多模光纖波導(dǎo)

耦合：外耦合透鏡棱鏡光柵劈形全息外耦合透鏡光柵光纖錐全息波導(dǎo)耦合（耦合波理論）光纖波導(dǎo)焊接調(diào)制調(diào)制電光聲光磁光強度位相偏振波長頻率調(diào)制內(nèi)調(diào)制外調(diào)制強度位相（干涉）偏振波長頻率（多普勒效應(yīng)）法拉第克爾光彈第五章

普通光纖的基礎(chǔ)理論內(nèi)容提要

前言§1階躍折射率光纖的光線理論§2偏射光線的傳播§3光纖波導(dǎo)中的模式理論§4階躍光纖的標(biāo)量近似分析

前言1.光纖與光纖通信基本情況:占光學(xué)工業(yè)時間

產(chǎn)值比例1982年09.2%1985年20.7%2000年

46.0%圖1.1光電子技術(shù)主體發(fā)展圖1.2階躍折射率光纖的橫界面圖2.歷史的回顧

1854年，就認(rèn)識到光纖導(dǎo)光傳播的基本原理

—

全內(nèi)反射。十九世紀(jì)二十年代，制成了無包層的玻璃光纖；二十世紀(jì)五十年代，用包層可以改善光纖特性，當(dāng)時的主要目的是傳輸圖像。

1967年，N.S.Kapany，F(xiàn)iberOptics：PrinciplesandAplications(Academic，NewYork)

缺點：損耗大

α~1000dB/km光纖之父高錕１９６5年，高錕提出了用玻璃代替銅線的大膽設(shè)想：利用玻璃清澈、透明的性質(zhì)，使用光來傳送信號。他當(dāng)時的出發(fā)點是想改善傳統(tǒng)的通訊系統(tǒng)，使它傳輸?shù)男畔⒘扛唷⑺俣雀?。但高錕經(jīng)過理論研究，充分論證了光導(dǎo)纖維的可行性。不過，他為尋找那種“沒有雜質(zhì)的玻璃”也費盡周折。為此，他去了許多玻璃工廠，到過美國的貝爾實驗室及日本、德國，跟人們討論玻璃的制法。他說：所有的科學(xué)家都應(yīng)該固執(zhí)，都要覺得自己是對的，否則不會成功。后來，他發(fā)明了石英玻璃，制造出世界上第一根光導(dǎo)纖維，使科學(xué)界大為震驚。2009年高錕獲得諾貝爾獎七十年代：隨著光纖制造技術(shù)的突破，使損耗降低到~0.2dB/km（1.55μm附近）僅受瑞利散射損耗限制。1973年從理論上預(yù)言通過光纖的色散和非線性互作用可以產(chǎn)生光孤子；1980年從實驗上獲得了光孤子，將超短光脈沖壓縮到了6fs。

摻鉺光纖放大器

摻雜光纖激光器

受激喇曼散射

受激布里淵散射

光纖群速色散,自相位調(diào)制——

超短光脈沖的產(chǎn)生、壓縮和控制光纖通信領(lǐng)域的革命低損耗光纖非線性光纖光學(xué)新領(lǐng)域誕生

3.優(yōu)點：良好的傳導(dǎo)性能、巨大信息容量(一條光頻通路上同時可容納幾十億人通話，傳送上千套電視節(jié)目)。與金屬傳輸線相比:(1)機械方面:直徑細(xì)(μm)、重量輕(30g/km)、可繞性好(節(jié)省銅料、價格低廉，一公斤熔融硅棒可拉光纖幾百公里，100公里長18

路同軌電纜需銅12噸、鉛50噸)。

(2)電氣方面:電氣絕緣性好、無感應(yīng)。本身不輻射電磁場、噪聲信號。(3)化學(xué)方面:耐火、耐水性好，耐腐蝕性好(安全)。(4)傳輸特性方面:低損耗(0.2dB/km

