（課標(biāo)全國版）高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測 第05講 函數(shù)的奇偶性與周期性（講）原卷版+解析

第05講函數(shù)的奇偶性與周期性【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象【課標(biāo)解讀】1.抽象函數(shù)的奇偶性與周期性；2.利用奇偶性與周期性求參數(shù)取值范圍；3.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題.【備考策略】1.判斷函數(shù)的奇偶性與周期性；2.函數(shù)的奇偶性、周期性，通常與抽象函數(shù)、函數(shù)的圖象以及函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合考查，常結(jié)合三角函數(shù)加以考查．【核心知識】知識點一函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱知識點二函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【特別提醒】1.(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.3.函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).4.對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.【高頻考點】高頻考點一函數(shù)奇偶性的判定例1．【2020·全國Ⅱ卷】設(shè)函數(shù)，則f(x)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【方法技巧】判斷函數(shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：確定函數(shù)的奇偶性時，必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)圖象法：f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，f(x)為奇函數(shù)；f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，f(x)為偶函數(shù)。(3)性質(zhì)法：設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．【舉一反三】(2021·湖北省丹江口市一中模擬)設(shè)f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定義域均為R，下列結(jié)論錯誤的是()A．|g(x)|是偶函數(shù) B．f(x)g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是偶函數(shù) D．f(x)＋g(x)是奇函數(shù)【變式探究】【2020年高考浙江】函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[–π，π]上的圖象可能是高頻考點二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2．【2020·江蘇卷】已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則的值是．【方法技巧】與函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題及解題策略(1)求函數(shù)的值：利用奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)求函數(shù)解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．(3)求解析式中的參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，利用f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解．【舉一反三】(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex－1，則當(dāng)x<0時，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1【變式探究】(2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，則a＝________.高頻考點三函數(shù)的周期性例3.（2023·全國Ⅱ卷)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50 B.0 C.2 D.50【方法技巧】(1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)周期函數(shù)的圖象具有周期性，如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數(shù)一定具有周期性．【變式探究】(2021·廣東省韶關(guān)市一中模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且周期為4，若f(－1)＝2，則f(2021)＝()A．2B．0C．－2D．－4高頻考點四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4.(2021·河北模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上單調(diào)遞減．設(shè)a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a(chǎn)>c>b【舉一反三】(2021·海南省三亞市一中模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)【方法技巧】函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性。(2)周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解。(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解。（4）應(yīng)用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱?！咀兪教骄俊?2021·陜西省延安中學(xué)模擬)在R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則f(x)()A．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)B．在區(qū)間[－2，－1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)C．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)D．在區(qū)間[－2，－1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

第05講函數(shù)的奇偶性與周期性【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象【課標(biāo)解讀】1.抽象函數(shù)的奇偶性與周期性；2.利用奇偶性與周期性求參數(shù)取值范圍；3.函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題.【備考策略】1.判斷函數(shù)的奇偶性與周期性；2.函數(shù)的奇偶性、周期性，通常與抽象函數(shù)、函數(shù)的圖象以及函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合考查，常結(jié)合三角函數(shù)加以考查．【核心知識】知識點一函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點對稱知識點二函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【特別提醒】1.(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.3.函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).4.對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.【高頻考點】高頻考點一函數(shù)奇偶性的判定例1．【2020·全國Ⅱ卷】設(shè)函數(shù)，則f(x)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域為，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確?！痉椒记伞颗袛嗪瘮?shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：確定函數(shù)的奇偶性時，必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱．若對稱，再化簡解析式后驗證f(－x)＝±f(x)或其等價形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)圖象法：f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，f(x)為奇函數(shù)；f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱，f(x)為偶函數(shù)。(3)性質(zhì)法：設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．【舉一反三】(2021·湖北省丹江口市一中模擬)設(shè)f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定義域均為R，下列結(jié)論錯誤的是()A．|g(x)|是偶函數(shù) B．f(x)g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是偶函數(shù) D．f(x)＋g(x)是奇函數(shù)【答案】D【解析】f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)為偶函數(shù)．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)為奇函數(shù)．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|為偶函數(shù)，A正確；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)為奇函數(shù)，B正確；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函數(shù)，C正確；f(x)＋g(x)＝2ex，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，D錯誤，故選D.【變式探究】【2020年高考浙江】函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[–π，π]上的圖象可能是【答案】A【解析】因為，則，即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，據(jù)此可知選項CD錯誤；且時，，據(jù)此可知選項B錯誤，故選A。高頻考點二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用例2．【2020·江蘇卷】已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則的值是．【答案】－4【解析】，因為為奇函數(shù)，所以。【方法技巧】與函數(shù)奇偶性有關(guān)的問題及解題策略(1)求函數(shù)的值：利用奇偶性將待求值轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)求函數(shù)解析式：先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．(3)求解析式中的參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，利用f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)，f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．對于在x＝0處有定義的奇函數(shù)f(x)，可考慮列等式f(0)＝0求解．【舉一反三】(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex－1，則當(dāng)x<0時，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1【答案】D【解析】當(dāng)x<0時，－x>0.因為當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex－1，所以f(－x)＝e－x－1.又因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.【變式探究】(2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，則a＝________.【答案】－3【解析】法一：由x＞0可得－x＜0，由f(x)是奇函數(shù)可知f(－x)＝－f(x)，∴x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－[－ea(－x)]＝e－ax，則f(ln2)＝e－aln2＝8，∴－aln2＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.法二：由f(x)是奇函數(shù)可知f(－x)＝－f(x)，∴f(ln2)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1,2)))＝－(－eeq\s\up5(alneq\f(1,2)))＝8，∴alneq\f(1,2)＝ln8＝3ln2，∴a＝－3.高頻考點三函數(shù)的周期性例3.（2023·全國Ⅱ卷)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50 B.0 C.2 D.50【答案】C【解析】方法一：∵f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.方法二：取一個符合題意的函數(shù)f(x)＝2sineq\f(πx,2)，則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列{f(n)}(n∈N*)是以4為周期的周期數(shù)列.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.【方法技巧】(1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期．(2)周期函數(shù)的圖象具有周期性，如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)的圖象具有兩個對稱性(注意：對稱中心在平行于x軸的直線上，對稱軸平行于y軸)，那么這個函數(shù)一定具有周期性．【變式探究】(2021·廣東省韶關(guān)市一中模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且周期為4，若f(－1)＝2，則f(2021)＝()A．2B．0C．－2D．－4【答案】C【解析】因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且周期為4，所以f(x)為奇函數(shù)，所以f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－2，故選C。高頻考點四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4.(2021·河北模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上單調(diào)遞減．設(shè)a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a(chǎn)>c>b【答案】D【解析】因為偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為2.所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因為－0.8<－0.5<－0.4，且函數(shù)f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，所以a>c>b.故選D．【舉一反三】(2021·海南省三亞市一中模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)