浙江省溫州市瑞安第五中學2022-2023學年高三數(shù)學理月考試卷含解析

浙江省溫州市瑞安第五中學2022-2023學年高三數(shù)學理

月考試卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.己知正項的等比數(shù)列（41滿足與=fl6+2dt5,若存在兩項巴?,,使得

^^=4%則需［的最小值為（）

243

A3B3C2

D2

參考答案：

C

2.某地區(qū)在六年內(nèi)第工年的生產(chǎn)總值/（單位：億元）與x之間的關(guān)系如圖所示，則下列

四個時段中，生產(chǎn)總值的年平均增長率最高的是（）

（A）第一年到第三年（B）第二年到第四年（C）第三年到第五年（D）第四年到第六年

參考答案：

A

試題分析：由圖可知3-4-5這一段，增長率明顯偏低，5-6雖然高，但“分散到”六年平

均就不高了.

考點：年平均增長率

K

3.已知向量a=(cosa,-2),b=(sina,1),且b,則tan(a-4)等于

()

A.3B.-3C.3D.3

參考答案：

B

【考點】平面向量共線(平行)的坐標表示；兩角和與差的正切函數(shù).

【分析】根據(jù)兩個向量共線的充要條件，得到關(guān)于三角函數(shù)的等式，等式兩邊同時除以

cosa,得到角的正切值，把要求的結(jié)論用兩角差的正切公式展開，代入正切值，得到結(jié)

果.

【解答】解：

/.cosa+2sina=0,

_工

/.tana=2,

a--

tan(4)

tand-1

=1+tanCl

二一3,

故選B

4.(2009廣東卷理)一質(zhì)點受到平面上的三個力耳?瑪，瑪(單位：牛頓)的作用

而處于平衡狀態(tài).已知招，用成6小角，且耳，4的大小分別為2和4,則4的

大小為

A.6B.2C.2小D.2。

參考答案：

D

解析用=片、居-2P￡co$(1800-60°)=28,所以5=26,選口

5.設(shè)｛m｝是等差數(shù)列，下列結(jié)論一定正確的是（)

A.若q+，>0,則8.若4+%<0,則

C若。則斥D.若.<0,則（._.）（巧一巧）<0

參考答案：

C

【分析】

對選項分別進行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】若的+。2>0,則2ai+d>0,“2+43=2G+3d>2d,d>0時,結(jié)論成立，即A不正

確；

對于B選項，當?,■分別為-4,-1,2時，滿足0+03<0,但°2+的=1>0，故8不

正確；

又｛斯｝是等差數(shù)列，0<。|〈。2，2。2=0+的>2丫公￡,...色―''"，即C正確;

若4|<0,則（。2-41）（。2-。3）--即。不正確.

故選：C.

【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的應用，考查分析問題的能力，比較基礎(chǔ).

則Ac3=

6.已知集合、,則4nB=

A.H）B.（。#

D.0

參考答案:

A

7.已知函數(shù),8=43”?◎的圖象關(guān)于直線“一T對稱，則，的最小正值等于

（）

?■

A.IB.4C.

<￡

3D.2

參考答案:

D

8.集合A=-=J"+1016j集合B={y[y=l%x”H,則

工cCtB=（）

A.[2-3]B.（1，2]C.[3,8]

D.四

參考答案：

D

略

9.已知平面內(nèi)有一點尸及一個AA3C,若或+而+所=而，則

4點P在山超C內(nèi)部8.點？在線段48上

C.點F在線段上D點P在線段4c上

參考答案：

D

略

10.《九章算術(shù)》有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十一尺，第二

日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問第十日所織尺數(shù)為（）

A.6B.9C.12D.15

參考答案：

D

【考點】等差數(shù)列的前n項和.

【分析】設(shè)此數(shù)列為{a.},由題意可知為等差數(shù)列，公差為d.利用等差數(shù)列的前n項和

公式和通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)此數(shù)列為{aj,由題意可知為等差數(shù)列，公差為d.

則S?=21,az+a.s+agH15，

7X6

則7ai+2d=21,3ai+12d=15,

解得a.=-3,d=2.

aio=-3+9X2=15.

