小學(xué)奧數(shù)教程-約數(shù)與倍數(shù)教師手冊

5-4-3.約數(shù)與倍數(shù)(三)

尊弟目強(qiáng)

1.本講主要對課本中的：約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。

2.本講核心目標(biāo)：讓孩子對數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個深入的認(rèn)識，

例如:(1)約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的內(nèi)在關(guān)系；

(2)整數(shù)唯一分解定理：讓學(xué)生自己初步領(lǐng)悟“任何一個數(shù)字都可以表示為△☆的結(jié)構(gòu)，

而且表達(dá)形式唯一”

一、約數(shù)、公約數(shù)與最大公約數(shù)概念

(1)約數(shù):在正整數(shù)范圍內(nèi)約數(shù)又叫因數(shù)，整數(shù)a能被整數(shù)。整除，a叫做。的倍數(shù)，。就叫做a的約數(shù)；

(2)公約數(shù):如果一個整數(shù)同時是幾個整數(shù)的約數(shù)，稱這個整數(shù)為它們的“公約數(shù)”；

(3)最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的一個就是最大公約數(shù)；

(4)0被排除在約數(shù)與倍數(shù)之外

1.求最大公約數(shù)的方法

①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來.

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,所以(231,252)=3x7=21；

2|1812

②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘.例如：3[9_6,所以(12/8)=2*3=6；

32

③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù).用轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)相

除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)，得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除

小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐次用后一個余數(shù)去除前

一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止.那么，最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù).(如果最后的除數(shù)是1,那么原

來的兩個數(shù)是互質(zhì)的).

例如，求600和1515的最大公約數(shù)：1515+600=2…315；600+315=1…285；315+285=1…30；

285+30=9…15;30+15=2-0;所以1515和600的最大公約數(shù)是15.

2.最大公約數(shù)的性質(zhì)

①幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)；

②幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；

③幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)〃，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以“.

3.求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)

先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a;求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最

大公約數(shù)b;2即為所求.

a

4.約數(shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系

(1)約數(shù)是對一個數(shù)說的；

(2)公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，最大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)

二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)

(1)倍數(shù):一個整數(shù)能夠被另一整數(shù)整除，這個整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)

(2)公倍數(shù):在兩個或兩個以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，那么這些倍數(shù)就叫做它們的公倍數(shù)

(3)最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的那個稱為這些正整數(shù)的最小公倍數(shù)。

1.求最小公倍數(shù)的方法

①分解質(zhì)因數(shù)的方法；

例如：231=3x7x11,252=22X32X7,pffU[231,252]=22x32x7x11=2772;

②短除法求最小公倍數(shù)；

2|1812

例如：3|96,所以[18,12]=2*3、3、2=36;

32

,axb

③3r,切=二不■

(a,b)

2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)

①兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).

②兩個互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積.

③兩個數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù).

3.求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟

先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)“；求出各個分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)人；3即

為所求?例如槨江搗蘭

Fl1LM4

注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù),例如:=

|_23j(2,3)

4.倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系

(1)倍數(shù)是對一個數(shù)說的；

(2)最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)

三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)

1.兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。

如果用為A、B的最大公約數(shù)，且A=sa,B=mb，那么a、6互質(zhì)，所以A、8的最小公倍數(shù)為〃a76,

所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：

M|AB

ab

①AxBumaxmbumxmab,即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積；

②最大公約數(shù)是A、B、A+B,A-3及最小公倍數(shù)的約數(shù).

2.兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

即(a,b)x[a,勿=axb,此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。

3.對于任意3個連續(xù)的自然數(shù)，如果三個連續(xù)數(shù)的奇偶性為

a)奇偶奇，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)的最小公倍數(shù)

例如:5x6x7=210,210就是567的最小公倍數(shù)

功偶奇偶，那么這三個數(shù)的乘積等于這三個數(shù)最小公倍數(shù)的2倍

例如：6x7x8=336,而6,7,8的最小公倍數(shù)為336+2=168

性質(zhì)(3)不是一個常見考點(diǎn)，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾

個數(shù)最小公倍數(shù)一定不會比他們的乘積大”。

四、求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和

1.求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù)

