小學(xué)數(shù)學(xué)-推理教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

課題：推理

教學(xué)內(nèi)容：

義務(wù)教育教科書人教版六年級下冊第六單元整理和復(fù)習(xí)第四部分數(shù)學(xué)思考第102頁的例題4。

教學(xué)目標：

1.經(jīng)歷觀察、猜想、證明等過程，在比較中體會推理過程的嚴謹性。

2.經(jīng)歷根據(jù)已知信息利用性質(zhì)、定理等證明結(jié)論的過程，在交流討論中學(xué)會有理有據(jù)地表達，從而發(fā)

展學(xué)生的推理能力。

3.嘗試利用已經(jīng)獲得的信息，推理出新的結(jié)論，體驗方法多樣性。

教學(xué)重點：

根據(jù)已知信息利用性質(zhì)、定理等證明結(jié)論，在交流討論中學(xué)會有理有據(jù)地表達，從而發(fā)展學(xué)生的

推理能力。

教學(xué)難點：

1.經(jīng)歷根據(jù)已知信息利用性質(zhì)、定理等證明結(jié)論的過程，在交流討論中學(xué)會有理有據(jù)地表達，

從而發(fā)展學(xué)生的推理能力。

2.嘗試利用已經(jīng)獲得的信息，推理出新的結(jié)論，體驗方法多樣性。

教學(xué)準備：

多媒體課件、練習(xí)紙、三角尺等。

教學(xué)過程：

教師：學(xué)生：

一、拼圖游戲?qū)?/p>

1.同學(xué)們，喜歡看動畫嗎？張老師請大家看一個拼圖動畫，

請你仔細觀察，思考：

（課件出示圖一剪拼動畫到圖二）

（1）圖一剪拼后得到圖二，面積一樣嗎？生2：不一樣

（2）我們一起來驗證。學(xué)生進行驗證。

圖1是邊長8厘米的正方形，面積就是64平方厘米。圖2是

長13厘米，寬5厘米的長方形，面積是65平方厘米。圖1剪拼后

得到圖2,面積不一樣。

我們分別計算甲圖的面積是3X8+2=12平方厘米，乙圖的面

積是3X8+2=12平方厘米，丙圖的面積是（3+5）*5+2=20平方

厘米，丁圖的面積是（3+5）X54-2=20平方厘米的面積然后再加

起來12+12+20+20=64（平方厘米）用計算的方法驗證了圖1簡拼

后得到圖2,面積一樣。

2.大家分析的都很好，圖1的面積是64平方厘米，剪拼后得

到圖2,面積增加1平方厘米。用操作法進行驗證出現(xiàn)了1平方厘

米的誤差，我們通過計算的方法驗證面積是不變的。這種用計算驗

證的過程就是推理的過程。今天我們研究推理。（板書：推理）

二、探究三角形內(nèi)角和是180°。

1.（課件出示小組合作學(xué)習(xí)要求）誰愿意讀一讀：①你能不

操作而借助長方形圖用推理的方法證明直角三角形內(nèi)角和是180°

嗎？②以“直角三角形內(nèi)角和是180°M為依據(jù)，推出-一般三角形生：讀要求

的內(nèi)角和是180°。

誰愿意讀一讀小組學(xué)習(xí)要求？

2.同學(xué)們，你們還記得嗎，四年級的時候我們學(xué)過三角形內(nèi)角

和是多少度？

（1）還記得你是怎樣得到三角形內(nèi)角和是180°的？生1：量量三個角的度數(shù)，加起來。

其實，測量求和、剪拼、折拼這些方法都是操作法，操作法或生2：把三個角撕下來拼在一起，

多或少存在誤差。這節(jié)課我們研究用推理的方法驗證三角形的內(nèi)角看看是不是平角。

和是180度。生3：將三角形的三個內(nèi)角拼起

來，看是不是內(nèi)角。

(2)哪個小組愿意說一說你們怎樣驗證的直角三角形的內(nèi)角小組合作。

和是180°。指名2個小組匯報證明方法。生1：畫長方形的一條對角線，發(fā)

(3)直角三角形的內(nèi)角和是180°,誰愿意依據(jù)這個結(jié)論推出現(xiàn)“任意長方形都能分成兩個完

一般三角形的內(nèi)角和也是180°?指名2個小組代表匯報證明方法。全相同的直角三角形”，因為長方

形形的四個角都是直角，所以長

方形形的內(nèi)角和等于360°。又因

為“分成的直角三角形的內(nèi)角和

正好是長方形形內(nèi)角和的一半”，

3.我們一起來回顧一下剛才推理的過程。推理直角三角形內(nèi)角所以“直角三角形內(nèi)角和為

和是180。。因為長方形的四個角都是直角，所以長方形的內(nèi)角和180°”

