【數(shù)學(xué)】湖南省婁底市漣源市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月分班學(xué)科考試試題（解析版）

湖南省婁底市漣源市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月分班學(xué)科考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榧?，，所?故選：A.2.若，且為第一象限角，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋覟榈谝幌笙藿?，所以?故選：C.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：A.4.若，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此最小值為2.故選：B.5.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】“任一個(gè)都成立”的否定為“存在一個(gè)不成立”，故命題的否定為：，.故選：B.6.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)镽，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)，由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意.故選：D.7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，且，∴，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，∴，∴.故選：A.8.甲、乙分別解關(guān)于x的不等式．甲抄錯(cuò)了常數(shù)b，得到解集為；乙抄錯(cuò)了常數(shù)c，得到解集為．如果甲、乙兩人解不等式的過(guò)程都是正確的，那么原不等式解集應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由韋達(dá)定理得，即，故不等式為，解集為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，毎小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)，其中，則下列關(guān)系中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由于，故兩邊同乘以b，即，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，不成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，故，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則，故，故，D正確故選：ACD.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)B.“”是“”的充分不必要條件C.函數(shù)的最小正周期為D.函數(shù)的最小值為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，令，得，此時(shí)，該函數(shù)圖像恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，“”是“”的充分不必要條件顯然正確，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)最小正周期為顯然正確，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)解，故取不到最小值2，即函數(shù)的最小值不為2，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.若，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】，∵，則，∴，對(duì)C，，C對(duì)；對(duì)A，，，A對(duì)；對(duì)B，，B錯(cuò)；對(duì)D，，D對(duì).故選：ACD.12.已知函數(shù)則以下說(shuō)法正確的是（）A.若，則是上的減函數(shù)B.若，則有最小值C.若，則的值域?yàn)镈.若，則存在，使得【答案】ABC【解析】對(duì)于A，若，，在上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B，若，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則有最小值1，故B正確；對(duì)于C，若，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則的值域?yàn)椋蔆正確；對(duì)于D，若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以不存在，使得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.___________.【答案】3【解析】.故答案為：3.14.已知，則______________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則.故答案為：.15.已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為_(kāi)_________.【答案】【解析】記扇形的半徑為，因?yàn)閳A心角，弧長(zhǎng)，所以，即，解得，所以扇形的面積.故答案為：.16.某公園設(shè)計(jì)了一座八邊形的綠化花園，它的主體造型平面圖（如圖2）是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為的十字型區(qū)域，計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為99元/；在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為8元/；在四個(gè)矩形（圖中陰影部分）上不做任何設(shè)計(jì)．設(shè)總造價(jià)為S（單位：元），AD長(zhǎng)為x（單位：m），則綠化花園總造價(jià)S的最小值為_(kāi)_____元．【答案】1440【解析】設(shè)長(zhǎng)為，則，即，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取最小值為1440.故答案：1440.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.計(jì)算：（1）；（2）求函數(shù)的定義域.解：（1）.（2）由知，函數(shù)有意義的條件為，易知指數(shù)函數(shù)在R上增函數(shù)，所以，解得，于是，即，故函數(shù)的定義域?yàn)?18.已知．（1）求的值；（2）已知，求的值．解：（1）由誘導(dǎo)公式得，所以．（2）由（1）得，又，即，所以．19.已知函數(shù)，其中且.（1）判斷的奇偶性；（2）若，解關(guān)于x的不等式.解：（1）因?yàn)榈亩x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù).（2）當(dāng)時(shí)，由可得，所以，故，故不等式的解集為．20.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最小值及單調(diào)減區(qū)間.解：(1)，所以的最小正周期為.(2)因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，由，得，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.21.某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為．（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？（2）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？解：（1）該單位每月的月處理成本：，因，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，即，所以該單位每月處理量為200噸時(shí)，才能使月處理成本最低，月處理成本最低是60000元.（2）由題意可知：，每噸二氧化碳的平均處理成本為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以該單位每月處理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低，為200元．22.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求值；（2）求在上的解析式；（3）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以.（2）由（1