開普勒定律證明

顯示↓圖示遵守開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的兩個(gè)行星軌道與。(1)第一個(gè)行星的橢圓軌道焦點(diǎn)是與，第二個(gè)行星的橢圓軌道焦點(diǎn)是與。太陽的位置是在點(diǎn)。(2)A1與A2是兩個(gè)面積相等的陰影區(qū)域。太陽與第一個(gè)行星的連線，掃過這兩個(gè)陰影區(qū)域，所需的時(shí)間相等。(3)各個(gè)行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的比率為；這里，與分別為第一個(gè)行星與第二個(gè)行星的半長軸長度。開普勒定律是開普勒所發(fā)現(xiàn)、關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的定律。他於1609年在他出版的《新天文學(xué)》科學(xué)雜誌上發(fā)表了關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的兩條定律，又於1618年，發(fā)現(xiàn)了第三條定律。開普勒很幸運(yùn)地能夠得到著名丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫所觀察與收集、且非常精確的天文資料。大約于1605年，根據(jù)布拉赫的行星位置資料，開普勒發(fā)現(xiàn)行星的移動(dòng)遵守著三條相當(dāng)簡單的定律。在天文學(xué)與物理學(xué)上、開普勒的定律給予亞里士多德派與托勒密派極大的挑戰(zhàn)。他主張地球是不斷地移動(dòng)的；行星軌道不是周轉(zhuǎn)圓(epicycle的，而是橢圓形的；行星公轉(zhuǎn)的速度不等恒。這些論點(diǎn)，大大地動(dòng)搖了當(dāng)時(shí)的天文學(xué)與物理學(xué)。經(jīng)過了幾乎一個(gè)世紀(jì)披星戴月，廢寢忘食的研究，物理學(xué)家終于能運(yùn)夠用物理理論解釋其中的活動(dòng)。牛頓利用他的第二定律和萬有引力定律，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地証明了開普勒定律，也讓人們了解其中的物理意義。開普勒定律開普勒的三條行星運(yùn)動(dòng)定律改變了整個(gè)天文學(xué)，徹底摧毀了托勒密復(fù)雜的宇宙體系，完善并簡化了哥白尼的日心說。開普勒第一定律開普勒第一定律開普勒第一定律，也稱橢圓定律：每一個(gè)行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽那么處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)中。開普勒第二定律開普勒第二定律開普勒第二定律，也稱面積定律：在相等時(shí)間內(nèi)，太陽和運(yùn)動(dòng)著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。這一定律實(shí)際揭示了行星繞太陽公轉(zhuǎn)的角動(dòng)量守恒。用公式表示為。開普勒第三定律開普勒第三定律開普勒第三定律，也稱調(diào)和定律：各個(gè)行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。由這一定律不難導(dǎo)出：行星與太陽之間的引力與半徑的平方成反比。這是牛頓的萬有引力定律的一個(gè)重要根底。用公式表示為；這里，是行星公轉(zhuǎn)軌道半長軸，是行星公轉(zhuǎn)周期，是常數(shù)。數(shù)學(xué)導(dǎo)引開普勒定律是關(guān)于行星環(huán)繞太陽的運(yùn)動(dòng)，而牛頓定律更廣義的是關(guān)于幾個(gè)粒子因萬有引力相互吸引而產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)。在只有兩個(gè)粒子，其中一個(gè)粒子超輕于另外一個(gè)粒子，這些特別狀況下，輕的粒子會(huì)環(huán)繞重的粒子移動(dòng)，就好似行星根據(jù)開普勒定律環(huán)繞太陽的移動(dòng)。然而牛頓定律還容許其它解答，行星軌道可以呈拋物線運(yùn)動(dòng)或雙曲線運(yùn)動(dòng)。