等于90°X4=360°?畫長方形的一條對角線，將長方形分成了2生2：做三角形BC邊上的高，將

個完全相同的直角三角形，又因為“分成的直角三角形的內(nèi)角和正這個三角形分成了2個直角三角

好是長方形形內(nèi)角和的一半”，所以“直角三角形內(nèi)角和為360。+形。一個直角三角形的內(nèi)角和是

2=180°二180度，2個直角三角形的內(nèi)角和

對于一般三角形的內(nèi)角和也是180°的驗證。做BC邊上的高，一共是180+180,再去掉這兩個直

將這個三角形ABC分成了2個直角三角形。一個直角三角形的內(nèi)角角，就是三角形ABC的內(nèi)角和為

和是180度，2個直角三角形的內(nèi)角和一共是180+180,再去掉這180度。

兩個直角，就是三角形ABC的內(nèi)角和為180度。生講一講。

我們都是先從大圖形中畫了一條輔助線，將大圖形分成了2個

小圖形，依據(jù)已知信息推理出結(jié)論。(板書)

4.同學(xué)們和大數(shù)學(xué)家帕斯卡一樣棒。(課件出示)法國著名的

數(shù)學(xué)家帕斯卡，在12歲時利用長方形證明“任意直角三角形的內(nèi)

角和是180°”接著帕斯卡又發(fā)現(xiàn)“任何三角形都可以分成兩個

直角三角形”，這兩個直角三角形去掉兩個直角，剩下的就得到原

三角形的內(nèi)角和為180°。

同學(xué)們和帕斯卡一樣了不起。

三、練習(xí)：

1.剛才我們用推理的方法驗證了三角形的內(nèi)角和是180°,你能

用推理的方法完成練習(xí)紙上的第2題嗎？(課件出示課本第102頁

的例題4)如圖：兩條直線相交于。點。你能推出/1=/3,

Z2=Z4嗎?

生獨立思考

小組內(nèi)交流。

生1：N1和/2合起來正好是一

條直線。

(1)請你先獨立思考，再在小組內(nèi)交流，盡量讓小組內(nèi)的同

生2：/I和N2合起來正好是平

學(xué)聽明白你的想法。教師巡視。

角，平角是180"

(2)同學(xué)們，你們想到辦法了嗎？誰愿意到前面來指著圖說

生3：這兩個角在一條直線上，這

一說Nl=/3?

兩個角組成的角是180°

(3)再請一名同學(xué)到前面來指著圖說一說。

生4：Zl+Z2=180°

是啊，因為這些依據(jù)，讓推理的過程更加嚴謹，讓N1=N3的

N2+/3=180°,同時去掉/2,

得出更具有說服力，那現(xiàn)在N2=N4,請你和同位有理有據(jù)的說一

Z1和N3是相等的。

說吧。

生5：等式的性質(zhì)，等式的兩邊同

時減去N2,Z1=Z3?

生6：邊指圖邊說，

Zl+Z2=180°

Z2+Z3=180°,都有N2,

去掉N2,/I和N3是相等的。

(4)小結(jié)：我們一起來看大屏幕，在圖中，/I和/2合起來正好

生7：Zl+Z2=180°Z2+Z3=180

是平角，平角是180°,所以Nl+N2=180°。相同的道理，Z2+Z

Zl=180°-Z2,Z3=180°-Z2

3=180°,Z3+Z4=180°Zl+Z4=180°；N1+N2=N2+N3兩邊都有

Z1=Z3

Z2,利用等式的性質(zhì)同時減去/2,所以/1=/3。還有一種方法,

Zl=180°-Z2,Z3=180°-Z2,Z1=Z3?這兩種方法都能推出

Z1=Z3,你喜歡哪一種就用哪一種。

2.三角形外角等于和它不相鄰兩個內(nèi)角的和。

張老師還給同學(xué)們帶來了一個△ABC,課件出示,延長BC到D

點，請同學(xué)們仔細觀察一下這個圖中，你能不能用推理的方法有理

有據(jù)的說一說/1+/2=N4?

