2024屆黑龍江省大慶市讓胡路區(qū)鐵人中學(xué)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2024屆黑龍江省大慶市讓胡路區(qū)鐵人中學(xué)高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的值為()A. B. C. D.2.已知雙曲線的漸近線方程為,且其右焦點(diǎn)為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.3.函數(shù)的部分圖象大致是()A. B.C. D.4.已知是偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,,則的解集是A. B.C. D.5.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,則雙曲線的離心率為()A. B. C.3 D.46.設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.8.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.9.若圓錐軸截面面積為,母線與底面所成角為60°,則體積為()A. B. C. D.10.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為11.已知函數(shù),若,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.12.已知函數(shù),其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,為了得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)()A.先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)保持不變B.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)保持不變C.先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)保持不變D.先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)保持不變二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是某幾何體的三視圖,俯視圖中圓的兩條半徑長(zhǎng)為2且互相垂直,則該幾何體的體積為________.14.在中,已知,則的最小值是________.15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記為的前n項(xiàng)和,若,,則________.16.函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,為邊上一點(diǎn),,.(1)求;(2)若,,求.18.(12分)已知函數(shù),,且.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的減區(qū)間;(2)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是,試比較,與的大小,并說(shuō)明理由.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2,記f(x)(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;(Ⅱ)若正實(shí)數(shù)a,b滿足1a+120.(12分)2019年底,北京2022年冬奧組委會(huì)啟動(dòng)志愿者全球招募,僅一個(gè)月內(nèi)報(bào)名人數(shù)便突破60萬(wàn),其中青年學(xué)生約有50萬(wàn)人.現(xiàn)從這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中,按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語(yǔ)水平測(cè)試,所得成績(jī)(單位:分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計(jì)在這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中,英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人,記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為X,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò),現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000),并在每組中隨機(jī)選取個(gè)人作為聯(lián)絡(luò)員,要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù),以頻率作為概率,給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)21.(12分)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形,且平行四邊形的周長(zhǎng)和最大面積分別為8和.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為,當(dāng)點(diǎn)在以線段為直徑的圓上時(shí),求直線的方程.22.(10分)在①;②;③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上,并解答相應(yīng)的問(wèn)題.在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足________________,,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】試題分析:由題意得,,所以,,所求雙曲線方程為.考點(diǎn):雙曲線方程.3、C【解析】

判斷函數(shù)的性質(zhì),和特殊值的正負(fù),以及值域,逐一排除選項(xiàng).【詳解】,函數(shù)是奇函數(shù),排除,時(shí),,時(shí),,排除,當(dāng)時(shí),,時(shí),,排除,符合條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,屬于基礎(chǔ)題型,一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性,零點(diǎn),特殊值的正負(fù),以及單調(diào)性,極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).4、D【解析】

先由是偶函數(shù),得到關(guān)于直線對(duì)稱;進(jìn)而得出單調(diào)性,再分別討論和,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以關(guān)于直線對(duì)稱;因此,由得;又在上單調(diào)遞減,則在上單調(diào)遞增;所以,當(dāng)即時(shí),由得,所以,解得;當(dāng)即時(shí),由得,所以,解得;因此,的解集是.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)應(yīng)不等式,熟記函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可,屬于常考題型.5、A【解析】

根據(jù)題意,由拋物線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo),由此可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),由雙曲線的幾何性質(zhì)可得,解可得,由離心率公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,拋物線的焦點(diǎn)為,則雙曲線的焦點(diǎn)也為,即,則有,解可得,雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,關(guān)鍵是求出拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到,由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定所處象限.【詳解】由得:,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解,涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、D【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價(jià)于,作直線,向上平移,易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)最大,所以,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法.9、D【解析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由軸截面面積為可得半徑,再利用圓錐體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由已知,,解得,所以圓錐的體積.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積的計(jì)算,涉及到圓錐的定義,是一道容易題.10、C【解析】

根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計(jì)算可得.【詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點(diǎn),底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問(wèn)題,屬于中檔題.11、C【解析】試題分析:由題意知,當(dāng)時(shí),由,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即等號(hào)是成立,所以函數(shù)的最小值為,當(dāng)時(shí),為單調(diào)遞增函數(shù),所以,又因?yàn)?,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故選C.考點(diǎn):函數(shù)的綜合問(wèn)題.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問(wèn)題,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查,試題思維量大,屬于中檔試題,著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵.12、D【解析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,得,進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,得,即,解得,所以,,故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查圖像變換,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、20【解析】

由三視圖知該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)半球的四分之三的組合,利用球體體積公式、圓柱體積公式計(jì)算即可.【詳解】由三視圖知,該幾何體是由一個(gè)半徑為2的半球的四分之三和一個(gè)底面半徑2、高為4的圓柱組合而成,其體積為.故答案為:20.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體體積,考查學(xué)生空間想象能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道容易題.14、【解析】分析:可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為:,然后再結(jié)合余弦定理整理為,再由cosC的余弦定理得到a,b的關(guān)系式,最后利用基本不等式求解即可.詳解:已知,可得,將角A,B,C的余弦定理代入得,由,當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào),故cosC的最小值為.點(diǎn)睛:考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用,能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.15、127【解析】

已知條件化簡(jiǎn)可化為,等式兩邊同時(shí)除以,則有,通過(guò)求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.16、1.【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)4【解析】

(1),利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可;(2)設(shè),在中,用正弦定理將用x表示,在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】(1)∵,∴,所以,.(2)∵,∴設(shè),,在中,由正弦定理得,,∴,∴,∵,∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.18、(1)(2)詳見(jiàn)解析(3)【解析】

試題分析:(1)當(dāng)時(shí),,由得減區(qū)間;(2)因?yàn)?,所以,因?yàn)樗?,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)因?yàn)?,,所以試題解析:(1)當(dāng)時(shí),,由得減區(qū)間;(2)法1:,,,所以,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;法2:,,是開口向上的二次函數(shù),所以,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(3)因?yàn)椋?,又在和增,在減,所以.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)減區(qū)間,二次函數(shù)與二次方程關(guān)系19、(Ⅰ){x|-3≤x≤2}(Ⅱ)見(jiàn)證明【解析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點(diǎn)分段求解不等式的解集即可;(Ⅱ)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(Ⅰ)①當(dāng)x>1時(shí),f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5,即x≤2,∴1<x≤2;②當(dāng)-2≤x≤1時(shí),f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5,∴-2≤x≤1;③當(dāng)x<-2時(shí),f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5,即x≥-3,∴-3≤x<-2.綜上所述,原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.(Ⅱ)∵f(x)=x-1當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時(shí),等號(hào)成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a當(dāng)且僅當(dāng)2a×1又1a+1b=∴2a【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,柯西不等式及其應(yīng)用,絕對(duì)值三角不等式求最值的方法等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20、(Ⅰ)萬(wàn);(Ⅱ)分布列見(jiàn)解析,;(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)比例關(guān)系直接計(jì)算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為,計(jì)算概率得到分布列,再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.(Ⅲ)英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為,故,解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語(yǔ)成績(jī)?cè)诜忠陨系挠腥?,故人?shù)為:萬(wàn)人.(Ⅱ)8名男生中,測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的有人,的可能取值為:.,,.故分布列為:.(Ⅲ)英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為,故,故.故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了樣本估計(jì)總體,分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.21、(1)(2)或【解析】

(1)根據(jù)題意計(jì)算得到,,得到橢圓方程.(2)設(shè),聯(lián)立方程得到,根據(jù),計(jì)算得到答案.【詳解】(1

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