壽險(xiǎn)精算學(xué)（第3版）課件：責(zé)任準(zhǔn)備金

責(zé)任準(zhǔn)備金

Resurve責(zé)任準(zhǔn)備金的重要意義責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)管理的基本工具責(zé)任準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)監(jiān)管的核心監(jiān)管保險(xiǎn)公司償付能力的基本資金要求責(zé)任準(zhǔn)備金是壽險(xiǎn)公司最為重要的負(fù)債，一般占所有負(fù)債的80％到90％，和總資產(chǎn)的比例也可能超過80％。壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)的長(zhǎng)期性和不確定性要求保險(xiǎn)公司為未來的給付責(zé)任積累起足夠的資產(chǎn)，所以壽險(xiǎn)公司資產(chǎn)負(fù)債評(píng)估是保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和監(jiān)管部門對(duì)保險(xiǎn)公司償付能力監(jiān)管的核心，其中負(fù)債部分就是保險(xiǎn)公司所有責(zé)任準(zhǔn)備金之和責(zé)任準(zhǔn)備金是確定保險(xiǎn)公司利潤(rùn)（或損失）的工具概述保險(xiǎn)產(chǎn)品是一種特殊的信用商品。通常被保險(xiǎn)人預(yù)先繳納保費(fèi),保險(xiǎn)人后來履行風(fēng)險(xiǎn)賠付責(zé)任,這意味著對(duì)于一個(gè)保險(xiǎn)產(chǎn)品而言,在保障期內(nèi)并不是任意時(shí)刻都錢貨兩訖、收支平衡。對(duì)于保險(xiǎn)人而言,通常保障前期收入大于支出,保障后期支出大于收入。為了將來有足夠的資金覆蓋賠付支出,保險(xiǎn)人不能把前期收到的保費(fèi)都用掉,必須留下足夠多的保費(fèi)收入用以支付將來的風(fēng)險(xiǎn)賠付。這筆預(yù)留的經(jīng)費(fèi)就屬于責(zé)任準(zhǔn)備金的范疇。責(zé)任準(zhǔn)備金的測(cè)算是壽險(xiǎn)精算學(xué)中一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容,它直接關(guān)系到被保險(xiǎn)人的利益、保險(xiǎn)公司的誠(chéng)信和整個(gè)保險(xiǎn)業(yè)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)秩序。它是保險(xiǎn)公司內(nèi)部最重要的管理內(nèi)容,也是監(jiān)管者最核心的監(jiān)管指標(biāo)。兩個(gè)重要概念辨析責(zé)任準(zhǔn)備金（reserve）保險(xiǎn)公司對(duì)每個(gè)仍然在保障范圍內(nèi)的被保險(xiǎn)人應(yīng)準(zhǔn)備的資金，以補(bǔ)充將來的賠付支出與保費(fèi)收入的缺口保單價(jià)值（policyvalue）每張保單里應(yīng)該歸屬于被保險(xiǎn)人的資金，它由責(zé)任準(zhǔn)備金、投資收益（也可能是虧損）、保單貸款等項(xiàng)目余額構(gòu)成。如果保險(xiǎn)產(chǎn)品不帶投資、分紅、貸款等功能，就是只覆蓋風(fēng)險(xiǎn)的傳統(tǒng)保單，那保單價(jià)值就是責(zé)任準(zhǔn)備金本章結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的定義2.責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因1.責(zé)任準(zhǔn)備金的評(píng)估假定3.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法4.責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式5.分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算6.年度利潤(rùn)7.修正責(zé)任準(zhǔn)備金8.例6.1假設(shè)保險(xiǎn)公司發(fā)行了一張3年定期保單,死亡年末給付10000元,年實(shí)質(zhì)利率5%,假設(shè)有100個(gè)

x歲的人投保,這群人的未來壽命分布如下表所示（1）根據(jù)凈均衡原理,厘定躉繳凈保費(fèi)和3年期均衡凈保費(fèi)；（2）在躉繳凈保費(fèi)場(chǎng)合，分析各年資金流動(dòng)的狀況；（3）在凈均衡凈保費(fèi)場(chǎng)合，分析各年資金流動(dòng)的狀況。例6.1解（1）躉繳凈保費(fèi)計(jì)算

