新教材2023版高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值課件新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、

極值、最大(小)值的關(guān)系．新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學(xué)習(xí)教

材

要

點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]一定能夠取得________與________，若函數(shù)在[a，b]內(nèi)是可導(dǎo)的，則該函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得．最大值最小值基

礎(chǔ)

自

測(cè)

1．下列結(jié)論正確的是(

)A．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值一定是[a，b]上的最大值B．若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值一定是[a，b]上的最小值C．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定是在x＝a和x＝b處取得D．若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值解析：函數(shù)f(x)在[a，b]上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．答案：D

答案：C3．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(

)A．有最值，但無(wú)極值B．有最值，也有極值C．既無(wú)最值，也無(wú)極值D．無(wú)最值，但有極值解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減，無(wú)最大值和最小值，也無(wú)極值．答案：C4．函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．

課堂探究·素養(yǎng)提升求函數(shù)的最值【思考探究】如圖為y＝f(x)，x∈[a，b]的圖象．1．觀察[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象，試找出它的極大值、極小值．[提示]

f(x1)，f(x3)為函數(shù)的極大值，f(x2)，f(x4)為函數(shù)的極小值．2．結(jié)合圖象判斷，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？2．結(jié)合圖象判斷，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？[提示]

存在．f(x)的最小值為f(a)，f(x)的最大值為(f(x_(3)))．3．函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是其極值嗎？[提示]不一定．也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值．例1

求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)＝lnx－x,x∈(0，e]；

(2)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]；

【解析】(2)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如表：

∴當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60；當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，f(x)取最大值4.(3)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；

【解析】f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∴f′(x)在[－1，1]內(nèi)恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上為增函~數(shù)．故當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)min＝－12；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)max＝2.即f(x)的最小值為－12，最大值為2.

方法歸納求函數(shù)最值的四個(gè)步驟第一步，求函數(shù)的定義域；第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步，列出關(guān)于x，f(x)，f′(x)的變化表；第四步，求極值、端點(diǎn)值，確定最值．跟蹤訓(xùn)練1

求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]；

求含參數(shù)的函數(shù)的最值例2

已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－a2x.求函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的最小值．

狀元隨筆不能求出參數(shù)值的問(wèn)題，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論方法歸納含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題的兩類情況(1)能根據(jù)條件求出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題．(2)對(duì)于不能求出參數(shù)值的問(wèn)題，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0、等于0、小于0三種情況．若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點(diǎn)處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點(diǎn)后求極值，再與端點(diǎn)值比較后確定最值．

由最值求參數(shù)的值或范圍例3

已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．【解析】

由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常數(shù)函數(shù)，與題設(shè)矛盾．求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).①當(dāng)a>0，且當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表：由表可知，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在[－1，2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②當(dāng)a<0時(shí)，同理可得，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極小值b，也就是函數(shù)在[－1，2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.綜上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.方法歸納已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練3

(1)已知函數(shù)h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在區(qū)間[k，2]上的最大值是28，求k的取值范圍．(2)已知f(x)＝ax－lnx，a∈R.①當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；②是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

解析：(1)∵h(yuǎn)(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，當(dāng)x變化時(shí)，h′(x)，h(x)的變化情況如表：∴當(dāng)x＝－3時(shí)，h(x)取極大值28；當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取極小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，∴如果h(x)在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，則k≤－3.∴k的取值范圍為(－∞，－3].

與最值有關(guān)的恒成立問(wèn)題例4

已知2xlnx≥－x2＋ax－3對(duì)一切x∈(0，＋∞)恒成立，則a的取值范圍為________．

(－∞，4]方法歸納1．分離參數(shù)法求解不等式恒成立問(wèn)題的步驟2．構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的