xQ)fy?)=x(r+4)

則：x(t-r)—>+4-r)

(c)非因果的.

t0時(shí)刻的響應(yīng)取決于/0以后時(shí)刻(即r0+4時(shí)刻)的輸入.

(d)穩(wěn)定的.

V若|x(t)\<M<(X>則：Iy(t)l<M<co

(e)有記憶的

?.?若系統(tǒng)的輸出僅僅取決當(dāng)前時(shí)刻的輸入，則稱此系統(tǒng)為無(wú)記憶系統(tǒng)。題給系統(tǒng)顯然不滿足此條件。

(2)y(t)=x(t)+x(t-r)(r>0>且為常數(shù))

解(a)線性的.

?.?若力(/)=%(1)+占"-7)，x2(t)->y2(0=x2(t)+x2(t-r)

則：ax1(t)+bx2(.t)-?y(f)=a\x}(t)+xt(t-r)]+t{xz(0+x2(t-r)]=ayt(f)+hy2(t)

S)時(shí)不變的.

v若x(t)—>y(t)=x(t)+x(t-r)

則:x(t—t())x(t—t0)+x(t—t()—r)=y(t—t0)

(c)當(dāng)T>0時(shí)為因果的.

V當(dāng)r>0時(shí):系統(tǒng)2時(shí)刻的輸出僅與2及力以前時(shí)刻的輸入有關(guān).

當(dāng)r<0時(shí):系統(tǒng)2時(shí)刻的輸出與t0以后時(shí)刻的輸入有關(guān).

(d)穩(wěn)定的.

,/若|x(t)|<oo,則|y(t)|<oo

(e)有記憶的.

系統(tǒng)"時(shí)刻的輸出與“時(shí)刻以前的輸入有關(guān).

(3)y(t)=x(t/2)

解：(a)線性的.(說(shuō)明略)

S)時(shí)變的

V若x(f)-)?)=x(；)

貝Ij:x(t-r)->x(--r)*x(-~-)

22

(c)非因果的.

---y(—1)=x(--).即t=—1時(shí)刻的輸出與t=-1時(shí)刻以后(?=--)的輸入有關(guān).

(d)穩(wěn)定的.(說(shuō)明略)

(e)有記憶的.

-,?y(l)=x1).即f=1時(shí)刻的輸入與t=1時(shí)刻以前(f=1)的輸入有關(guān).

(4)y(t)=x2(f)

解：3)非線性的.

???若Xj(r)->y](r)=xy(0,x2(t)->y2(0=^2W

2

則：ax]?)+bx2(t)f[ax}(t)+bx2(r)]*ax[(f)+bx^(t)=ay}Q)+by2(0

S)時(shí)不變的.

,/若x(r)ty。)=x2(r)

則：x(t-T)-^x2(r-r)=y(t-r)

(c)因果的.(說(shuō)明略)

3)穩(wěn)定的.(說(shuō)明略)

(e)無(wú)記憶的.

??,/0時(shí)刻的輸出僅取決于功時(shí)刻的輸入.

⑸y(t)=e2x(,)

解：(〃)非線性的.(說(shuō)明略)

S)時(shí)不變的.(說(shuō)明略)

(C)因果的.(說(shuō)明略)

(d)穩(wěn)定的.

???若\x(t)\<M<cx>t則|y⑺-e2M<8

(e)無(wú)記憶的.(說(shuō)明略)

(6)y(t)=x(t)sin2加

解：(a)線性的.

若.⑺—>y](f)=[sin2/U]x}(f)，x2(t)—>y2(0=[sin(f)

則：ciXy(，)+bx2s—>sin2鞏ax[Q)+bx2(0]=Q)+t>y2(0

(b)時(shí)變的.

,/若x(r)—>y(t)

則：x(t-r)—>(sin2m)x(f-T)Wy(t-r)=[sin27cq-r)]x(f-r)

(c)因果的.(說(shuō)明略)

(d)穩(wěn)定的.

,/若|x(t)|<A/<oo,則Iy(f)|<M|sin2t\<M<oo

(e)無(wú)記憶的.(說(shuō)明略)

⑺刈=『x(f)>0

解：(a)非線性的.

若x(t)(<0)-?為。)二0

而。<0時(shí)：ar(f)(<0)-?乃⑺=0*⑺，即不滿足均勻性.

(b)時(shí)不變的.

■:若x(7)fyQ)

x(f-fo)x(z-Zo)>O

則:x(Io)f=y?To)

0x(t-r0)<0

(c)因果的.

vt0時(shí)刻的輸出僅與以后時(shí)刻的輸入無(wú)關(guān).

(d)穩(wěn)定的.(說(shuō)明略)

(e)無(wú)記憶的.(說(shuō)明略)

(8)網(wǎng)=幽

dt

解：(a)線性的.

若X]⑺—力0)=^^，X2(t)y2(t)=

atat

則：ax⑺+bx^(r)—>—[ax(t)+b*(r)]=ay⑺+by(t)

ydt]]2

(b)時(shí)不變的.