1.55

μm，0.5dB/km1.3μm，2.5db/km

0.8μm)、寬頻帶(1GHz·km、2.5GHz·km)、無串音。5.光纖的分類 1從材料來分：（1）高純度石英（SiO2），0.2db/km（1500nm）（2）多組分玻璃，3.4db/km,840nm（3）塑料光纖，150db/km,650nm

（4）液芯光纖（5）晶體光纖2從模式來分：（1）單模光纖，芯徑4－10微米（2）多模光纖，芯徑50微米3從折射率分布來分：（1）階躍型光纖（2）梯度折射率型光纖4從制作方法來分：（1）CVD（化學(xué)氣相沉積法）

MCVD（改進(jìn)化學(xué)氣相沉積法）（2）雙坩鍋法（適用于制作多組分玻璃)5按傳輸偏振態(tài)來分：（1）保偏光纖（2）非保偏光纖6按結(jié)構(gòu)來分：（1）普通光纖（2）光子晶體光纖§1階躍折射率光纖的光線理論按照折射率分布:

1.

階躍型光纖:光纖中心芯到包層的折射率是突變的。其成本低，模間色散高，。階躍型光纖通常稱為普通光纖。

2.

漸變型光纖:光纖中心芯到包層的折射率是漸變的。1.1子午光線的傳播

3.子午面:在光纖中，通過光纖中心軸的任何平面。4.子午光線:位于子午面內(nèi)的光線.根據(jù)光的反射定律，入射光線和反射光線始終在同一平面內(nèi)。因此，子午光線經(jīng)過多次全反射后仍在原入射面內(nèi)，子午光線是(平面曲線)。5.偏射線:另一種光線不在一個平面里，不經(jīng)過波導(dǎo)的軸，它們碰到邊界時做內(nèi)部全反射，也和點平面邊界一樣，反射角等于入射角，(空間曲線)。

如圖1所示，n1，n2分別是纖芯和包層的折射率，n0為光纖周圍介質(zhì)折射率。設(shè)

圖1光纖的傳光原理光線通過光纖波導(dǎo)端面中心點A入射，進(jìn)入波導(dǎo)后按子午光線傳播，根據(jù)折射率定律，則:(1)當(dāng)入射角

大于界面臨界角，即:(2)光線在波導(dǎo)內(nèi)部作全反射。為了得到波導(dǎo)，外面激發(fā)的角度θ0必須滿足關(guān)系式:

(3)6.數(shù)值孔徑(N.A.):在一般情況下，n0＝1(空氣)，則子午光線對應(yīng)的最大入射角為:(4)它決定了子午光線孔徑角的最大值θmax，即代表光纖的集光本領(lǐng)。7.相對折射率差:因為纖芯和包層的折射率通常相差很小，

，所以可取。由(4)式可得:(5)

作為激光傳輸用的光纖波導(dǎo)，相對折射率差△值通常在1％~5％之內(nèi)。1.2幾何程長和全反射次數(shù)

1.幾何程長:單位長度光纖內(nèi)光路長度,用lm來表示，

2.總路程長度(光線在該光纖中所傳播):lm再乘上光纖的總長度，。一般來說，光線在光纖中經(jīng)過的光路長度大于光纖的長度。

圖.2光纖長度與路程的關(guān)系

如圖.2所示，與路程AB相對應(yīng)的纖維長度是AE，所以有:(6)當(dāng)n0＝1時，上式化為:(7)由(7)式看出，當(dāng)n1一定時，lm只決定于光線的外部激發(fā)角θ0而與光纖本身的粗細(xì)無關(guān)。3.全反射次數(shù)ηm

:光纖每單位長度上的反射次數(shù)，

4.總反射次數(shù)