均衡凈保費(fèi)計(jì)算例6.1解躉繳保費(fèi)場(chǎng)合資金流分析通過這個(gè)資金流分析,可以很清楚地知道在躉繳凈保費(fèi)場(chǎng)合,保險(xiǎn)是一種先收保費(fèi)后履行賠付義務(wù)的特殊商品。被保險(xiǎn)人在保單發(fā)行日一次性繳納了所有的保費(fèi),未來各年對(duì)于保險(xiǎn)人而言就只有責(zé)任而不再有保費(fèi)收入了。為了有效地履行對(duì)被保險(xiǎn)人的保障承諾,保險(xiǎn)人需要在第1年年末,為每一位仍然存活的被保險(xiǎn)人預(yù)留2434.658元;在第2年年末,為每一位仍然存活的被保險(xiǎn)人預(yù)留1680.672元;第3年年末所有責(zé)任履行完畢,不需要預(yù)留費(fèi)用。例6.1解凈均衡保費(fèi)場(chǎng)合資金流分析通過這個(gè)資金流分析，可以很清楚地知道即使是在凈均衡保費(fèi)場(chǎng)合，當(dāng)期支付的保費(fèi)也并不等于當(dāng)期的賠付支出。這是由于死亡事故并不是每年均衡發(fā)生的，由于人類的生存規(guī)律，死亡概率通常呈現(xiàn)出隨剩余壽命遞增的趨勢(shì)，所以在凈均衡保費(fèi)場(chǎng)合，依然是前期保費(fèi)收入多于賠付支出，后期保費(fèi)收入少于賠付支出?；谶@種情況，保險(xiǎn)公司依然要嚴(yán)格管理前期的剩余保費(fèi)，用前期的基金余額填補(bǔ)以后各年的收支缺口。責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因0t未來責(zé)任未來收入w未來責(zé)任未來收入差值責(zé)任準(zhǔn)備金在公平原則下，以保單發(fā)行日為參照點(diǎn)，保險(xiǎn)公司的未來保費(fèi)收入精算現(xiàn)值和未來支出的精算現(xiàn)值相等。但除了保單發(fā)行日以外，以保障期內(nèi)任意某個(gè)時(shí)刻為參照點(diǎn)，未來收支的精算現(xiàn)值都有可能不平衡，通常未來賠付責(zé)任要比未來保費(fèi)收入的精算現(xiàn)值大，這種收支缺口就是責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因。本章結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的定義2.責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因1.責(zé)任準(zhǔn)備金的評(píng)估假定3.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法4.責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式5.分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算6.年度利潤(rùn)7.修正責(zé)任準(zhǔn)備金8.責(zé)任準(zhǔn)備金的定義在保障期內(nèi)的任意時(shí)刻t,對(duì)每個(gè)仍在保障范圍內(nèi)的被保險(xiǎn)人,保險(xiǎn)人未來支出與未來收入的現(xiàn)值之差的期望,稱為t時(shí)刻責(zé)任準(zhǔn)備金(reserve)。我們把時(shí)刻t保險(xiǎn)人未來支出與未來收入的現(xiàn)值之差稱為保險(xiǎn)人在時(shí)刻t的前瞻損失(prospectiveloss),記作Lt:

責(zé)任準(zhǔn)備金即為前瞻損失函數(shù)的期望,記作:責(zé)任準(zhǔn)備金分類凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金

：未來凈風(fēng)險(xiǎn)賠付支出和凈保費(fèi)收入之差的期望毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金