（1）請你先獨立思考，然后在小組內(nèi)說給同伴聽。教師巡視。

①Zl+Z2+Z3=180°

獨立思考

Z3+Z4=180°

小組內(nèi)說一說

Z1+Z2+Z3=Z3+Z4

生1：Zl+Z2+Z3=180°

Z1+Z2=Z4

Z3+Z4=180°

②Z4=180°-Z3

Z1+Z2+Z3=Z3+Z4

Zl+Z2=180°-Z3

Z1+Z2=Z4

Z1+Z2=Z4

生2：Z4=180°-Z3

（2）誰能借助大屏幕上的圖來講一講。

Zl+Z2=180°-Z3

學(xué)生講完后，師指著板書：這里有兩個180°,有什么不一樣

Z1+Z2=Z4

的意義？

生3：它們都用了三角形內(nèi)角和,

Zl+Z2+Z3=180°（三角形內(nèi)角和），Z3+Z4=180°（平角）,

平角這兩個依據(jù)。

它們都有相同的N3,Z1+Z2=Z4（等式的性質(zhì)）

現(xiàn)在，我們利用這些依據(jù)，請同學(xué)們再回想一下，剛才，我們

是如何推理出Nl+N2=/4的？

課件再次演示。因為/3和N4組成了一個平角180°,又因為

三角形內(nèi)角和/1+/2+/3=180°,所以/3+/4=/1+/2+/3,都

有相同的N3,根據(jù)等式的性質(zhì)，兩邊同時減去N3,Z4=Z1+Z2?