故選：D.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

II.二項式(x+y)5的展開式中，含的項的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

參考答案：

10

略

12.

已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+6x-7的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為

參考答案：

答案：(1,-3)

解析：設(shè)f(x)對稱中心為P(x(),y()),A(xj,yi),B(X2,y2)是圖象上關(guān)于P對稱兩點,由對

稱性知，f(x)在X1,X2處斜率相等，令為k。貝=-6K+6=*，g|j3X2-6X+6-

k=0,

X]+叼=2XQ=2=/=11％=/(％)=/(1)=-3

故對稱中心為(1,-3)

認x<%>曲川

13.已知函數(shù)Ihg?(x+l)+l,x>?在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方

程’3恰有兩個不相等的實數(shù)解，則。的取值范圍是.

參考答案:

4a-313

試題分析：由函數(shù),8在R上單調(diào)遞減得一工一N''W'2‘°’彳，又方程

3恰有兩個不相等的實數(shù)解，所以a37,因此。的取值

范圍是

八、2,-a.x20

=,

/W3A

14.已知函數(shù)U+"+a,x<°有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是

參考答案:

a>4

略

15.已知函數(shù)/5）="+蘇+cx+d（awQ）的對稱中心為MSOJ。），記函數(shù)/（x）的

導函數(shù)為/'（X）,/'（X）的導函數(shù)為了"（X）,則有了“（?。?0.若函數(shù)

/(x)=xJ-3x3

則可求得:（Wb，島卜+/（磊）端卜

參考答案:

-8046

略

16.設(shè)實數(shù)公、叼、…、,中的最大值為max{孫X?…，xJ,最小值

mm卜I，孫…，&）,設(shè)AABC的三邊長分別為&b、c,且aWSSc,設(shè)AA5c的傾

abc\.\abc

—>mm>

）bca}16<：4」，設(shè)4=2,則，的取值范圍是.

參考答案：

[L軍）

略

17.拋物線/=的'的準線方程是.

參考答案：

1

y=--

/32

【知識點】拋物線

a2x2=-y

因為得8

y=——1

所以，準線方程為-32

y----1

故答案為：-32

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.在平面直角坐標系*'中，動點P到兩點（百，°）,的距離之和等于4,

設(shè)產(chǎn)

的軌跡為曲線C,直線/過點月（】，°）且與曲線（?'交于力，"兩點.

（1）求曲線C的軌跡方程；

（2）是否存在△?08面積的最大值，若存在，求出△僅的面積；否則，說明理由.

參考答案：

解.（I）由橢圓定義可知，點尸的軌跡C是以（百，°）,°）為焦點，長半軸長為2

的橢圓...............................................................2分

故曲線（?的方程為4'..............................................................................4分

（II）存在△面積的最大值.........................................5分

因為直線/過點月（1，°）,可設(shè)直線/的方程為X;I或尸二°（舍）.

x2

則Xtti\-1

整理得<w--4|v--2/w>-3-0.............................6分

由A(-2w)--I2(w'+4)>0.

設(shè)小卬>).B(x,y.)

m+2\m'+3m-2\/jr-3

解得上一m'4一,九—一一.

4vX.；

則>，一目4.

因為J4問一

2G:-3______2______

"4、,內(nèi)，「|

\in：J......................9分

設(shè)則―4,門6.

則X"）在區(qū)間八；38）上為增函數(shù).

Sm▼（S\-

所以‘一2,當且僅當加一0時取等號，即’'-6a2.

亙

所以S'.AS的最大值為-T....................................................12分

19.設(shè)函數(shù)，（勸=2+￡.碗（。，btR）的導函數(shù)為/3）,已知，，巧是的兩個不同

的零點.

（1）證明：/＞弘；

(2)當6=0時，若對任意x>0,不等式恒成立，求”的取值范圍;

(3)求關(guān)于x的方程2的實根的個數(shù).

參考答案:

⑴見解析；⑵[T*0)；(3)1個.