：未來總支出(含賠付支出和費(fèi)用支出)和毛保費(fèi)收入之差的期望本章結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的定義2.責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因1.責(zé)任準(zhǔn)備金的評(píng)估假定3.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法4.責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式5.分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算6.年度利潤(rùn)7.修正責(zé)任準(zhǔn)備金8.定價(jià)假定和評(píng)估假定定價(jià)假定我們?cè)谶M(jìn)行保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)時(shí),需要對(duì)預(yù)定利率、費(fèi)用率、死亡率等風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)進(jìn)行估計(jì),這些在定價(jià)時(shí)假定的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)值稱為定價(jià)假定評(píng)估假定現(xiàn)在我們要計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金,也需要對(duì)未來的死亡率、費(fèi)用率、投資收益率等風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)進(jìn)行假定。這些在計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金時(shí)使用的風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)稱為評(píng)估假定。評(píng)估假定和定價(jià)假定可能相同,也可能不同。如果定價(jià)時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境和責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境差別不大,那評(píng)估假定可能直接使用定價(jià)假定。但是有些壽險(xiǎn)產(chǎn)品的保障期很長(zhǎng),在長(zhǎng)期的社會(huì)發(fā)展過程中,可能風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境已經(jīng)發(fā)生了很大的變化。這時(shí)評(píng)估假定和定價(jià)假定可能會(huì)有很大差異。評(píng)估假定如何設(shè)置在計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金時(shí),首先需要根據(jù)當(dāng)時(shí)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況和對(duì)未來風(fēng)險(xiǎn)的綜合評(píng)估,給出隨時(shí)間和宏觀環(huán)境變化的評(píng)估假定。評(píng)估假定對(duì)準(zhǔn)確測(cè)算保險(xiǎn)人的負(fù)債水平,保護(hù)被保險(xiǎn)人的利益,維護(hù)保險(xiǎn)業(yè)安全平穩(wěn)運(yùn)行至關(guān)重要?；谶@種重要性,我國(guó)保險(xiǎn)行業(yè)協(xié)會(huì)通常會(huì)組成專家咨詢委員會(huì),在社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)環(huán)境發(fā)生變化時(shí),給出評(píng)估假定的調(diào)整意見。銀保監(jiān)會(huì)也會(huì)出臺(tái)相關(guān)政策,對(duì)重要的評(píng)估假定做出規(guī)定。我國(guó)關(guān)于評(píng)估利率的規(guī)定2019年銀保監(jiān)會(huì)發(fā)布《關(guān)于完善人身保險(xiǎn)業(yè)責(zé)任準(zhǔn)備金評(píng)估利率形成機(jī)制及調(diào)整責(zé)任準(zhǔn)備金評(píng)估利率有關(guān)事項(xiàng)的通知》,對(duì)評(píng)估利率的規(guī)定如下:(1)2013年8月5日及以后簽發(fā)的普通型人身保險(xiǎn)保單評(píng)估利率上限為年復(fù)利3.5%和預(yù)定利率的較小者;2013年8月5日以前簽發(fā)的普通型人身保險(xiǎn)保單評(píng)估利率繼續(xù)執(zhí)行原規(guī)定。(2)分紅型人身保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金的評(píng)估利率上限為年復(fù)利3%和預(yù)定利率的較小者。(3)萬能型人身保險(xiǎn)責(zé)任準(zhǔn)備金的評(píng)估利率上限為年復(fù)利3%。備注：本教材側(cè)重于壽險(xiǎn)精算學(xué)理論和計(jì)算技巧的教學(xué),后續(xù)案例講解時(shí)都默認(rèn)已知評(píng)估假定,對(duì)評(píng)估假定如何設(shè)置和調(diào)整這類實(shí)務(wù)問題不展開討論。本章結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的定義2.責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因1.責(zé)任準(zhǔn)備金的評(píng)估假定3.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法4.責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式5.分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算6.年度利潤(rùn)7.修正責(zé)任準(zhǔn)備金8.完全連續(xù)場(chǎng)合責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算由于未來支出和未來收入的支付頻率有多種組合,所以責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算又分為三種情況:(1)完全連續(xù)場(chǎng)合責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算(2)完全離散場(chǎng)合責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算(3)半連續(xù)場(chǎng)合責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算所謂完全連續(xù)場(chǎng)合是指賠付支出和保費(fèi)繳納都是連續(xù)型的將來法將來法(prospectiveformula)是計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金最常用的方法,它是從責(zé)任準(zhǔn)備金的定義出發(fā),計(jì)算保險(xiǎn)人未來支出與未來保費(fèi)收入的精算現(xiàn)值之差。以(x)購(gòu)買完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)為例,P為該產(chǎn)品終身連續(xù)繳納凈保費(fèi),U為x+t歲的未來壽命,則凈保費(fèi)前瞻損失函數(shù)為:任意時(shí)刻t的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為:前瞻損失函數(shù)的方差為：例6.2已知

,

定價(jià)假定與評(píng)估假定相同,

(30)購(gòu)買完全連續(xù)終身壽險(xiǎn),請(qǐng)計(jì)算:(1)完全連續(xù)均衡凈保費(fèi)

;(2)被保險(xiǎn)人40歲時(shí)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金

和前瞻損失變量的方差

。例6.2解（1）已知

，

，所以本例中

，所以例6.2解（2）因?yàn)樗员槐ｋU(xiǎn)人40歲時(shí)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為前瞻損失的方差為:保費(fèi)差公式以完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)為例推導(dǎo)保費(fèi)差公式(premium

ifference

formula)。對(duì)于一個(gè)完全連續(xù)終身壽險(xiǎn),基于將來法,在未來任意時(shí)刻t,它的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為:等號(hào)右邊提取公因子

,則上式等價(jià)于把

代入上式

，得到責(zé)任準(zhǔn)備金保費(fèi)差公式例6.3已知

,

定價(jià)假定與評(píng)估假定相同,

(30)購(gòu)買完全連續(xù)終身壽險(xiǎn),請(qǐng)計(jì)算:(1)(40)購(gòu)買完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)的凈均衡保費(fèi)

;(2)基于保費(fèi)差公式,計(jì)算30歲的被保險(xiǎn)人在40歲時(shí)的凈責(zé)任準(zhǔn)備金

。例6.3解（1）因?yàn)樗岳?.3解（2）根據(jù)例6.2和例6.3的計(jì)算，可知40歲和30歲,每年的保費(fèi)差為根據(jù)保費(fèi)差公式，,30歲的被保險(xiǎn)人在40歲時(shí)的凈責(zé)任準(zhǔn)備金為：繳清保險(xiǎn)公式依然以完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)為例推導(dǎo)繳清保險(xiǎn)公式(paid

up

insurance

formula)。對(duì)于一個(gè)完全連續(xù)終身壽險(xiǎn),基于將來法,在未來任意時(shí)刻t,它的凈責(zé)任準(zhǔn)備金為:等號(hào)右邊提取公因子

,則推導(dǎo)出責(zé)任準(zhǔn)備金交清保險(xiǎn)公式例6.4已知

,

定價(jià)假定與評(píng)估假定相同,

(30)購(gòu)買完全連續(xù)終身壽險(xiǎn),請(qǐng)計(jì)算:

