（人教A版2019選修第一冊(cè)）高二數(shù)學(xué)同步備課系列 第 1 章 空間向量與立體幾何（單元卷）（原卷版+解析）

第1章空間向量與立體幾何（單元卷）一．選擇題（共8小題）1．在平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′的棱所在向量中，與向量模相等的向量有（）A．0個(gè) B．3個(gè) C．7個(gè) D．9個(gè)2．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA＝2CB，CC1＝3CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為（）A． B． C． D．3．已知，，若，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．﹣1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．34．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．二面角α﹣l﹣β為60°，A、B是棱l上的兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，則CD的長(zhǎng)為（）A．a(chǎn) B．2a C．a(chǎn) D．2a6．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD上移動(dòng)，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長(zhǎng)度的最大值為（）A． B．2 C． D．37．如圖，在60°二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若AB＝AC＝BD＝4，則線段CD的長(zhǎng)為（）A． B．16 C．8 D．8．如圖，四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，BC＝BD＝2，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成角的余弦值為，則直線BE與平面ACD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二．多選題（共4小題）（多選）9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，E為BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，則下列向量中，不能作為平面AEF的法向量的是（）A．（1，﹣2，4） B．（﹣4，1，﹣2） C．（2，﹣2，1） D．（1，2，﹣2）（多選）10．在三棱錐P﹣ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點(diǎn)，且BE：EC＝PF：FB＝1：2，則下列說(shuō)法正確的是（）A．EG⊥PG B．EG⊥BC C．FG∥BC D．FG⊥EF（多選）11．在以下命題中，不正確的命題有（）A．||﹣||＝|+|是，共線的充要條件 B．若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使＝λ C．對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若＝2﹣2﹣，則P，A，B，C四點(diǎn)共面 D．若{，，}為空間的一個(gè)基底，則{+，+，+}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底（多選）12．如圖四棱錐P﹣ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，底面ABCD為矩形，CD＝2，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．CQ⊥平面PAD B．PC與平面AQC所成角的余弦值為 C．三棱錐B﹣ACQ的體積為 D．四棱錐Q﹣ABCD外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為三．填空題（共6小題）13．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若向量，且點(diǎn)P與A，B，C共面，則實(shí)數(shù)λ＝．14．已知空間向量＝（1，﹣2，2），則||＝．15．已知向量＝（0，1，0），＝（1，0，1），||＝，且λ＞0，則λ＝．16．四棱錐S﹣ABCD的底面是平行四邊形，，若，則x+y+z＝．17．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C中點(diǎn)，則BE與平面B1BDD1所成角的正弦值為．18．如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝BD＝DA＝4，．設(shè)直線AB與直線CD所成角為α，當(dāng)二面角A﹣BD﹣C的大小在變化時(shí)，則cosα的最大值是．四．解答題（共4小題）19．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E在BD上，且BE＝BD，點(diǎn)F在CB1上，且CF＝．求證：（1）EF⊥BD；（2）EF⊥CB1．20．如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，2AB＝AA1＝4，CE＝EC1，AF＝3FA1．（1）證明：BE⊥平面B1EF；（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．21．如圖，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱錐D﹣BB1C1C構(gòu)成的幾何體中，∠BAC＝90°，AB＝1，，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（1）求證：AC⊥DC1；（2）若M為DC1中點(diǎn)，求證：AM∥平面DBB1．22．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝．（1）求證：平面PBC⊥平面PQB；（2）當(dāng)PM的長(zhǎng)為何值時(shí)，平面QMB與平面PDC所成的角的大小為60°？第1章空間向量與立體幾何（單元卷）一．選擇題（共8小題）1．在平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′的棱所在向量中，與向量模相等的向量有（）A．0個(gè) B．3個(gè) C．7個(gè) D．9個(gè)【分析】利用平行六面體的性質(zhì)和向量的模相等即可得出．【解答】解：如右圖，與向量模相等的向量有：，，，，，，7個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握平行六面體的性質(zhì)和向量的模相等是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA＝2CB，CC1＝3CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CC1為y軸，CB為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BC1與直線AB1夾角的余弦值．【解答】解：以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CC1為y軸，CB為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵CA＝2CB，CC1＝3CB，∴設(shè)CB＝1，得B（0，0，1），C1（0，3，0），A（2，0，0），B1（0，3，1），＝（0，3，﹣1），＝（﹣2，3，1），cos＜，＞＝＝＝．∴直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．