一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))力口1后所得的乘積。

如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為23、52乂7,所以它的約數(shù)有(3+1)x(2+1)X(1+1)=4X3X2=24個。(包括1

和1400本身)

約數(shù)個數(shù)的計算公式是本講的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)過程是建立在開篇講過

的數(shù)字“唯一分解定理”形式基礎(chǔ)之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來的，不是很復(fù)雜建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。

難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數(shù)有多少

個約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個條件將原數(shù)“還原構(gòu)造”出來，或者是“構(gòu)造出可能的最值”。

2.求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和

一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最

高次幕求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。

如：2I000=23X3X53X7,所以21000所有約數(shù)的和為

(1+2+22+2')(1+3)(1+5+52+53)(1+7)=74880

此公式?jīng)]有第一個公式常用，推導(dǎo)過程相對復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)律性的記

憶即可。

模塊一、運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題

如果，"為A、8的最大公約數(shù)，根據(jù)模型知道：

M|AB

ab

(1)且A=ma,B=mb

(2)那么a、?；ベ|(zhì)

(3)所以A、8的最大公約數(shù)為機(jī)，最小公倍數(shù)為,加出

(4)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的成績?yōu)锳與3的成績

【例11甲數(shù)是36,甲、乙兩數(shù)最大公約數(shù)是4,最小公倍數(shù)是288,那么乙數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】2星【題型】解答

【解析】法1:根據(jù)兩個自然數(shù)的積=兩數(shù)的最大公約數(shù)x兩數(shù)的最小公倍數(shù)，有：甲數(shù)x乙數(shù)=4x288，所

以,乙數(shù)=4x288+36=32；

法2：因為甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)為4,則甲數(shù)=4*9,設(shè)乙數(shù)=4x6,貝IJS,9)=1.因為甲、乙

兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288,貝I]288=4x9x0,得b=8.所以,乙數(shù)=4x8=32.

【答案】32

【鞏固】已知A8兩數(shù)的最小公倍數(shù)是180,最大公約數(shù)是30,若4=90,則8=。

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】2星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，二試，第5題，5分

【解析】根據(jù)最小公倍數(shù)x最大公約數(shù)=,知道，8=18()x30+90=60

【答案】60

【例2】已知兩個自然數(shù)的積為240,最小公倍數(shù)為60,求這兩個數(shù).

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于兩個自然數(shù)的積=兩數(shù)的最大公約數(shù)x兩數(shù)的最小公倍數(shù)，可以得到，最大公約數(shù)是240+60=4,

設(shè)這兩個數(shù)分別為4“、4b，那么3力=1,且=毛，所以“和6可以取1和15或3和

5，所以這兩個數(shù)是4和60或12和20.

【答案】這兩個數(shù)是4和60或12和20

【例3]兩個自然數(shù)的和是50,它們的最大公約數(shù)是5,試求這兩個數(shù)的差.

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)這兩個自然數(shù)為：5。、5b,其中a與〃互質(zhì)，5a+56=50,a+b=\0,經(jīng)檢驗，容易得到兩組符

合條件的數(shù)：9與1或者7與3.于是，所要求的兩個自然數(shù)也有兩組：45與5,35與15.它們的

差分別是：45-5=40,35-15=20.所以，所求這兩個數(shù)的差是40或者20.

【答案】這兩個數(shù)的差是40或者20

【鞏固】兩個自然數(shù)的和是125,它們的最大公約數(shù)是25,試求這兩個數(shù).

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】3星【題型】解答

【解析】125+25=5,5=1+4=2+3,兩數(shù)可以為25、100或者50、75.

【答案】兩數(shù)可以為25、100或者50、75

［例4］已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21,最小公倍數(shù)是126,求這兩個數(shù)的和是多少？

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】3星【題型】解答

【解析】假設(shè)這兩個數(shù)是21a和2必,易得21xax0=126,所以axb=6,由a和b互質(zhì)，那么就有

6=1x6=2x3兩種情況.所以甲、乙是：21x1=21,21x6=126或21x2=42,21x3=63兩種情

況.它們的和是147或105.

【答案】和是147或105

【鞏固】已知兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)為4,最小公倍數(shù)為120,求這兩個數(shù).