(1)(40)未來的總賠付風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)值;(2)(30)購(gòu)買終身壽險(xiǎn),繳納的凈保費(fèi)在40歲時(shí)能覆蓋未來總賠付風(fēng)險(xiǎn)的比例;(3)基于繳清保險(xiǎn)公式,計(jì)算30歲的被保險(xiǎn)人在40歲時(shí)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金

。例6.4解（1）(40)未來的總賠付風(fēng)險(xiǎn)現(xiàn)值為：（2）(30)購(gòu)買終身壽險(xiǎn),繳納的凈保費(fèi)在40歲時(shí)能覆蓋未來總賠付風(fēng)險(xiǎn)的比例為：（3）基于繳清保險(xiǎn)公式,30歲的被保險(xiǎn)人在40歲時(shí)的凈責(zé)任準(zhǔn)備金為過去法過去法(retrospective

formula)是計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金常用的一種方法,它也可以從將來法推導(dǎo)出來。依然以完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)為例,推導(dǎo)責(zé)任準(zhǔn)備金厘定的過去法。對(duì)于一個(gè)完全連續(xù)終身壽險(xiǎn),基于將來法,在未來任意時(shí)刻s,它的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為:時(shí)刻x+s之后任取一個(gè)時(shí)間長(zhǎng)度t,以時(shí)刻x+s+t為分界線,把未來的賠付和收入都分解為兩個(gè)部分:過去法公式推導(dǎo)時(shí)刻s的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為上式等價(jià)變換為由于s是任取的一個(gè)時(shí)刻,不妨取s=0,且

，代入上式，則推導(dǎo)出責(zé)任準(zhǔn)備金過去法公式例6.5已知

,

定價(jià)假定與評(píng)估假定相同,

(30)購(gòu)買完全連續(xù)終身壽險(xiǎn),請(qǐng)計(jì)算:(1)到被保險(xiǎn)人40歲時(shí),保險(xiǎn)人支付的賠付現(xiàn)值;(2)到被保險(xiǎn)人40歲時(shí),被保險(xiǎn)人繳納的保費(fèi)現(xiàn)值;(3)基于過去法公式,計(jì)算30歲的被保險(xiǎn)人在40歲時(shí)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金

。例6.5解(1)到被保險(xiǎn)人40歲時(shí),保險(xiǎn)人支付的賠付現(xiàn)值為:（2）因?yàn)樗缘奖槐ｋU(xiǎn)人40歲時(shí),被保險(xiǎn)人繳納的保費(fèi)現(xiàn)值為:例6.5解（3）顯然在前10年,被保險(xiǎn)人的保費(fèi)繳納現(xiàn)值大于賠付現(xiàn)值:這筆賠付現(xiàn)值積累到10年末的人均額度,就是被保險(xiǎn)人40歲時(shí)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金:例6.5已知

,

定價(jià)假定與評(píng)估假定相同,

(30)購(gòu)買10年延期終身壽險(xiǎn)，繳費(fèi)期為10年延期內(nèi)連續(xù)繳費(fèi)。請(qǐng)計(jì)算:

(1)期繳保費(fèi);(2)被保險(xiǎn)人35歲時(shí)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金;(3)被保險(xiǎn)人45歲時(shí)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.5解（1）該延期壽險(xiǎn)的期繳保費(fèi)滿足下列等式:則10年繳費(fèi)期,每年的期繳保費(fèi)為:例6.5解（2）因?yàn)榛谶^去法,被保險(xiǎn)人35歲時(shí)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為:例6.5解（3）基于未來法,被保險(xiǎn)人45歲時(shí)的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為:完全離散場(chǎng)合責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算所謂完全離散場(chǎng)合,就是指賠付支出和保費(fèi)繳納都是離散型的。這是基于生命表最方便計(jì)算的一種情況。以完全離散終身壽險(xiǎn)為例,第k年的前瞻損失變量為:式中,

為終身壽險(xiǎn)均衡凈保費(fèi),如果終身繳費(fèi),則

,J為時(shí)刻x+k的整值未來壽命變量。這時(shí)凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金記作前瞻損失變量的方差為：