???若：x(r)->y(t)=

dt

,idr("切dx(t-T)

則m：x(r-r)->-------=------=y(t-r)

dtd(t-r)

(c)因果的.(說(shuō)明略)

(d)非穩(wěn)定的.

(e)無(wú)記憶的(說(shuō)明略)

(9)),")='，x(r)dr

解：(a)線性的.(說(shuō)明略)

（b）時(shí)不變的.

,/若：x(t)->y?)=[x（T）dr

J-00

則：xQ—o)fJ“x(r-r0)Jr=j°x(y)dv=y(t-tQ)

(c)因果的.(說(shuō)明略)

(d)非穩(wěn)定的.

若|x(f)H?(01<81,但|y(f)|->oo

(e)有記憶的.(說(shuō)明略)

(10)y(n)=x(n)x(n-\)

解：(a)非線性的

,/若xx(w)—>y](ri)=x}(n)-x{(n-1),x2(n)—>y2(?)=x2(ri)-x2(n-1)

則：ax](〃)+bx25)—>[ax](〃)+bx2(n)][ax(n-i)^-〃巧(〃-1)]wayx(n)+by2(?)

(b)時(shí)不變的.

???若x(n)->y(n)=x(〃)?x(n-1)

則：x(n—N)—>x(n-N)?x(n—N—1)=y(n—N)

(c)因果的.

???時(shí)刻的輸出與與時(shí)刻以后的輸入無(wú)關(guān).

(d)穩(wěn)定的.

,/若Ix(〃)區(qū)M<8,貝ij:y(ri)|<M2<oo

(e)有記憶的.

??,〃o時(shí)刻的輸出與"0時(shí)刻以前的輸入有關(guān).

(11)y(n)=nx(n)

解：(a)線性的.

,/若M〃)T必(〃)=%(〃)，(〃)—>為(〃)="叼(n)

則:ax{(7?)+bx2(w)—n[ax](〃)+bx2(/7)J=ay[(7?)+by2(n)

(b)時(shí)不變的.

,/若M〃)fy(〃)=nx(n)

則：x(n一N)—>N)x(n-N)=y{n-N)

(c)因果的.(說(shuō)明略)

(d)非穩(wěn)定的.

即使|x(n)\<M,〃一>oo時(shí)，y(〃)—>oo

⑹無(wú)記憶的.(說(shuō)明略)

(12)y{n)=5x(/?)+6

解:(a)非線性的.

若X](n)—>y](n)=5?(〃)+6,x2(n)ty2(〃)=5x2(n)+6

則:axx(〃)+bx2(n)—>)，(〃)=5[ax](n)+bx2(w)]+6=ay[(〃)+6y2

（b）時(shí)不變的.（說(shuō)明略）

⑹因果的.（說(shuō)明略）

（d）穩(wěn)定的.（說(shuō)明略）

（e）無(wú)記憶的.（說(shuō)明略）

(13)y(n)=x(-n)

解：(a)線性的.(說(shuō)明略)

(b)時(shí)變的.

,/若x(n)—>y(n)=x(-n)

則：x(〃-N)-x(-n-N)wy(n-N)-"-(〃-N)]

⑹非因果的.

vy(-l)=Xl).即w=-l時(shí)刻的輸出與〃=-1以后時(shí)刻(〃=1時(shí)亥||)的輸入有關(guān).

(d)穩(wěn)定的.(說(shuō)明略)

(e)有記憶的.

;y(l)=x(—1).即〃=1時(shí)刻的輸出與〃=1以前時(shí)亥！I(”=—1時(shí)亥U)的輸入有關(guān).

*已知x(2-2。的波形如題圖所示，試畫出x(r)的波形。

解將何2-2。的波形擴(kuò)展可得*(2-0，將x(2-f)的波形翻轉(zhuǎn)得x(2+r),將

x(2+0右移2個(gè)單位可得x(r)的波形如下：

*判斷下列每個(gè)系統(tǒng)是否是可逆

的，如果是可逆的，試構(gòu)成其逆

系統(tǒng)；如果不是，找出使系統(tǒng)具題圖

有相同輸出的兩個(gè)輸入信號(hào)。

(1)>,(/)=J_e-"T)x(r)dr

解原式兩邊求導(dǎo)得：

上式同原式相加得：*。)=火力+電@

dt

所以系統(tǒng)可逆，逆系統(tǒng)為：x(f)=y(f)+包?

dt

x(n-l)n>1

(2)y(n)=?0n=0

x(n)n<-\

fv(〃+1)〃>0

解：系統(tǒng)可逆，逆系統(tǒng)為：戈5)=9

［y(n)n<-\

⑶武力=掣

dt

解系統(tǒng)不可逆，因?yàn)椴荒苡蓌(f)唯一地確定y⑺。例如：西(f)=q,X2?)=。2(G工Q)

y\(0=y\(0=-：—=-：—=0

atdr

(4)y(〃)=

解系統(tǒng)不可逆，因?yàn)楫?dāng)〃=0時(shí)，不論X(")取何值，y(〃)|,=o=O。

(5)y?)=『x(r)Jr