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】3星【題型】解答

【解析】這兩個數(shù)分別除以最大公約數(shù)所得的商的乘積等于最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)的商，120+4=30,

將30分解成兩個互質(zhì)的數(shù)之積：1和30,2和15,3和10,5和6,所以這兩個數(shù)為4與120,或

8與60,或12與40,或20與24.

【答案】兩個數(shù)為4與120,或8與60,或12與40,或20與24

【例5】甲、乙兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是7,并且甲數(shù)除以乙數(shù)所得的商是乙數(shù)是.

8

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】2星【題型】填空

【解析】由(甲,乙)=7,且甲：乙=9:8,由于8與9互質(zhì)，所以乙數(shù)=8x7=56.

【答案】56

［例6］已知正整數(shù)a、。之差為120,它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍，那么a、，中較大的

數(shù)是多少？

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】解答

［解析】設(shè)，有a=6+l20,又設(shè)(a,b)=d,a=pd,b=qd,(p,q)=l，且p>q，則［a,b\=pqd,有

pqd=l05d，所以pq=105=3x5x7.因為=(p-q)d=120，所以(p-q)是120的約數(shù).

①若/?=105,q=l，則p-q=104,不符合；

②若p=35"=3,則p-q=32,不符合；

③若p=2l,q=5，則p-q=\6,不符合；

④若p=15,q=7,則p-q=8,符合條件.

由(p—q)d=8d=120，得4=15，從而a、。中較大的數(shù)〃=4/=15*15=225.

【答案】225

［例7］已知兩個自然數(shù)的和為54,它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差為114,求這兩個自然數(shù).

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】解答

【解析】設(shè)這兩個自然數(shù)分別是，迎、，泌，其中“為它們的最大公約數(shù)，〃與b互質(zhì)(不妨設(shè)。4〃)，根據(jù)題

意有：

fmb+ma=m[a+方)=54

[mab-m=m(ab-1)=114

所以可以得到加是54和114的公約數(shù)，所以是(54,114)=6的約數(shù).m=1,2,3或6.

如果機(jī)=1,由初*(“+6)=54,有0+3=54；又由mx(“b-l)=l14,有而=115.

115=1x115=5x23,但是1+115=116/54,5+23=28^54,所以mxl.

如果〃z=2,由7??x(a+i>)=54,有a+b=27；又由，"x(ab-l)=114,有必=58.

58=1x58=2x29，但是1+58=59工27,2+29=31*27,所以6片2.

如果，〃=3,由，〃x(a+%)=54,有a+匕=18;又由/wx(“力-1)=114,有而=39.

39=1x39=3x13，但是1+39=40/18,3+13-16^18,所以加工3.

如果機(jī)=6,由%x(a+A)=54,Wa+b-9;又由機(jī)x(ab-l)=l14,有ab=20.

20表示成兩個互質(zhì)的數(shù)的乘積有兩種形式：20=lx20=4x5，雖然1+20=21*9但是有4+5=9,

所以取加=6是合適的，此時〃=4,b=5,這兩個數(shù)分別為24和30.

【答案】兩個數(shù)分別為24和30

[例8]有兩個自然數(shù)，它們的和等于297,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和等于693,這兩個自然數(shù)

的差是.

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】填空

【解析】兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是它們的和的約數(shù)，也是它們的最小公倍數(shù)的約數(shù)，所以是它們的最大公

約數(shù)與最小公倍數(shù)的和的約數(shù)，也就是297和693的公約數(shù)，也就是(297,693)=99的約數(shù).99的

約數(shù)共有6個，此時可以逐一分情況進(jìn)行討論，但較繁瑣.

設(shè)這兩個數(shù)分別為ad和川,其中(氏6)=1,a<h,”是它們的最大公約數(shù).那么

(a+6)d=297,d+aZ;d=(a6+l)d=693，相比得

+1=,所以3而+3=7a+76,即9而-21a-216+9=0,可得

a+b2973

(3a-7)(36-7)=40.

由于(3a-7)和(3萬-7)都是40的約數(shù)且除以3余2,只能為

驍日或啃工〉可得"=3-a=4

或

b=9[6=5

P=3不符合，所以只能為,此時

由于(a+6”=297,所以(a+b)是297的約數(shù)，

[0=9[0=5

d=297+(4+]=3,這兩個數(shù)的差為M-aJ=e-a)d=33.