我們再來看一下第②種方法，是怎么說明N4=Nl+/2的呢？

②/4=180°-/3（平角）

Zl+Z2=180°-Z3（三角形內(nèi)角和）

同學(xué)們，請你觀察一下這兩種方法，你有什么想說的？

正是因為有了這些依據(jù)，才是我們的推理過程有理有據(jù)。才使

得(板書：Z4=Z1+Z2)/4=/1+/2這個結(jié)論更有說服力。

3.三角形外角和是多少度？

同學(xué)們的表現(xiàn)真棒，還想做推理的題目嗎？

(1)Z4是這個三角形的其中一個外角，在這個圖中，你還

可以找到三角形的其它外角嗎？/4=/1+/2,那么/5會等于什

Z5=Z2+Z3,

Z6=Z1+Z3,

請你和同位有理有據(jù)地說一說。

誰愿意有理有據(jù)地說一說？

同樣的道理：Z5+Zl=180°,Zl+Z2+Z3=180°

所以/5=/2+N3

(2)同學(xué)們，剛才我們有理有據(jù)地推理出了三角形一個外角

等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。那么，請你想一想，猜一猜，三

角形的外角/4+/5+N6會是多少度？

360°是我們的猜想，你能不能有理有據(jù)地推理出/4+N5+N6

的確是360°,請你和同位互相說一說。寫完后，同位互相說一說。

生猜想:360°

教師巡視，

生小組內(nèi)說一說：

180°X3-180°=360°

生1：在這個圖中一共有3個平角

①Z4=Z1+Z2,

180°X3=540°

Z5=Z2+Z3,

540°-180°=360°

N6=N1+N3,

Z4+Z5+Z6=(Z1+Z2+Z3)X2

生2：Z4=Z1+Z2,

=180°X2

Z5=Z2+Z3,

=360°

Z6=Z1+Z3,

(3)首先看第①種方法，一個簡單的算式，你能讀懂它的意

思嗎？請你指著圖說一說。180°X3-180°=360°（外角和）Z4+Z5+Z6=(Z1+Z2+Z3)X2

平角三角形內(nèi)角和=180°X2

我們再看一下第②種方法，誰愿意借著圖來說一說。=360°

Z4=Z1+Z2,Z5=Z2+Z3,N6=N1+N3是哪里來的？

前面推理出來的結(jié)論，就成了我們推理外角和360。的依據(jù)，

N4=N1+N2,Z5=Z2+Z3,N6=N1+N3,ZK

N2和/3的和分別用了幾次？生：前面推理出來的。

所以三角形外角和N4+/5+N6就等于180°X2=360°

四、課堂小結(jié)生：2次

同學(xué)們，今天我們以研究角為例子，讓大家經(jīng)歷了這么多次推

理，想一想，這些結(jié)論，我們是怎么推理出來的？

（指著板書）你說的這些都是在大圖形中畫輔助線，得到小圖

形，依據(jù)已知信息推出新的結(jié)論。

五、課后延伸。（探究四邊形外角和是多少度）

（出示課件）我們用不同的方法都有理有據(jù)地推理出三角形的

外角和為360。。請你想一想，四邊形的外角和會是多少度呢？請

有興趣的同學(xué)們課下進行研究。

課題：推理

1.進行課前測

原來，這樣的推理、證明只會在初中作為要求，本節(jié)課第一次將推理證明放到小學(xué)教材,

是人教版新教材增加的內(nèi)容。小學(xué)階段怎樣把握本節(jié)課的要求？我在課前對學(xué)生進行了前測,

前測的內(nèi)容是義務(wù)教育教科書人教版六年級下冊第六單元整理和復(fù)習(xí)第四部分數(shù)學(xué)思考的

例題4o

如圖：兩條直線相交于。點。你能推出/1=N3,N2=N4嗎？

2.對前測的分析

我選擇了六年級一班36名學(xué)生，讓學(xué)生想辦法證明對頂角相等，并且說明理由，結(jié)果

顯示：通過說理證明的學(xué)生有16人占44%；通過量、折等操作證明的學(xué)生有14人占39%,

無從下手的學(xué)生有6人占17版大多數(shù)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)對頂角相等。經(jīng)過學(xué)情調(diào)研，小學(xué)生完

全有能力進行推理證明。教材在二年級、四年級增加了推理的內(nèi)容，同事其他知識的教學(xué)中

也十分重視結(jié)論的得出過程。比如運算定律、運算性質(zhì)的得出，面積、體積公式的推導(dǎo)等,

這些知識的學(xué)習(xí)已經(jīng)為本節(jié)課的推理積累了豐富的活動經(jīng)驗。但是小學(xué)階段，進行完整的推

理，有一定難度，這是初中的要求。小學(xué)階段，讓學(xué)生經(jīng)歷過程，讓學(xué)生從已有的現(xiàn)象、命

題出發(fā)提出猜想、作出判斷、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、試圖證明、獲得結(jié)論的過程。其次，關(guān)注表達，課

程標準對第二學(xué)段的學(xué)生有這樣的要求：“能進行有條理的思考，能比較傾斜的表達自己的

思考過程和結(jié)果課件，對于推理能力，我們要求的不僅是內(nèi)在的，隱性的過程，也要求

將內(nèi)隱的過程內(nèi)化，轉(zhuǎn)化成外在的現(xiàn)行的推理表達。

3.確定教學(xué)難點

(1)基于以上分析，我確定了本節(jié)課的教學(xué)難點：①經(jīng)歷根據(jù)已知信息利用性質(zhì)、定

理等證明結(jié)論的過程，在交流討論中學(xué)會有理有據(jù)地表達，從而發(fā)展學(xué)生的推理能力。②

嘗試利用已經(jīng)獲得的信息，推理出新的結(jié)論，體驗方法多樣性。

(2)小組合作學(xué)習(xí)中，觀察、操作、體驗，結(jié)合多媒體課件和智慧教室軟件的使用，

突破本節(jié)課的難點。

課題：推理

1.與前測進行比較

(1)課前測：六年級一班36名學(xué)生參加課前測，讓學(xué)生想辦法證明對頂角相等，并且

說明理由，結(jié)果：通過說理證明的學(xué)生有16人占44版通過量、折等操作證明的學(xué)生有14

人占39%,無從下手的學(xué)生有6人占17%；大多數(shù)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)對頂角相等。

(2)課后測：上完推理這節(jié)課，又對36名學(xué)生進行了課后測。第一小題，利用三角形

的內(nèi)角和是180度作為依據(jù)，運用演繹推理的三段論，即：“大圖形f小圖形4結(jié)論”

36人都知道四邊形的內(nèi)角和是360度，能夠通過說理證明的有35人占97%,其中有29人(81%)

畫出四邊形的一條對角線，將四邊形分成2個三角形，四邊形的內(nèi)角和等于2個三角形的內(nèi)

角和，就是180+180=360°,有6人(17%)將四邊形分成3個三角形，180X3-180=360°；

只有1人寫出了結(jié)果，沒有說明理由。第二小題，利用平角和四邊形內(nèi)角和作為依據(jù)，推理

出四邊形外角和是360°的有36人占100%。

2.補救措施

經(jīng)過分析，我認為課后要采取學(xué)生與學(xué)生互助的方式，讓學(xué)生有理有據(jù)的說一說四邊形

內(nèi)角和為什么是360。。讓學(xué)生掌握演繹推理，在比較中體會推理的過程。

課題：推理

回顧本節(jié)課，我認為主要體現(xiàn)了以下三個特點：

1.突顯核心目標發(fā)展推理能力

小學(xué)階段讓學(xué)生經(jīng)歷推理的過程，讓學(xué)生從己有的現(xiàn)象，命題出發(fā)，提出猜想，作出判

斷，發(fā)現(xiàn)規(guī)律試圖驗證，獲得結(jié)論的過程。但是，在小學(xué)階段進行完整的推理，有一定難度，

所以本節(jié)課注重讓學(xué)生“經(jīng)歷觀察、猜想、證明等過程，在比較中體會推理過程的嚴謹性”。

對于推理能力，我們要求的不僅是內(nèi)在的、隱形的過程，也要求講美音的思維過程外化，轉(zhuǎn)