完全離散情況下常見險(xiǎn)種的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金例6.7(50)購(gòu)買20年兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)受益是死亡年末或生存期末賠付50萬元。被保險(xiǎn)人每年期初繳納保費(fèi)，繳費(fèi)期20年，評(píng)估利率為5%，復(fù)利計(jì)息。已知：計(jì)算:(1)該保險(xiǎn)產(chǎn)品的期繳凈保費(fèi);(2)計(jì)算第10年末的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金;(3)計(jì)算第20年末的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.7解(1)期繳凈保費(fèi)的計(jì)算（2）第10年末的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算（3）第20年末凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為：例6.8（30）的男子購(gòu)買死亡年末給付10萬元的終身壽險(xiǎn)，未來壽命服從2010-2013年中國(guó)壽險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表CL1表，請(qǐng)完成如下計(jì)算（1）假設(shè)以3.5%復(fù)利計(jì)息，每年費(fèi)用率為毛保費(fèi)的15%，20年繳費(fèi)期，每年期初繳納保費(fèi)，在公平原則下，計(jì)算凈保費(fèi)和毛保費(fèi)。（2）在評(píng)估利率上升為5%、費(fèi)用率降到10%的評(píng)估假定下,計(jì)算被保險(xiǎn)人在40歲時(shí)的毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.8解（1）毛保費(fèi)的計(jì)算基于CL1表和3.5%的定價(jià)利率,計(jì)算出保單簽約時(shí)刻,損失函數(shù)為:基于保單簽約時(shí)刻收支平衡原則,計(jì)算出毛保費(fèi)為:例6.8解（2）毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算在評(píng)估利率調(diào)整為5%時(shí),計(jì)算出則該被保險(xiǎn)40歲時(shí)的毛保費(fèi)損失函數(shù)為:被保險(xiǎn)人40歲時(shí)的毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為:例6.8解半連續(xù)場(chǎng)合責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算賠付為死亡即刻賠付,而保費(fèi)是按年或月離散繳納的保險(xiǎn)產(chǎn)品稱為半連續(xù)產(chǎn)品。半連續(xù)場(chǎng)合的責(zé)任準(zhǔn)備金計(jì)算原理是一樣的,它等于連續(xù)的未來賠付精算現(xiàn)值與離散的未來保費(fèi)收入精算現(xiàn)值之差。以終身壽險(xiǎn)為例,x歲的參保人在未來第k年的半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金等于:其中：例6.9某公司為它的一臺(tái)已經(jīng)使用30年的大型機(jī)器買了一份10年期定期保險(xiǎn)。已知每年年初公司繳納均衡凈保費(fèi)5500元,如果機(jī)器損壞,公司即刻得到35萬元賠付金,賠償一次,合同結(jié)束。假如機(jī)器的壽命分布為：

，年度實(shí)質(zhì)利率為0.025。計(jì)算第7年年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.9解因?yàn)椋核裕豪?.10(50)購(gòu)買20年兩全保險(xiǎn),保險(xiǎn)受益是死亡即刻或生存期末賠付50萬元。被保險(xiǎn)人每年期初繳納保費(fèi),繳費(fèi)期20年,評(píng)估利率為5%,按復(fù)利計(jì)息。已知：計(jì)算:(1)該保險(xiǎn)產(chǎn)品的期繳凈保費(fèi);(2)計(jì)算第10年末的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金;(3)計(jì)算第20年末的凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.10解（1）期繳凈保費(fèi)的計(jì)算例6.10解（2）第10年末凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算式中：所以：例6.10解（3）對(duì)于兩全保險(xiǎn),無論是連續(xù)、離散還是半連續(xù)場(chǎng)合,被保險(xiǎn)人最后一刻無論是生是死,都要在第20年末賠付50萬元,所以第20年末凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為:本章結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的定義2.責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因1.責(zé)任準(zhǔn)備金的評(píng)估假定3.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法4.責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式5.分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算6.年度利潤(rùn)7.修正責(zé)任準(zhǔn)備金8.責(zé)任準(zhǔn)備金遞推公式責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式，就是為了揭示相鄰兩個(gè)時(shí)刻責(zé)任準(zhǔn)備金之間的變動(dòng)關(guān)系。下面以完全離散終身壽險(xiǎn)為例,介紹責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式。為了敘述方便,引入的相關(guān)符號(hào)和含義如下表所示：遞推公式一以終身壽險(xiǎn)為例,可以證明有如下等式成立:等號(hào)左邊表示,在第k年年初,保險(xiǎn)人為每個(gè)仍然在保障計(jì)劃中的被保險(xiǎn)人預(yù)留的資金等于第k-1年年末的責(zé)任準(zhǔn)備金k-1V,加上第k年年初被保險(xiǎn)人繳納的保費(fèi)Gk，再減去期初提取的保險(xiǎn)費(fèi)用ek,這筆資金以年實(shí)質(zhì)利率ik進(jìn)行投資,到第k年年末本利和等于(k-1V+Gk-ek

)(1+ik)

。等號(hào)右邊表示,第k年年末這筆積累資金的分配方案如下:(1)如果被保險(xiǎn)人在第k年死亡,它將用于支付死亡年末受益金B(yǎng)k和與死亡賠付相關(guān)的費(fèi)用Ek;(2)如果被保險(xiǎn)人能活到第

k年年末,它將給每個(gè)仍然存活的被保險(xiǎn)人準(zhǔn)備kV的責(zé)任準(zhǔn)備金以應(yīng)對(duì)未來收支缺口。等價(jià)公式例6.11(30)購(gòu)買死亡年末給付10萬元的終身壽險(xiǎn),繳費(fèi)期20年，年繳毛保費(fèi)1729.68元。未來壽命服從中國(guó)人身保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表的CL1表。在利率為5%、費(fèi)用率為10%的評(píng)估假定下,已經(jīng)計(jì)算出被保險(xiǎn)人在40歲時(shí)的毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金5995.95元。請(qǐng)分別用將來法和遞推公式計(jì)算被保險(xiǎn)人在41歲時(shí)的毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.11解(1)基于將來法計(jì)算毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金

