新教材2023版高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用5.3.2函數(shù)的極值與最大小值第2課時(shí)函數(shù)的最大小值課件新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透【課標(biāo)解讀】1.理解函數(shù)最值的概念．2．會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)．新知初探·課前預(yù)習(xí)【教

材

要

點(diǎn)】要點(diǎn)一最值的概念?一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條________的曲線，那么它必有最大值和最小值．批注?

(1)給定的區(qū)間必須是閉區(qū)間，y＝f(x)的圖象在開(kāi)區(qū)間上雖然連續(xù)不斷，但不能保證有最大值或最小值．(2)在閉區(qū)間上的每一點(diǎn)必須連續(xù)，即在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)也不能保證y＝f(x)有最大值和最小值．連續(xù)不斷要點(diǎn)二函數(shù)在區(qū)間[a，b]上最值的求法一般地，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值?的步驟如下：(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的________；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各________與端點(diǎn)處的函數(shù)值________，________比較，其中最大的一個(gè)是________，最小的一個(gè)是________．

批注?函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念．最大值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最大值；最小值必須是整個(gè)區(qū)間內(nèi)所有函數(shù)值中的最小值．極值極值f(a)f(b)最大值最小值【夯

實(shí)

雙

基】1.判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得．(

)(2)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值．(

)(3)在定義域內(nèi)，若函數(shù)有最值與極值，則極大(小)值就是最大(小)值．(

)(4)若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值，則最大(小)值最多有一個(gè)；若有極值，則可有多個(gè)．(

)×√×√2．函數(shù)y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值為(

)A.32

B．27C．16 D．40答案：A解析：因?yàn)閥′＝－3x(x－4)，所以當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y′≥0；當(dāng)x>4時(shí)，y′<0.所以函數(shù)在[0，4]上單調(diào)遞增；在(4，＋∞)上單調(diào)遞減，因此，y＝－x3＋6x2(x≥0)的最大值為－43＋6×42＝32.故選A.3．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|<1)(

)A．有最大值，但無(wú)最小值B．有最大值，也有最小值C．無(wú)最大值，但有最小值D．既無(wú)最大值，也無(wú)最小值答案：D解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，無(wú)最大值和最小值．故選D.

題型探究·課堂解透

x1(1，2)2(2，＋∞)ef′(x)

－0＋

f(x)1單調(diào)遞減ln2單調(diào)遞增【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法鞏固訓(xùn)練1

求函數(shù)f(x)＝(x－1)ex在區(qū)間[－1，2]上的最大值和最小值．

x－1(－1，0)0(0，a)a(a，1)1f′(x)

＋0－0＋

f(x)↗b↘↗

【方法總結(jié)】已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問(wèn)題．鞏固訓(xùn)練2

若f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值為3，最小值為－29，求a、b的值．解析：∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，∴f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，∵x∈[－1，2]，∴x＝0，∵a>0，∴f(x)，f′(x)隨x變化情況如下表：∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最大值f(x)max＝f(0)＝b，∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最大值為3，∴f(x)max＝f(0)＝b＝3.x(－1，0)0(0，2)f′(x)＋0－f(x)↗最大值3↘又∵f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3且a>0，∴f(2)<f(－1)，∴當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取最小值f(x)min＝f(2)＝－16a＋3，∵f(x)＝ax3－6ax2＋b(a>0)，x∈[－1，2]的最小值為－29，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，∴a＝2.綜上所述：a＝2，b＝3.題型3利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例3已知函數(shù)f(x)＝lnx－x.(1)求f(x)的最大值；(2)證明：lnx<x<ex(x>0)．

【方法總結(jié)】待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性即可得證．鞏固訓(xùn)練3

求證：x>1時(shí)，x－1<xlnx.證明：要證x>1時(shí)，x－1<xlnx，只需證xlnx－x＋1>0即可，設(shè)g(x)＝xlnx－x＋1，(x>1)，則g′(x)