【答案】33

[例9]已知自然數(shù)為、8滿足以下2個性質(zhì):(1)A8不互質(zhì);(2)A8的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之

和為35。那么4+8的最小值是多少？

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】解答

【解析】設(shè)(A,B)=M,那么A==,其中a力分別表示的獨(dú)有因數(shù)。那么=，即有

(A,B)+[A,B]=M+Mab=M(\+ah')=35,因為4,8不互質(zhì)，所以,而根據(jù)上面的式子M是

35的因數(shù)，所以例只可能為5或7.

1）當(dāng)M=5時，心6,此時有卜=1,卜=2

[b=6[b=3

A+8=M（〃+/?）=5x（l+6）=35,或A+8=+b）=5x（2+3）=25

2）當(dāng)例=7時，a/m,此時有（舍）因為（。））=1

A+B=A/（a+Z?）=7x（l+4）=35,或A+8=M（a+b）=7x（2+2）=28（舍）

所以4+8的最小值是25。

【答案】25

【例10】兩個整數(shù)4、B的最大公約數(shù)是C,最小公倍數(shù)是。，并且已知C不等于1,也不等于力或8,

O￡>187,那么4+8等于多少？

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】解答

【解析】最大公約數(shù)C,當(dāng)然是。最小公倍數(shù)的約數(shù)，因此。是187的約數(shù)，187=11x17,C不等于1，只

能是O11或者017.如果O11,那么^=187-11=176,力和8都是176的約數(shù)，4和8不能是

11，只能是22,44,88,176這四個數(shù)中的兩個，但是這四個數(shù)中任何兩個數(shù)的最大公約數(shù)都不是

11,由此得出C不能是11.現(xiàn)在考慮017,那么0=187-17=170,力和8是170的約數(shù)，又要是

17的倍數(shù)，有34,85,170三個數(shù)，其中只有34和85的最大公約數(shù)是17,因此，4和8分別是

34和85,4+成34+85=119.

【答案】119

【例11]若a,8,c是三個互不相等的大于。的自然數(shù)，且a+8+c=1155，則它們的最大公約數(shù)的最

大值為,最小公倍數(shù)的最小值為,最小公倍數(shù)的最大值

為.

【考點(diǎn)】運(yùn)用大公約和小公倍的模型解題【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第8題，10分

【解析】由于a+b+c=1155,而1155=3x5x7x11。令a=mp,b=mq,c=ms.m為a,b,c的最大公約數(shù)，

則必/s最小取7。此時/77=165.

為了使最小公倍數(shù)盡量小，應(yīng)使三個數(shù)的最大公約數(shù)。盡量大，并且使4,8,C的最小公倍數(shù)盡

量小，所以應(yīng)使。=165,4=1，故2,。=4,此時三個數(shù)分別為165,330,660,它們的最小公倍

數(shù)為660,所以最小公倍數(shù)的最小值為660o

為了使最小公倍數(shù)盡量小，應(yīng)使三個數(shù)兩兩互質(zhì)且乘積盡量大。當(dāng)三個數(shù)的和一定時，為了使它們

的乘積盡量大，應(yīng)使它們盡量接近。由于相鄰的自然數(shù)是互質(zhì)的，所以可以令1155=384+385+386,

但是在這種情況下384和386有公約數(shù)2,而當(dāng)1155=383+385+387時，三個數(shù)兩兩互質(zhì)，它們的

最小公倍數(shù)為383x385x387=57065085,即最小公倍數(shù)的最大值為57065085。

【答案】最大公約數(shù)的最大值為165,最小公倍數(shù)的最小值為660,最小公倍數(shù)的最大值為57065085

模塊二、約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和

【例12】2008的約數(shù)有（）個。

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】走美杯，四年級，初賽，第4題

【解析】因為2008=2x2x2x251,所以約數(shù)有(3+1)x(1+1)=8(個)

【答案】8個

【鞏固】2008006共有()個質(zhì)因數(shù)。

(4)4(3)5(6)6(07

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】3星【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第2題