化成外在的顯性的推理表達，繁瑣的證明過程，對小學(xué)生而言，要求過高，容易讓學(xué)生產(chǎn)生

畏懼感，所以我將目標確定為“經(jīng)歷根據(jù)已知信息利用性質(zhì)、定理等證明結(jié)論的過程，在交

流討論中學(xué)會有理有據(jù)地表達，從而發(fā)展學(xué)生的推理能力”。不要求學(xué)生寫出規(guī)范的證明過

程。

2.材料組織精致能力逐級遞升

以研究“三角形的內(nèi)角和”為例子，學(xué)生將已經(jīng)證明的結(jié)論作為下一個結(jié)論的推理依據(jù)。

以研究“角”為主線，主題貫穿，承接自然，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進，每個材料圍繞課時目標,

各自具有不同的功能。

3.任務(wù)目標彈性關(guān)注學(xué)生差異發(fā)展

對于數(shù)學(xué)學(xué)思考來說，學(xué)生差異更為明顯。首先，允許差異的存在。面向全體，關(guān)注差

異的矢落，嘗試在先，每個推導(dǎo)過程都是讓學(xué)生先獨立思考、嘗試，再交流討論，這樣保證

了全體學(xué)生的參與率。也允許學(xué)生借助至關(guān)，口頭推理；有的學(xué)生會推理，但不嚴密；有的

學(xué)生推理得很精彩，理由充分，邏輯嚴密，推理方法準確，推理路徑流暢，不同的孩子得到

了不同的發(fā)展。

由于本節(jié)課是人教版新加的內(nèi)容，并且在蘇教版和北師大版教材中都沒有這節(jié)課內(nèi)容，

三角形內(nèi)角和的證明在第三學(xué)段（八年級上冊）里讓學(xué)生學(xué)會證明。對于小學(xué)六年級學(xué)生來

說，本節(jié)課教學(xué)目標的界定以及對于教材的把握等方面存在著很多拿不準的問題，敬請同行

及專家提出寶貴意見。

課題：推理

我對本節(jié)課的解讀：

1.本節(jié)課內(nèi)容在小徐階段的地位和作用。

本節(jié)課是義務(wù)教育教科書人教版六年級下冊第六單元整理和復(fù)習(xí)第四部分數(shù)學(xué)思考的

例題4?！稊?shù)學(xué)課程標準（2011年版）》指出“推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和

生活中經(jīng)常使用的思維方式?！钡诙W(xué)段的目標：“在參與觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，

發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清晰地表達自己的思考過程與結(jié)果?！崩?/p>

題4是一道證明“對頂角相等”的題目，讓學(xué)生初步感受運用一些“公理”（如等式的性質(zhì)）

進行一些數(shù)學(xué)推理。教材呈現(xiàn)一些啟發(fā)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷并理解推理的過程。

2.本節(jié)課的素材分析。

原來，這樣的推理、證明只會在初中作為要求，本節(jié)課第一次將推理證明放到小學(xué)教材，

是人教版新教材增加的內(nèi)容，蘇教版和北師大版教材都沒有此內(nèi)容。我采用驗證三角形內(nèi)角

和是180度為例題例題，練習(xí)選取了課本第102的例4、練習(xí)中的第10題、驗證三角形外

角和。最后拓展四邊形外角和課下進行研究。選取素材是為了式教學(xué)更具有主題性，環(huán)節(jié)更

流暢，以研究“角”來貫穿，學(xué)生將已經(jīng)證明的結(jié)論作為下一個結(jié)論的推理依據(jù)。以“角”

的研究為主線，主題貫穿，承接自然，環(huán)環(huán)相扣，層層遞進，每個材料圍繞課時目標，各自

具有不同的功能。材料一，用推理的方法驗證三角形內(nèi)角和是180度，滲透演繹推理的三段

論，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、證明等過程，在比較中體會推理過程的嚴