3．已知，，若，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．﹣1 B．1或﹣3 C．﹣1或3 D．3【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)公式，以及向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵，，∴＝（﹣3，0，2λ﹣4），∵，∴，即（2，1，λ）?（﹣3，0，2λ﹣4）＝﹣6+2λ2﹣4λ＝0，解得λ＝﹣1或3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的坐標(biāo)公式，以及向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線DE與AC所成角的余弦值．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為2，則D（0，0，0），E（0，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），＝（0，1，2），＝（﹣2，2，0），設(shè)異面直線DE與AC所成角為θ，則cosθ＝＝＝．∴異面直線DE與AC所成角的余弦值為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間向量的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．5．二面角α﹣l﹣β為60°，A、B是棱l上的兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，則CD的長(zhǎng)為（）A．a(chǎn) B．2a C．a(chǎn) D．2a【分析】由已知條件和空間向量加法可得＝，再根據(jù)向量模和數(shù)量積的關(guān)系可得||＝，由此能求出CD的長(zhǎng)．【解答】解：∵二面角α﹣l﹣β為60°，A、B是棱l上的兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，∴＜＞＝60°，，∵，∴||＝＝＝＝＝2a，∴CD的長(zhǎng)為2a．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量加法法則、向量模、數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．6．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD上移動(dòng)，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長(zhǎng)度的最大值為（）A． B．2 C． D．3【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段B1P的長(zhǎng)度的最大值．【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（a，b，0），則D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），＝（a﹣2，b﹣2，﹣2），＝（1，2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴＝a﹣2+2（b﹣2）+4＝0，∴a+2b﹣2＝0，∴點(diǎn)P的軌跡是一條線段，當(dāng)a＝0時(shí)，b＝1；當(dāng)b＝0時(shí)，a＝2，設(shè)CD中點(diǎn)F，則點(diǎn)P在線段AF上，當(dāng)A與P重合時(shí)，線段B1P的長(zhǎng)度為：|AB1|＝＝2；當(dāng)P與F重合時(shí)，P（0，1，0），＝（﹣2，﹣1，﹣2），線段B1P的長(zhǎng)度||＝＝3，當(dāng)P在線段AF的中點(diǎn)時(shí)，P（1，，0），＝（﹣1，﹣，﹣2），線段B1P的長(zhǎng)度||＝＝．∴線段B1P的長(zhǎng)度的最大值為3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段長(zhǎng)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．7．如圖，在60°二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若AB＝AC＝BD＝4，則線段CD的長(zhǎng)為（）A． B．16 C．8 D．【分析】＝+，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，代入計(jì)算即可．【解答】解：＝+，∴+2，∵，，∴，．AB＝AC＝BD＝4，∴＝42+42+42﹣2×16×＝32，∴||＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8．如圖，四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，BC＝BD＝2，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成角的余弦值為，則直線BE與平面ACD所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，0，h），根據(jù)異面直線AD與BE所成角的余弦值為計(jì)算h，再求出平面ACD的法向量，則直線BE與平面ACD所成角的正弦值為|cos＜，＞|．【解答】解以BC，BD，BA為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：設(shè)AB＝h，則A（0，0，h），B（0，0，0），C（2，0，0），D（0，2，0），E（1，1，0）．∴＝（0，2，﹣h），＝（1，1，0），∴＝2，||＝，||＝，∴cos＜，＞＝＝．∵異面直線AD與BE所成角的余弦值為，∴＝，解得h＝4．∴＝（0，2，﹣4），＝（﹣2，2，0）．設(shè)平面ACD的法向量為＝（x，y，z）．則＝0，＝0，即．令z＝1，得＝（2，2，1）．∴＝4，||＝3，∴cos＜，＞＝＝．∴直線BE與平面ACD所成角的正弦值為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間角的計(jì)算，通常采用空間向量進(jìn)行計(jì)算．二．多選題（共4小題）（多選）9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，E為BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，則下列向量中，不能作為平面AEF的法向量的是（）A．（1，﹣2，4） B．（﹣4，1，﹣2） C．（2，﹣2，1） D．（1，2，﹣2）【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，依次求出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)向量＝（x，y，z）是平面AEF的法向量，根據(jù)法向量的定義，逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可求出答案．【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），F(xiàn)（1，0，2），∴，設(shè)向量＝（x，y，z）是平面AEF的法向量，則取y＝1，得z＝﹣2，x＝﹣4，則＝（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一個(gè)法向量，結(jié)合其他選項(xiàng)，只需和＝（﹣4，1，﹣2）共線即可，檢驗(yàn)可知，ACD選頂均不與＝（﹣4，1，﹣2）共線．所以能作為平面AEF的法向量只有選項(xiàng)B．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面法向量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．