基于CL1表,在5%的評(píng)估利率下,計(jì)算出則41歲時(shí)的毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為:例6.11解(2)基于遞推公式計(jì)算毛保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金

CL1表顯示根據(jù)遞推公式有遞推公式二對(duì)遞推公式一進(jìn)行等價(jià)變換，得到遞推公式二。遞推公式二換了一個(gè)角度解釋保險(xiǎn)資金的流向:等號(hào)左邊意義不變,表示每一個(gè)期初存活的被保險(xiǎn)人前一年末的責(zé)任準(zhǔn)備金加上本年保費(fèi)減去保險(xiǎn)費(fèi)用之后,積累到本年度末的本利和。等號(hào)右邊等于:(1)為每個(gè)期初存活的被保險(xiǎn)人,無論本年度是生是死,先預(yù)留本年度末的責(zé)任準(zhǔn)備金kV;(2)對(duì)于那些本年度末仍然存活的被保險(xiǎn)人,預(yù)留kV就足夠補(bǔ)償未來收支缺口了。但是對(duì)于本年度死亡的那些被保險(xiǎn)人,預(yù)留的kV不足以支付他們的死亡賠付費(fèi)用Bk+Ek。所以對(duì)于本年度死亡的被保險(xiǎn)人還需要為他們額外準(zhǔn)備一筆錢,金額為Bk

+Ek-kV,這筆錢被稱為死亡風(fēng)險(xiǎn)壓力(death

strainat

risk或sum

at

risk或netamount

atrisk)。例6.12(50)購(gòu)買20年兩全保險(xiǎn),死亡年末給付和到期生存給付均為700000元，保費(fèi)繳納期為整個(gè)保險(xiǎn)期，已知每年期初繳納毛保費(fèi)23500元。評(píng)估假定為:(1)

i=3.5%;(2)每年期初的保險(xiǎn)費(fèi)用為毛保費(fèi)的10%,死亡給付費(fèi)用為200元;(3)70歲時(shí)死亡概率為0.008。求該保險(xiǎn)產(chǎn)品第19年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.12解對(duì)于兩全保險(xiǎn),最后一年的責(zé)任準(zhǔn)備金等于生存給付金,即有那么第19年末的責(zé)任準(zhǔn)備金與第20年末的責(zé)任準(zhǔn)備金之間具有如下遞推關(guān)系:把已知信息

代入該遞推公式,則有求出第19年末的責(zé)任準(zhǔn)備金為本章結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的定義2.責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因1.責(zé)任準(zhǔn)備金的評(píng)估假定3.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法4.責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式5.分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算6.年度利潤(rùn)7.修正責(zé)任準(zhǔn)備金8.分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金被保險(xiǎn)人可能會(huì)在任意時(shí)刻購(gòu)買保險(xiǎn)產(chǎn)品,但保險(xiǎn)公司通常會(huì)在每年的特定時(shí)刻,比如每季度末或每日歷年度末,計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金。這意味著,在計(jì)算責(zé)任準(zhǔn)備金時(shí),很多被保險(xiǎn)人對(duì)應(yīng)的是分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金。分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算原理不變,依然等于未來損失變量的期望,只是時(shí)間t可能是分?jǐn)?shù)而已:分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金有多種計(jì)算方法。最常用的方法是：(1)Thiele’s差分方程(2)線性插值法根據(jù)繳費(fèi)方式的不同，分?jǐn)?shù)期長(zhǎng)度的不同，精算師可以因地制宜選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金。下面以完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)產(chǎn)品為例進(jìn)行Thiele’s差分方程的推導(dǎo)。Thiele’s差分方程推導(dǎo)Thiele’s差分方程推導(dǎo)Thiele’s差分方程推導(dǎo)基于Thiele’s差分方程的分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金遞推公式因?yàn)楦鶕?jù)Thiele’s差分方程得由此可以得到以

h

為步長(zhǎng)的責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式例6.13假設(shè)(x)購(gòu)買完全連續(xù)終身壽險(xiǎn),已知：死亡即刻賠付100000元，死亡給付相關(guān)費(fèi)用為100元，年度毛保費(fèi)2500元，年度管理費(fèi)用支出150元，0V=0

,

px=0.98

,

δ=0.05假設(shè)年內(nèi)死亡力恒定,以季度長(zhǎng)度為步長(zhǎng)(h=0.25)，計(jì)算第一年每季度末的責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.13解根據(jù)px=0.98,以及年內(nèi)死亡力恒定假設(shè),得到將

代入Thiele’s差分方程遞推公式得到各分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金近似估計(jì)值如下表所示線性插值法假設(shè)保費(fèi)和保險(xiǎn)費(fèi)用都是期初繳納或提取，那么責(zé)任準(zhǔn)備金線性插值公式如下:例6.14假設(shè)(x)購(gòu)買完全離散終身壽險(xiǎn)。已知死亡年末賠付100000元,死亡給付相關(guān)費(fèi)用為100元,每年年初繳納毛保費(fèi)2500元,年度管理費(fèi)用支出150元。已知年實(shí)質(zhì)利率為0.05,px