【解析】因為2008006=2006x1000+2006=2006x1001=(2x17x59)x(7x11x13),共有6個。

【答案】6個

【鞏固】105的約數(shù)共有幾個？

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第3題

【解析】105=3x5x7,共有(1+1)x(1+1)x(1+1)=8個約數(shù)，即1,3,5,7,15,21,35,105。

【答案】8個

【鞏固】已知300=2x2x3x5x5,則300一共有個不同的約數(shù)。

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，5年級，初賽，第5題，6分

【解析】3/2x3=18個

【答案】18

【例13】筐中有60個蘋果，將它們?nèi)慷既〕鰜?，分成偶?shù)堆，使得每堆的個數(shù)相同。問：有多少種分法？

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第8題

【解析】方法一：偶數(shù)60的約數(shù)中，偶數(shù)有8個，即：2,4,6,10,12,20,30,60因此有8種分法.

方法二：偶數(shù)個約數(shù)，即60+2=30的所有約數(shù)，30=2x3x5,所以共有(l+l)x(l+l)x(l+l)=8個約

數(shù)。

【答案】8個約數(shù)

【例14】數(shù)360的約數(shù)有多少個?這些約數(shù)的和是多少？

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】3星【題型】解答

【解析】360分解質(zhì)因分360=2x2x2x3x3x5=23x32x5;360的約數(shù)可以且只能是2"x3〃x5。,(其中a,b,c均

是整數(shù)，且a為0~3,6為0~2,c為0~1).因為a、b、c的取值是相互獨(dú)立的，由計數(shù)問題的乘法原

理知,約數(shù)的個數(shù)為(3+1)X(2+1)X(1+1)=24.我們先只改動關(guān)于質(zhì)因數(shù)3的約數(shù)，可以是/J3,它們

的和為(1+3+32),所以所有360約數(shù)的和為(1+3+32)x2>‘x5"'；我們再來確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)2的約數(shù),

可以是1,2,22,23,它們的和為(1+2+22+23)所以所有360約數(shù)的和為(1+3+3?)x0+2+22+23;

最后確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)5的約數(shù)，可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和為(1+3+

32)X(1+2+22+23)X(1+5).于是,我們計算出值:13x15x6=1170.所以,360所有約數(shù)的和為1170.

【答案】約數(shù)有24個，和為1170

[例15]2008+a=6…6,a,6均為自然數(shù).。有種不同的取值.

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第8題

【解析】由2(X)8+。=/?…6可知，出?+6=2008,帥=2002。又因為2002=2x7x11x13,而且a>6,所以。

的取值有：3+C：+C：+1=14(種)

【答案】14

【鞏固】2010除以正整數(shù)N,余數(shù)是15,那么N的所有可能值的個數(shù)是o

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，1試，第5題

【解析】2010-15=1995,1995=3x5x7x19,1995的約數(shù)有16個，其中小于等于15的有5個，所以滿

足條件的/V有11個。

【答案】11

【例16】自然數(shù)/V有45個正約數(shù)。，的最小值為o

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，6年級，決賽，第5題，8分

【解析】由于45=45x1=15x3=9x5=5x3x3,根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，自然數(shù)/V可能分解成/工

asxb\a4xb2xc2等形式，在以上各種形式下，/V的最小值分別為2"、2,4x32.28x3\24x32x52,

比較這些數(shù)的大小，2^>2'4x32>28x34>24x32x52,所以最小值是2’x3?x5?=3600.