這是開普勒定律無法預(yù)測到的。在一個(gè)粒子并不超輕于另外一個(gè)粒子的狀況下，依照廣義二體問題的解答，每一個(gè)粒子環(huán)繞它們的共同質(zhì)心移動(dòng)。這也是開普勒定律無法預(yù)測到的。開普勒定律，或者是用幾何語言，或者是用方程式，將行星的坐標(biāo)及時(shí)間跟軌道參數(shù)相連結(jié)。牛頓第二定律是一個(gè)微分方程式。開普勒定律的導(dǎo)引涉及解微分方程式的藝術(shù)。我們會(huì)先導(dǎo)引開普勒第二定律，因?yàn)殚_普勒第一定律的導(dǎo)引必須建立于開普勒第二定律。開普勒第一定律導(dǎo)引設(shè)定。這樣，角速度是。隨時(shí)間微分與隨角度微分的關(guān)系為。隨時(shí)間微分徑向距離：。再微分一次：。代入徑向運(yùn)動(dòng)方程式(3)，，。將此方程式除以，那么可得到一個(gè)簡單的\o"微分方程"常係數(shù)非齊次線性全微分方程式來描述行星軌道：。特征方程式為。求解剩馀的\o"微分方程"常係數(shù)齊次線性全微分方程式，。其特解方程式為；這里，與都是任意積分常數(shù)。綜合特征方程式與特解方程式，。選擇坐標(biāo)軸，讓。代回，。假假設(shè)，那么所描述的是橢圓軌道。所以，開普勒第一定律是正確的。開普勒第二定律導(dǎo)引牛頓萬有引力定律說明：任意兩個(gè)粒子由通過連線方向的力相互吸引。該引力的的大小與它們的質(zhì)量乘積成正比，與它們距離的平方成反比。由于太陽超重于行星，我們可以假設(shè)太陽是固定的。用方程式表示，；這里，是太陽作用於行星的萬有引力、是行星的質(zhì)量、是太陽的質(zhì)量、是行星相對于太陽的位移向量、是的單位向量。牛頓第二定律聲明：物體受力後所產(chǎn)生的加速度，和其所受的淨(jìng)力成正比，和其質(zhì)量成反比。用方程式表示，。合并這兩個(gè)方程式，。(1)思考位置向量，隨時(shí)間微分一次可得到速度向量，再微分一次那么可得到加速度向量：，。(2)在這里，我們用到了單位向量微分方程式：，。合并方程式(1)與(2)，可以得到向量運(yùn)動(dòng)方程式：取各個(gè)分量，我們得到兩個(gè)常微分方程式，一個(gè)是關(guān)于徑向加速度，另一個(gè)是關(guān)于切向加速度：，(3)。(4)導(dǎo)引開普勒第二定律只需切向加速度方程式。試想行星的角動(dòng)量。由于行星的質(zhì)量是常數(shù)，角動(dòng)量隨時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為。角動(dòng)量也是一個(gè)運(yùn)動(dòng)常數(shù)，即使距離與角速度都可能會(huì)隨時(shí)間變化。從時(shí)間到時(shí)間掃過的區(qū)域，。行星太陽連線掃過的區(qū)域面積相依于間隔時(shí)間。所以，開普勒第二定律是正確的。開普勒第三定律導(dǎo)引在建立牛頓萬有引力定律的概念與數(shù)學(xué)架構(gòu)上，開普勒第三定律是牛頓依據(jù)的重要線索之一。假假設(shè)我們接受牛頓運(yùn)動(dòng)定律。試想一個(gè)虛擬行星環(huán)繞著太陽公轉(zhuǎn)，行星的移動(dòng)軌道恰巧呈圓形，軌道半徑為。那么，太陽作用于行星的萬有引力為。行星移動(dòng)速度為。依照開普勒第三定律，這速度與半徑的平方根成反比。所以，萬有引力。猜測這大概是牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的思路，雖然我們并不能完全確定，因?yàn)槲覀儫o法在他的計(jì)算本裡，找到任何關(guān)于這方面的證據(jù)。行星環(huán)繞太陽〔焦點(diǎn)F1〕的橢圓軌道。開普勒第一定律說明，行星環(huán)繞太陽的軌道是橢圓形的。\o"橢圓"橢圓的面積是；這里，與分別為橢圓的半長軸與半短軸。在開普勒第二定律導(dǎo)引里，行星－太陽連線掃過區(qū)域速度為。所以，行星公轉(zhuǎn)周期為。(5)關(guān)于此行星環(huán)繞太陽，橢圓的半長軸，半短軸與近拱距〔近拱點(diǎn)A與引力中心之間的距離〕，遠(yuǎn)拱距〔遠(yuǎn)拱點(diǎn)B與引力中心之間的距離〕的關(guān)系分別為，(6)。(7)如果想要知道半長軸與半短軸，必須先求得近拱距與遠(yuǎn)拱距。