=0.98,使用線性插值法,計(jì)算第一年每季度末的責(zé)任準(zhǔn)備金。例6.14解使用遞推公式計(jì)算第一年年末的責(zé)任準(zhǔn)備金根據(jù)線性插值法,求得本章結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的定義2.責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因1.責(zé)任準(zhǔn)備金的評(píng)估假定3.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法4.責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式5.分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算6.年度利潤(rùn)7.修正責(zé)任準(zhǔn)備金8.真實(shí)風(fēng)險(xiǎn)在壽險(xiǎn)產(chǎn)品真實(shí)運(yùn)作時(shí),面臨真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)情況:真實(shí)的投資收益率、真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生概率以及真實(shí)的費(fèi)用率。站在保險(xiǎn)人的角度分析它的收支現(xiàn)金流:它收取了被保險(xiǎn)人繳納的保費(fèi),由保費(fèi)構(gòu)成的基金進(jìn)行投資并支付各項(xiàng)開支和賠付。無論現(xiàn)金流入流出有多復(fù)雜,在任意時(shí)刻,基金余額都可以分解為兩部分:一部分是為被保險(xiǎn)人預(yù)留的責(zé)任準(zhǔn)備金。這部分資金是為了覆蓋未來的收支缺口，必須足額保留在基金里。另一部分是基金余額減去應(yīng)該預(yù)留的責(zé)任準(zhǔn)備金,我們稱之為利潤(rùn)(profit)。利潤(rùn)可正可負(fù)。如果今年真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)情況比定價(jià)假定和評(píng)估假定要好,那么今年的利潤(rùn)通常為正。利潤(rùn)為正時(shí),保險(xiǎn)人可以提取適當(dāng)?shù)睦麧?rùn)進(jìn)行股東利益分配。如果今年真實(shí)的風(fēng)險(xiǎn)情況比定價(jià)假定和評(píng)估假定要差,那么今年的利潤(rùn)可能為負(fù)。利潤(rùn)為負(fù),表明這是屬于保險(xiǎn)人的損失。保險(xiǎn)人需要從自有資金中調(diào)配資金填補(bǔ)該虧損,以確保基金足夠覆蓋未來的支付風(fēng)險(xiǎn)。年度利潤(rùn)保險(xiǎn)人為了解自己的償付能力情況和利潤(rùn)分配額度,通常每年都會(huì)計(jì)算當(dāng)年年末的基金余額和未盡責(zé)任(責(zé)任準(zhǔn)備金總和),兩者之差就是年度利潤(rùn)。為了講清楚年度利潤(rùn)的計(jì)算原理,我們先把問題簡(jiǎn)化。假設(shè):(1)已經(jīng)基于定價(jià)假定,計(jì)算出毛保費(fèi);(2)已經(jīng)基于評(píng)估假定,計(jì)算出未來任意時(shí)刻的責(zé)任準(zhǔn)備金;(3)保險(xiǎn)人每年都把當(dāng)年的利潤(rùn)取走,如果當(dāng)年虧損也每年都填補(bǔ)了虧損額;(4)不考慮被保險(xiǎn)人享有的分紅等投資收益,這意味著每年期初的基金余額就等于上一年末的責(zé)任準(zhǔn)備金。在這些簡(jiǎn)化假定下,我們以兩全保險(xiǎn)為例,演示年度利潤(rùn)是怎么計(jì)算的。例6.15(30)男子購(gòu)買死亡年末給付100000元的終身壽險(xiǎn),已知:(1)在3.5%復(fù)利計(jì)息、每年費(fèi)用率為毛保費(fèi)的15%、未來壽命服從中國(guó)人身保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表的CL1表的定價(jià)假定下,20年繳費(fèi)期的期繳毛保費(fèi)為1729.625元;(2)在評(píng)估利率上升為5%、費(fèi)用率降到10%、死亡率假定不變的評(píng)估假定下,(30)男子在40歲的責(zé)任準(zhǔn)備金為5995.948元,41歲的責(zé)任準(zhǔn)備金為7777.983元。假設(shè)有1000個(gè)男子在40歲時(shí)還在保障范圍內(nèi)。這一年的真實(shí)收益率為5.5%,真實(shí)費(fèi)用率為毛保費(fèi)的12%,有1人在這一年內(nèi)發(fā)生死亡賠付。計(jì)算這個(gè)產(chǎn)品的年度利潤(rùn)。例6.15解年度利潤(rùn)等于年末的基金余額減去年末的責(zé)任準(zhǔn)備金總和,即利源分析利源分析：分析利潤(rùn)或損失是由哪些風(fēng)險(xiǎn)因素導(dǎo)致的,不同風(fēng)險(xiǎn)因素產(chǎn)生的利潤(rùn)或損失等于多少利潤(rùn)為正稱為益，利潤(rùn)為負(fù)稱為損利潤(rùn)來源利差：由真實(shí)利率和評(píng)估利率之差導(dǎo)致的利潤(rùn)/損失死差：由真實(shí)死亡率和評(píng)估死亡率之差導(dǎo)致的利潤(rùn)/損失費(fèi)差：由真實(shí)費(fèi)用率和評(píng)估費(fèi)用率之差導(dǎo)致的利潤(rùn)/損失退保差：由真實(shí)退保率和評(píng)估退保率之差導(dǎo)致的利潤(rùn)/損失本例沒有討論退保的情況，所以利源分析將分解為三部分：利差益/損死差益/損費(fèi)差益/損不同情況下基金余額利源分解真實(shí)情況下和評(píng)估假定下年末基金余額之差即為該年利潤(rùn),利潤(rùn)可以分解為利差、費(fèi)差、死差三部分,即例6.15續(xù)對(duì)例6.15進(jìn)一步分析,可以求得該保險(xiǎn)產(chǎn)品這一年的利差益為:費(fèi)差損為：死差益為：本章結(jié)構(gòu)責(zé)任準(zhǔn)備金的定義2.