【答案】3600

【鞏固】自然數(shù)N有20個正約數(shù)，N的最小值為o

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第1題，8分

【解析】因為約數(shù)的個數(shù)是指數(shù)加1再相乘，所以先將20分解質(zhì)因數(shù)，20=20x1=10x2=5x4=5x2x2,

若想N最小：20=5x2x2,那么指數(shù)為4、1、1,經(jīng)試算，最小值為24x3x5=240。

【答案】240

【鞏固】恰有20個因數(shù)的最小自然數(shù)是(卜

(4)120(8)240(C)360(0)432

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】4星【題型】選擇

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第5題

【解析】8,20=20=2x10=4x5=2x2x5,四種情況下的最小自然數(shù)分別為：2也、29x3,24x3\24x3x5,

其中最小的是最后一個，為240o

【答案】B

【例17】設(shè)4共有9個不同的約數(shù)，8共有6個不同的約數(shù)，。共有8個不同的約數(shù)，這三個數(shù)中的任何

兩個都不整除，則這三個數(shù)之積的最小值是多少？

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】4星【題型】解答

【解析】本題考查對約數(shù)個數(shù)計算公式的靈活應(yīng)用

由公式的結(jié)果倒推，力有9個約數(shù)，那么符合公式的要求有，9=(2+1)(2+1)，或者9=(0+1)(8+1),

2

若要求力的值盡可能小，則力不可能為某個質(zhì)數(shù)的8次方的形式，那么說明/的形式為A=/xb

的形式，為最終滿足三個數(shù)的乘積最小的要求，那么力最小為4=22x3?，類似的可以知道3=ax/,

同時為滿足最小要求8=5x22。

C為8個約數(shù)情況可能有兩種，C=mxnxp、C=mx尸,其中當(dāng)C=3x2'，時數(shù)字最小，同時三個

數(shù)任意2個都不整除，所以此時三個數(shù)的乘積為20*24x36=17280

【答案】17280

【例18］在1到100中，恰好有6個約數(shù)的數(shù)有多少個？

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】4星【題型】解答

【解析】6=lx6=2x3，故6只能表示為(5+1)或(l+l)x(2+l)，所以恰好有6個約數(shù)的數(shù)要么能表示成某

個質(zhì)數(shù)的5次方，要么表示為某個質(zhì)數(shù)的平方再乘以另一個質(zhì)數(shù)，100以內(nèi)符合前者的只有32,符

合后者的數(shù)枚舉如下：

22X322X522X722XU22X1322X1722X1922X23……8個

32X232X532X732X11……4個

52X252X3……2個

72X2……1個

所以符合條件的自然數(shù)一共有1+8+4+2+1=16個.

【答案】16個

【鞏固】恰有8個約數(shù)的兩位數(shù)有_______個.

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】5星【題型】填空

【解析】根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，先將8進(jìn)行分解：8=lx8=2x4=2x2x2，所以恰有8個約數(shù)的數(shù)至多有3個

3

不同的質(zhì)因數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后的形式可能為A,，A'B,XHci.其中由于27=128>100，所以A,

形式的沒有符合條件的兩位數(shù)；4小形式中，8不能超過3,即可能為2或3,有2x33、3x2\

5x23、7x23vllx23，共5個；—形式的有2x3x5、2x3x7、2x3x11、2x3x13、2x5x7,

共5個.所以共有5+5=10個符合條件的數(shù).

【答案】10個

【鞏固】在三位數(shù)中，恰好有9個約數(shù)的數(shù)有多少個？

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】5星【題型】解答

【解析】由于9=lx9=3x3，根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，可知9個約數(shù)的數(shù)可以表示為一個質(zhì)數(shù)的8次方，或者兩

個不同質(zhì)數(shù)的平方的乘積，前者在三位數(shù)中只有28=256符合條件，后者中符合條件有22x5?=100、

22X72=196,2?x1『=484、22xl32=676,32x52=225.3?x7?=441,所以符合條件的有7個.

【答案】7個

【例19］能被2145整除且恰有2145個約數(shù)的數(shù)有個.

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】5星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，第6題

【解析】先將2145分解質(zhì)因數(shù)：2145=3x5x11x13,所以能被2145整除的數(shù)必定含有3,5,11,13這4

個質(zhì)因數(shù)；由于這樣的數(shù)恰有2145個約數(shù)，所以它至多只有4個質(zhì)因數(shù)，否則至少有5個質(zhì)因數(shù)，

根據(jù)約數(shù)個數(shù)的計算公式，則有5個大于1的整數(shù)的乘積等于2145,而2145只能分解成3,5,

11,13的乘積，矛盾.所以所求的數(shù)恰好只有3,5,11,13這4個質(zhì)因數(shù).

對于這樣的每一個數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)后3,5,11,13這4個因子的幕次都恰好是2=(3-1),4=(5-1),

10=(11-1),12=(13-1)的一個排列，所以共有4!=24種

【答案】24個

【鞏固】能被210整除且恰有210個約數(shù)的數(shù)有個.