在三棱錐P﹣ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點(diǎn)，且BE：EC＝PF：FB＝1：2，則下列說(shuō)法正確的是（）A．EG⊥PG B．EG⊥BC C．FG∥BC D．FG⊥EF【分析】以三棱錐的頂點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以PA，PB，PC所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用向量的坐標(biāo)，由數(shù)量積是否為0及共線向量定理判斷．【解答】解：如圖，以三棱錐的頂點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以PA，PB，PC所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，0），A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，0，3），E（0，2，1），F(xiàn)（0，1，0），G（1，1，0），∴＝（0，?1，?1），＝（1，?1，?1），＝（1，1，0），＝（0，﹣3，3），＝（1，0，0）．∵，∴EG⊥PG，故A正確；∵，∴EG⊥BC，故B正確；∵不存在非0實(shí)數(shù)λ，使，∴FG∥BC錯(cuò)誤，即C錯(cuò)誤；∵，∴FG⊥EF，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的應(yīng)用，利用空間向量證明平行與垂直，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．在以下命題中，不正確的命題有（）A．||﹣||＝|+|是，共線的充要條件 B．若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使＝λ C．對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若＝2﹣2﹣，則P，A，B，C四點(diǎn)共面 D．若{，，}為空間的一個(gè)基底，則{+，+，+}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底【分析】A．||﹣||＝|+|，可得，共線；反之不成立，即可判斷出正誤；B．若≠，＝時(shí)不成立，即可判斷出正誤；C．對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若＝x+y+z，x+y+z＝1?P，A，B，C四點(diǎn)共面，即可判斷出正誤；D．利用空間向量基底的定義，即可判斷出正誤．【解答】解：A．||﹣||＝|+|?，共線；反之不成立，若，同向共線，可能是||+||＝|+|成立，因此||﹣||＝|+|是，共線的充分不必要條件，因此A不正確；B．若∥，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使＝λ，不正確，因?yàn)椤?，＝時(shí)不成立，因此B不正確；C．對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若＝x+y+z，x+y+z＝1?P，A，B，C四點(diǎn)共面，因此C不正確；D．若{，，}為空間的一個(gè)基底，則{+，+，+}構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，否則其中任意一個(gè)向量必然能用另外兩個(gè)向量線性表示，不妨設(shè)+＝x（+）+y（+），化為+＝x+（x+y）+y，則y＝1，x＝1，且x+y＝0，矛盾，假設(shè)不成立，因此D成立．故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量共線定理、平面向量基本定理、空間向量基本定理，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．如圖四棱錐P﹣ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，底面ABCD為矩形，CD＝2，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．CQ⊥平面PAD B．PC與平面AQC所成角的余弦值為 C．三棱錐B﹣ACQ的體積為 D．四棱錐Q﹣ABCD外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為【分析】取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)E，連結(jié)OE，OP，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAD的一個(gè)法向量，看其是否與共線，從而可判斷選項(xiàng)A；先求平面AQC的法向量，然后根據(jù)公式sinθ＝，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可求出余弦值，從而可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)VB﹣ACQ＝VQ﹣ABC可求出體積，可判定選項(xiàng)C；將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體面的對(duì)角線，求出正四面體的棱長(zhǎng)，從而可求出正四面體的表面積，可判定選項(xiàng)D．【解答】解：取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)E，連結(jié)OE，OP，因?yàn)槿切蜳AD為等邊三角形，所以O(shè)P⊥AD，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，所以O(shè)P⊥平面ABCD，因?yàn)锳D⊥OE，所以O(shè)D，OE，OP兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，因?yàn)辄c(diǎn)Q時(shí)PD的中點(diǎn)，所以，平面PAD的一個(gè)法向量為，顯然與不共線，所以CQ與平面PAD不垂直，故選項(xiàng)A不正確；，設(shè)平面AQC的法向量為，則，令x＝1，則y＝，z＝，所以，設(shè)PC與平面AQC所成角為θ，則sinθ＝，所以cosθ＝，所以B正確；三棱錐B﹣ACQ的體積為VB﹣ACQ＝VQ﹣ABC＝S△ABC?OP＝××2××＝6，所以C不正確；設(shè)四棱錐Q﹣ABCD外接球的球心為M（0，，a），則MQ＝MD，所以，解得a＝0，即M（0，，0）為矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以四棱錐Q﹣ABCD外接球的半徑為3，設(shè)四棱錐Q﹣ABCD外接球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為x，將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體面的對(duì)角線，故正方體的棱長(zhǎng)為，所以，得x2＝24，所以正四面體的表面積為，所以D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線面垂直，線面角，棱錐的體積以及棱錐的外接球等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三．填空題（共6小題）13．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若向量，且點(diǎn)P與A，B，C共面，則實(shí)數(shù)λ＝．【分析】利用空間向量共面定理直接求解．【解答】解：∵A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，向量，且點(diǎn)P與A，B，C共面，∴＝1，解得實(shí)數(shù)λ＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查空間向量共面定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14．