責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因1.責(zé)任準(zhǔn)備金的評(píng)估假定3.責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算方法4.責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式5.分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算6.年度利潤(rùn)7.修正責(zé)任準(zhǔn)備金8.修正責(zé)任準(zhǔn)備金產(chǎn)生的原因由于保險(xiǎn)業(yè)的特殊性，第一年的費(fèi)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于以后各年的費(fèi)用，所以分期繳付保費(fèi)場(chǎng)合，保險(xiǎn)人的費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金實(shí)際上一直是負(fù)的。換言之，在保險(xiǎn)費(fèi)用這一方面是保險(xiǎn)人先墊付了被保險(xiǎn)人的費(fèi)用，被保險(xiǎn)人用將來的分期付款逐期償還首年欠付費(fèi)用。如果不考慮費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金的因素，始終以凈保費(fèi)責(zé)任準(zhǔn)備金為準(zhǔn)計(jì)算保險(xiǎn)公司的債務(wù)，會(huì)使保險(xiǎn)公司保險(xiǎn)初年的負(fù)擔(dān)很重，而且利潤(rùn)溢出各年變動(dòng)非常大。為了保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)溢出比較平滑，也同時(shí)兼顧被保險(xiǎn)人的利益，有了修正責(zé)任準(zhǔn)備金的概念。例6.16向(x)發(fā)行完全離散3年定期兩全險(xiǎn),保額為1000元,每年年初繳費(fèi),已知：保險(xiǎn)費(fèi)用明細(xì)下表所示，分析該保險(xiǎn)產(chǎn)品每年的保費(fèi)情況和責(zé)任準(zhǔn)備金情況。例6.16解(1)凈保費(fèi)和凈責(zé)任準(zhǔn)備金分析。首先計(jì)算該保險(xiǎn)產(chǎn)品的均衡凈保費(fèi)。根據(jù)已知條件容易算出則均衡凈保費(fèi)等于均衡凈保費(fèi)收入與本年賠付支出現(xiàn)值如下表所示例6.16解收支的不匹配,導(dǎo)致了凈責(zé)任準(zhǔn)備金的產(chǎn)生?；趯矸ㄓ?jì)算該產(chǎn)品的凈責(zé)任準(zhǔn)備金如下表所示例6.16解(2)均衡費(fèi)用保費(fèi)和費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金分析首先根據(jù)費(fèi)用結(jié)構(gòu),列出毛保費(fèi)收支平衡方程:解出均衡毛保費(fèi)的值:均衡毛保費(fèi)減去均衡凈保費(fèi)就等于均衡費(fèi)用保費(fèi):例6.16解均衡費(fèi)用保費(fèi)與本年真實(shí)支出費(fèi)用現(xiàn)值初年費(fèi)用的巨大缺口,導(dǎo)致費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金如下費(fèi)用修正責(zé)任準(zhǔn)備金考察各年的凈責(zé)任準(zhǔn)備金和費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金的情況,可以看出由于均衡收費(fèi)的原因,第一年收取的凈保費(fèi)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于該年賠付支出現(xiàn)值,產(chǎn)生了凈責(zé)任準(zhǔn)備金,這是保險(xiǎn)公司欠被保險(xiǎn)人的錢,該筆費(fèi)用理論上必須?？顚Ｓ?用于彌補(bǔ)將來的收支缺口。另一方面,保險(xiǎn)公司在保險(xiǎn)初年為被保險(xiǎn)人墊付了大量的保險(xiǎn)費(fèi)用,而被保險(xiǎn)人初年繳納的費(fèi)用保費(fèi)不足以覆蓋這筆費(fèi)用,所以需要以后各年多支付一點(diǎn)費(fèi)用保費(fèi)來分期償還這筆欠款,由此產(chǎn)生了費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金。從保險(xiǎn)人的角度而言,費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金是負(fù)數(shù),說明這是被保險(xiǎn)人欠保險(xiǎn)人的債務(wù)。如果不考慮費(fèi)用責(zé)任準(zhǔn)備金因素,始終以凈責(zé)任準(zhǔn)備