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】4星【題型】填空

【解析】210=2x3x5x7,所以原數(shù)肯定含有2,3,5,7這四個質(zhì)因子，而且幕次一定按照某種順序是1,

2,4,6,可以任意排列，所以有4!=24個.

【答案】24個

【鞏固】1001的倍數(shù)中，共有個數(shù)恰有1001個約數(shù).

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】6星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校

【解析】1001的倍數(shù)可以表示為1(X)1%,由于l(X)l=7xlIxl3,如果4有不同于7,11,13的質(zhì)因數(shù)，那么

1001Z至少有4個質(zhì)因數(shù)，將其分解質(zhì)因數(shù)后，根據(jù)數(shù)的約數(shù)個數(shù)的計算公式，其約數(shù)的個數(shù)為

(q+1)(%+1)(為+1)(%+1)…+1)，其中.如果這個數(shù)恰有1001個約數(shù)，則

(4+1)(%+弘%+X/卅?(“a”=100土X，但是1001不能分解成4個大于1的數(shù)的

乘積，所以“24時不合題意，即4不能有不同于7,11,13的質(zhì)因數(shù).那么1001k只有7,11,13

這3個質(zhì)因數(shù).設(shè)1001A=7"xl代xl3°,則(4+1)e+1乂。U)<D1,a+1、8+1、c+1分別為7,

11,13,共有3!=6種選擇，每種選擇對應(yīng)一個100M,所以1001的倍數(shù)中共有6個數(shù)恰有1001

個約數(shù).

【答案】6個

【鞏固】如果一個自然數(shù)的2004倍恰有2004個約數(shù)，這個自然數(shù)自己最少有多少個約數(shù)？

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】6星【題型】解答

【解析】設(shè)這個自然數(shù)是。，2004=22X3X167，將〃分解質(zhì)因數(shù)，設(shè)a=2"x3>,x167、xapg，其中

x,y,z可以是0或正整數(shù)，其余的系數(shù)都是正整數(shù)，則這個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)

A=(x+l)(y+l)(z+1)(可+1)(4>2+1)…S"+1)"

因為這個自然數(shù)的2004倍恰有2004個約數(shù)，所以

2

(x+3)(y+2)(z+2)(仿+I)(b2+!)???(/>?+1)=2004=2x3xl67.

—ryB2004(x+3)(y+2)(z+2)x+3y+2z+2

A(九+l)(y+l)(z+l)x+1y+\z+1'

要想使A最小，需要使9%匕2'出最大，

x+\y+1z+1

而x+32xy+2yz+2z

x+1x+1y+\y+1z+1z+1

所以剪f43x2x2=12,得到AN167.

A

要想使等號成立，必須x=y=z=O,n=\,4=166,即此數(shù)為一個不是2,3,167的質(zhì)數(shù)的166

次方，此時這個數(shù)的約數(shù)有167個.故這個自然數(shù)最少有167個約數(shù).

【答案】167個

【例201已知偶數(shù)為不是4的整數(shù)倍，它的約數(shù)的個數(shù)為12,求44的約數(shù)的個數(shù).

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】4星【題型】解答

【解析】由于力是偶數(shù)但不是4的倍數(shù)，所以4只含有1個因子2,可將力分解成4=2以8,其中8是奇

數(shù)，根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式，它的約數(shù)的個數(shù)為(l+l)x2V=12(其中N為B的約數(shù)個數(shù))，則

4A=88=2?xB,它的約數(shù)個數(shù)為(1+3)*'=24個.

【答案】24個

【例21】已知機(jī)、”兩個數(shù)都是只含質(zhì)因數(shù)3和5,它們的最大公約數(shù)是75,已知機(jī)有12個約數(shù)，〃有10

個約數(shù)，求”與〃的和.