【分析】

(1)求函數(shù)的導數(shù)，利用4=422-12b>0,得證；

Inxlax

(2)分離參數(shù)a,所以aNX-x對任意x>0恒成立，令新函數(shù)設(shè)g(x)=x-x求

最值即可，或采用x3+ax2-xlnx>0時求左側(cè)最值亦可.

(3)轉(zhuǎn)化函數(shù)求零點個數(shù)可得結(jié)論.

【詳解】(1)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,bGR)的導函數(shù)為f"(x)=3x2+2ax+b.

已知Xl，X2是f(X)的兩個不同的零點，設(shè)X1<X2，

所以4=42?-12b>0,所以：a?>3b得證；

(2)當b=0時，對任意x>0,f(x)Nxlnx恒成立,

所以x3+ax2>xlnx,BPx3+ax2-xlnx>0,x2+ax-lnx>0對任意x>0恒成立，

lux

所以a>x-x對任意x>0恒成立，

lux-1-lnx_1-lax-x3

-8W=-，-----1=--------j-----

設(shè)g(x)=JC-X,則X?,

1

令h(x)=1-Inx-x2,則h'(x)=-x-2x<0,

所以h(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，注意到h(1)=0,

當xe(0,1)時，h(x)>0,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當xC(],+oo)時，H(x)<0,g(x)<0,所以g(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞減，

所以，當x=l時，g(x)有最大值g(1)=-1,

所以a的取值范圍為[-1,+oo)；

⑶由題意設(shè)FOO）八苧（"F

則原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）的零點的個數(shù),

因為導函數(shù)為f（x）=3x2+2ax+b,已知xi，X2是f（x）的兩個不同的零點,

所以：23'I2J"I3）3，所以：

田（4==3/+2sq=K*?/0

所以F（x）在（0,+oo）上單調(diào)遞增，注意到F（xi）=0,所以F（x）在（0,+00）上

存在唯一零點X1,

關(guān)于X的方程3/（空卜F??。?/p>

有1個實根,

【點睛】本題考查函數(shù)的極值，最值的綜合應用，函數(shù)的零點判斷，構(gòu)造新函數(shù)求最值的

特點，屬于難題.

n+ll

20.若數(shù)列｛aj中,a.,a*3n|an

a.

（I）證明：｛n|｝是等比數(shù)列，并求｛aj的通項公式;

（H）若3｝的前n項和為S”求證S.<V

參考答案:

【考點】數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定.

【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；作差法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；不等式的解法及應用.

an+l_1|目

【分析】（I）由題意可得不『二》：結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證，再由等比數(shù)

列的通項公式即可求得｛aj的通項公式；

（II）運用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理可得S“，再由不等式的性質(zhì)

即可得證.

』n+l|

【解答】（I）證明：a,=3,a*3n|a“

an+11an

即有n+1=3r?n,

(II)證明：｛a?)的前n項和為S?,

13

即有S?=l?))3?(3)3+-+n?(3|)

則sT

【點評】本題考查等比數(shù)列的定義的運用，考查數(shù)列的通項公式的求法，同時考查數(shù)列的

求和方法：錯位相減法，以及等比數(shù)列的求和公式的運用，屬于中檔題.

21,某大型公益活動從一所名牌大學的四個學院中選出了18名學生作為志愿者，參加相關(guān)

的活

動事宜.學生來源人數(shù)如下表:

學院外語學院生命科學學化工學院藝術(shù)學院

院

(I)若從這18名學生中隨機選出兩名，求兩名學生來自同一學院的概率；

(D)現(xiàn)要從這18名學生中隨機選出兩名學生向觀眾宣講此次公益活動的主題.設(shè)其中

來自外語學院的人數(shù)為4,令7=?4+1,求隨機變量？的分布列及數(shù)學期望

參考答案：

解：(I)設(shè)“兩名學生來自同一學院”為事件力，

心)=

則W=5

2

即兩名學生來自同一學院的概率為5.................................4分

(U)4的可能取值是對應的7可能的取值為1,3,5

%=笏=抬=1)=萼=56

153

C22

&7=5)—喉/