已知空間向量＝（1，﹣2，2），則||＝3．【分析】空間向量＝（x，y，z），則||＝．【解答】解：∵空間向量＝（1，﹣2，2），∴||＝＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模的求法，考查向量的模的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．已知向量＝（0，1，0），＝（1，0，1），||＝，且λ＞0，則λ＝2．【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出＝（1，λ，1），再由||＝，λ＞0，列方程能求出λ的值．【解答】解：∵向量＝（0，1，0），＝（1，0，1），∴＝（1，λ，1），∵||＝，λ＞0，∴＝，解得λ＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查平空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量的模等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．16．四棱錐S﹣ABCD的底面是平行四邊形，，若，則x+y+z＝．【分析】把看成空間的一組基底，然后用表示，再利用向量相等，求出x，y，z，得到x+y+z的值．【解答】解：因?yàn)?，所以，四棱錐S﹣ABCD的底面是平行四邊形，則，所以＝，又，所以，故x+y+z＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量基本定理的應(yīng)用，空間向量加減法，屬于基礎(chǔ)題．17．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C中點(diǎn)，則BE與平面B1BDD1所成角的正弦值為．【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系O﹣xyz，分別求出面B1BDD1的法向量和直線BE的方向向量，代入向量夾角公式，可得BE與平面B1BDD1所成角的正弦值【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系O﹣xyz設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（2，2，1）根據(jù)正方體的幾何特征，可得AC⊥平面B1BDD1，故＝（2，2，0）是平面B1BDD1的一個(gè)法向量又∵＝（0，2，1）故BE與平面B1BDD1所成角θ滿足sinθ＝＝＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，其中建立空間坐標(biāo)系，將線面夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．18．如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝BD＝DA＝4，．設(shè)直線AB與直線CD所成角為α，當(dāng)二面角A﹣BD﹣C的大小在變化時(shí)，則cosα的最大值是．【分析】取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過(guò)點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍，從而得到cosα的最大值．【解答】解：取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD＝，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO＝，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OD為y軸，過(guò)點(diǎn)O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），設(shè)二面角A﹣BD﹣C的平面角為θ，則θ∈[，]，∴A（cosθ，0，sinθ），∴＝（cosθ，2，2sinθ），＝（﹣2，2，0），由AB、CD的夾角為α，則cosα＝＝，∵θ∈，∴cosθ∈[﹣，]，則|1﹣cosθ|∈[1﹣，1+]．∴cosα∈[，]．即cosα的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的取值范圍的求法，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．四．解答題（共4小題）19．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E在BD上，且BE＝BD，點(diǎn)F在CB1上，且CF＝．求證：（1）EF⊥BD；（2）EF⊥CB1．【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，分別求出的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積為0證明（1）（2）．【解答】證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，則D（0，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），B1（3，3，3），E（2，2，0），F(xiàn)（1，3，1），則，，．（1）∵，∴，即EF⊥BD；（2）∵，∴，即EF⊥CB1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線位置關(guān)系的判定，考查空間向量的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．20．如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，2AB＝AA1＝4，CE＝EC1，AF＝3FA1．（1）證明：BE⊥平面B1EF；（2）求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，分別證明EF⊥BE與BE⊥B1E，進(jìn)一步得到BE⊥平面B1EF；（2）根據(jù)已知條件，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求空間向量的夾角即可．【解答】解：（1）由條件，可知，，，滿足BF2＝BE2+EF2，∴EF⊥BE．又，BB1＝4，滿足，∴BE⊥B1E，又∵B1E∩EF＝E，∴BE⊥平面B1EF．（2）以AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，則，E（﹣1，0，2），F(xiàn)（1，0，3）．∴，，設(shè)平面BEF的法向量為，∵，∴取，得．易得平面ABF的一個(gè)法向量為，，由圖可知，二面角E﹣BF＝A的平面角是，夾角的補(bǔ)角，故二面角E﹣BF﹣A的余弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面垂直的證明，二面角的相關(guān)計(jì)算，空間向量的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中等題．21．如圖，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1和四棱錐D﹣BB1C1C構(gòu)成的幾何體中，∠BAC＝90°，AB＝1，，平面CC1D⊥平面ACC1A1．（1）求證：AC⊥DC1；（2）若M為DC1中點(diǎn)，求證：AM∥平面DBB1．【分析】（1）證明AC⊥CC1，得到AC⊥平面CC1D，即可證明AC⊥DC1．（2）易得∠BAC＝90°，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量求得AM與平面DBB1所成角為0，即AM∥平面DBB1．【解答】解：（1）證明：在直三棱柱ABC﹣A1