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】4星【題型】解答

【解析】因為75=3x5?，如果設(shè)加=3，'x5'，，〃=3"x5>',那么/?、x中較小的數(shù)是1應(yīng)、)，中較小的數(shù)是2.由

于一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)等于它分解質(zhì)因數(shù)后每個質(zhì)因數(shù)的次數(shù)加1的乘積所以(p+l)x(q+l)=12,

(x+l)x(y+1)=10.又22&至4<,10=2x5，由于y22，所以y+123，那么y+l=5,x+l=2,

得至lJx=1,y=4.那么q=2，得至Up=3，所以^=3?x5?=675,??=3x54=1875,m+n=255Q.

【答案】2550

【例22］已知4數(shù)有7個約數(shù)，8數(shù)有12個約數(shù)，且48的最小公倍數(shù)［4,8］=1728，則B=.

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】101中學(xué)

【解析】1728=26X33,由于力數(shù)有7個約數(shù)，而7為質(zhì)數(shù)，所以/為某個質(zhì)數(shù)的6次方，由于1728只有

2和3這兩個質(zhì)因數(shù)，如果4為36,那么1728不是力的倍數(shù)，不符題意，所以4=26,那么3?為

8的約數(shù)，設(shè)B=2"X33,則(k+l)x(3+l)=12，得左=2,所以B=2?x33=108.

【答案】108

【例23】一個自然數(shù)恰好有18個約數(shù)，那么它最多有個約數(shù)的個位是3.

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第14題

【解析】18=2x32,根據(jù)求一個數(shù)約數(shù)個數(shù)公式知，不同的質(zhì)因數(shù)可能有一至三個。但是如果個位是3的約

-----1—K

數(shù)盡可能多，可以構(gòu)造出：N=a3xhi,即一個質(zhì)因數(shù)的個位是3,這個質(zhì)因數(shù)只有1次方，另一

個質(zhì)因數(shù)的個位是1,這個質(zhì)因數(shù)有8次方。這樣得到的不同的個位是3的約數(shù)有

dixb\\a3xbl~~a3xbl~bl...tz3x共有9個。

【答案】9

【例24】一個分子是1的分?jǐn)?shù)，化成小數(shù)后是一個混循環(huán)小數(shù)，且循環(huán)節(jié)為兩位，不循環(huán)也有兩位，那么這

種分?jǐn)?shù)共有多少個？

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】6星【題型】解答

【解析】假設(shè)該混循環(huán)小數(shù)是。阪d="cd=994+cd那么其中稱二。u,22,33,44,55,66,

99009900

77,88,99,且b*d，所以99%+7不是11和10的倍數(shù).令7=x,=y，則

-=O.abcd=ahcd-ah=2112，那么（99x+y）“=9900，而所以（99x+y）是9900的約數(shù)，且不是

11和1（）的倍數(shù).99（X）的約數(shù)中11的倍數(shù)有9900=Sx字x4xl,99（X）的約數(shù)中11的倍數(shù)有

3x3x3=27（個），10的倍數(shù)有2x3x2x2=24（個），即是11也是10的倍數(shù)有12個，顯然對任意

值，工和、都有99以內(nèi)的符合條件自然數(shù)解所以符合條件的解有3*3x3x2-（27+24—12）=15（個）,

對應(yīng)的〃也有15個，即這樣的分?jǐn)?shù)有15個.

【答案】15個

【例25]±2,2,...,些中，共有一_個最簡分?jǐn)?shù)。

89102009----

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，第5題

【解析】由于分子和分母相差7,所以當(dāng)分子是7的倍數(shù)時，該分?jǐn)?shù)就不是最簡分?jǐn)?shù),1到2002中7的倍數(shù)

的數(shù)共有286個，故最簡分?jǐn)?shù)有2002-286=1716個。

【答案】1716個

【例26】設(shè)〃，。，c是0~9的數(shù)字（允許相同）,將循環(huán)小數(shù)0.必C化成最簡分?jǐn)?shù)后，分子有種

不同情況.

【考點(diǎn)】約數(shù)的個數(shù)與約數(shù)的和【難度】6星【題型】填空

【解析】0.4/=也，顯然只要詼與999互質(zhì)，就構(gòu)成了最簡分?jǐn)?shù)，所以最簡分?jǐn)?shù)的分子可以是所有小于

999

999且與999互質(zhì)的數(shù)，這樣的數(shù)一共有999-（膽+膽-坐-1=648（個）.如果嬴:與999不