:ηm乘以光纖的長度即可得出。

(8)式中d是纖芯的直徑，推導(dǎo)中假定n0=1。由(8)式可以看出ηm∝1/d，d小時ηm多1.3光纖彎曲對子午光線傳播的影響

光纖的特點之一是可以彎曲，但是這并不代表光纖就可以隨意彎曲。

聚合物光纖連接線

如圖3所示，子午光線由光纖直部和彎部的界面上X點進(jìn)入彎部，彎部的O點在光纖軸線上，OC=R為彎部的曲率半徑，d為纖維的直徑，、、各為子午光線在直部、彎部外表面和彎部內(nèi)表面的入射角可以考察彎曲部分中子午光線的傳播情況彎曲部分的、角不等于角，可以證明，而所以有可能變得小于臨界角，這時光線就要逸出外表面。證明如下:設(shè)X點離O點的坐標(biāo)為x，，在△

AXC中應(yīng)用正弦定理:

(9)在上式中，因為，所以即?！髟凇鰽BC內(nèi)應(yīng)用正弦定理有:

(10)同樣，因為，所以即。因此，當(dāng)R小到一定程度時，原來在直部能產(chǎn)生全反射的子午光線，到了彎部，便要從芯線彎曲部分外側(cè)面逸出。

R的減少還可能產(chǎn)生另外一種情形:子午光線只在外表面反射，而不在內(nèi)表面反射。如圖4所示。這時意味著已經(jīng)增大到1，在圖4子午線在外表面反射式(10)中，以代入，可解出:(11)當(dāng)R的值比式(11)中的值還要小時，便會發(fā)生子午光線只在外表面反射而不到內(nèi)表面反射的情形。

光纖彎曲后對θmax的影響。在式(9)中，當(dāng)x=－d/2時，與相差最大，即:(12)當(dāng)?shù)扔谂R界角，(恒大于)，這時可以計算相應(yīng)的θmax如下:(13)一般情形中，R》d，上式可化為:(14)可見光纖彎曲會使θmax值減小，即數(shù)值孔徑N.A.減小，從而使光纖的集光本領(lǐng)減弱。R越小，減弱越多。一般情況R》d，因而在彎曲不太大，彎曲次數(shù)不太多時，可忽略彎曲的影響。但是彎曲總要損失光能，對于長距離使用的通訊傳輸光纖，應(yīng)盡量避免不必要的彎曲，實際光纖在制造時，形成的微彎也會導(dǎo)致光能損失。光纖彎曲時，由于全反射條件不滿足，其透光量會下降，這時既要計算子午光線的全反射條件，又要推導(dǎo)偏射光線全反射條件，才能求出光纖彎曲時透光量和彎曲半徑之間的關(guān)系。

實驗表明，當(dāng)R/d<50時透光量已經(jīng)開始下降；當(dāng)R/d≈20時透光量開始明顯下降。1.4光纖端面傾斜效應(yīng)光纖的端面傾斜對傳播子午光線的影響:1)某些光纖束需要把整個光纖束的端面做成某種曲面狀。2)實際制造的光纖的端面與光纖軸線有一定的不垂直度。3）光纖切割的不垂直度。

光纖融接機和光纖切割機

圖5端面傾斜的光纖如圖5所示，光纖的輸入端面的法線NN’與軸線OO’有一個不為零的夾角，并且NN’在圖面的子午面內(nèi)。如果選取其他的截面，則由于NN’不在所選的截面之內(nèi)，入射光便成了斜光線；光纖端面傾斜時，最大孔徑角θmax與數(shù)值孔徑N.A.的關(guān)系。從圖5中可以看出:(15)由折射定律:(16)當(dāng)角等于臨界角時，有:(17)(18)代入式(16)后可得:

(19)將式(19)和式(4)比較，就看出端面傾斜角時對的影響，當(dāng)時式(19)便回到式(4)?，F(xiàn)在討論由法線另一側(cè)入射的子午光線，如圖6所示，這時有:(20)即:(21)由折射定律得:圖6從傾斜面另一側(cè)入射(22)

于是可以求出:

(23)把式(19)和式(23)合寫成:(24)當(dāng)n0＝1時，式(24)變成:(25)式(25)說明了θmax和N.A.的關(guān)系。在圖6中，當(dāng)θmax=/2時，如果全反射正好能產(chǎn)生，則相當(dāng)于光纖集光本領(lǐng)最大的情形，根據(jù)式(25)得到:(26)這是端面傾斜的光纖能夠收集朗伯光源所發(fā)出的全部光流時，N.A.的最大值，由式(26)可見數(shù)值孔徑N.A.在數(shù)值上是大于1的。光纖出射端面的傾斜引起出射光線角度的變化。從圖7中可以看出，原來平行于光纖中心軸的光線不再是以與端面垂直的方向出射，而是偏折了一個角度θ。圖7出射端面傾斜時光線的偏折對于正常的非傾斜出射端面，其出射光線對于光纖中心軸是對稱的。出射端面的傾斜使這種對稱性破壞了如果傾斜角度為，則偏折角θ可寫為:(27)

由于光纖出射端面的傾斜使光線的出射光錐偏折的現(xiàn)象，我們用圖8來形象說明。實際上我們也能觀察到這個結(jié)果。有時往往在光纖中心軸附近的一側(cè)觀察不到出射光，而把視線偏一個角度后就能看到出射的光。

圖8出射端面傾斜不同角度，出射光線的偏折1.5圓錐形光纖圓錐形光纖:如果直圓柱形光纖兩端的直徑不相等，并且其直徑隨長度線性變化。嚴(yán)格的說，每根光纖兩端的直徑都不可能完全相等，只是差別大小而已，但是這種直徑的差別對光的傳播是有影響的，尤其對于有些特殊應(yīng)用這種影響不能不考慮，因而對直圓柱形光纖的直徑變化有時就規(guī)定了一個范圍，不能超越，否則就不能應(yīng)用。另一方面，一定錐度的錐形光纖有聚光的能力，光線從小端入射，在大端出射光強度會提高。

圖9表示的是子午光線通過錐形光纖的光路。設(shè)ω為錐形光纖的錐角。由圖可知，在錐形光纖中，光線在纖芯和包層界面內(nèi)壁的反射次數(shù)增加逐漸減小。當(dāng)光線以θ角入射

圖9錐形光纖1θ于錐形光纖的大端時，折射角為θ1，在錐角ω=0時，纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射如下的數(shù)學(xué)式來表示角=90°－θ1

。由于錐角ω>0，所以光線在內(nèi)壁上發(fā)生第一次反射后，反射角就減小ω/2，從第二次反射開始，以后每次反射后，反射角就減小ω。

(28)又

(29)將式(29)代入式(28)可得:

(30)這個公式說明，當(dāng)光線從錐形光纖的大端入射時，全反射條件很容易被破壞。因為在光纖中發(fā)生全反射的條件是，而錐形光纖的反射角是一直在減小，所以總會在某一次反射后，全反射條件不滿足了。光線也就會從光纖的側(cè)壁逸出去。即使在錐角ω很小的情況下，只要反射次數(shù)足夠多，就會在某一次反射后出現(xiàn)，而使全反射條件受到破壞。同時，由于內(nèi)壁上的反射角逐步減小，光線從錐形光纖大端入射時，小端的出射光出現(xiàn)發(fā)散，這是由于此時出射光錐角比入射的大。反之，當(dāng)光線從錐形光纖小端入射時，從纖芯和包層界面內(nèi)壁上的反射角經(jīng)每次反射后就會增加，所以大多數(shù)的光線都會滿足全反射條件，這是和上面情況相反的。同樣此時的出射光錐角比入射的小，因而出射光又會聚作用。圖10就表示了這兩種情況。圖5.10錐形光纖大端與小端進(jìn)光的比較要使光線都能從光纖另一端出射，則應(yīng)滿足:

對于大端入射的情況:a1和a2分別時光纖出a1a2l射端(小端)和入射端(大端)的半徑，若，則由上式可得:這是一般情況下錐形光纖聚光條件，再利用:l是光纖長度，可得:上式為使錐形光纖聚光，光纖有最小長度l0另外，錐形光纖兩端孔徑角不一樣，大端孔徑角小，小端孔徑角大，兩者滿足關(guān)系式:式中:由此可見，錐形光纖可以改變孔徑角，因而可用于耦合。1.6光纖的集光本領(lǐng)數(shù)值孔徑是表征光纖集光能力大小的一個參數(shù)。數(shù)值孔徑越大即孔徑角越大，光纖的集光能力就越強，也就是說能進(jìn)入光纖的光通量就越多。光纖和普通的光學(xué)透鏡相比，它的數(shù)值孔徑大是一個顯著的特點。設(shè)光學(xué)透鏡的口徑為d，焦距為f，如圖5.11所示，透鏡數(shù)值孔徑可表示為:圖5.11透鏡的數(shù)值孔徑上式說明了光學(xué)透鏡的數(shù)值孔徑由f/d決定(f/d為f數(shù)。d/f稱為相對孔徑)。(31)n0=1時，f數(shù)與N.A.的關(guān)系如下表所示:

可看出在n0=1時光學(xué)透鏡要使孔徑角達(dá)到90°是很難做到的。但是光纖的數(shù)值孔徑可以做得很大。只要選取合適的芯材料和包層材料，其數(shù)值可以達(dá)到1。f數(shù)N.A.f/2.811°0.18f/1.915°0.26f/0.590°1

從式(4)可知，由于的數(shù)值可以大于1，從數(shù)學(xué)上來說，θmax的值只可能為90°，但從物理意義上來說，表明光纖的集光能力特別強，不但在n0=1時θmax可以達(dá)到90°，而且在n0>1時，θmax仍有可能達(dá)到90°，這在實際的應(yīng)用中是很有意義的。朗伯光源:發(fā)光強度dI∝cosθ,亮度與方向無關(guān)?，F(xiàn)在我們來計算光纖對朗伯光源發(fā)出的光的聚集能力。圖5.12朗伯光源的發(fā)光如圖12所示，朗伯光源處于半徑為r的半球面的球心O處，則通過立體角到(圖中環(huán)形陰影區(qū)域)的光通量dF為:(32)陰影區(qū)域的面積且于是可得:(33)由于光纖的可接受角范圍是0~θmax

，對于式(33)積分后有:由于從面光源O點發(fā)出的總光能流為，所以光纖的集光效率為。由上面的討論可以看出，光纖的數(shù)值孔徑和集光本領(lǐng)有密切關(guān)系，當(dāng)N.A.≤1時，子午光線的集光本領(lǐng)與數(shù)值孔徑N.A.的平方成正比；當(dāng)N.A.≥1時，集光本領(lǐng)達(dá)到最大值1。由于光纖的N.A.可以比光學(xué)鏡頭的大得多，所以與一般光學(xué)鏡頭比較，光纖的集光本領(lǐng)高。(34)§2偏射光線的傳播

偏射光線:是一些和光纖中心軸即不平行，也不相交的光線，它們和光纖中心軸是異面直線。偏射光線在光纖中進(jìn)行一次全反射，平面的方位就要改變一次。其光路軌跡是空間的螺旋折線，在端面上的投影可以是左旋折線，也可以是右旋折線，并且這些螺旋折線和光纖的中心軸是等距的。右旋左旋圖5.13斜光線在光纖端面上的投影

2.1全反射條件如圖14所示，QK為入射在光纖內(nèi)的斜光線，QK和光纖中心oo’是既不平行，又不相交的異面直線。H為K在橫截面(或端面)上的投影。∠QKH=

是斜光線和光纖軸之間的夾角，內(nèi)壁上的入射角∠KQT＝，軸傾角∠HQT=

是斜光線在入射點橫截面上的投影QH

圖5.14斜光線的全反射條件和法線QT之間的夾角。HT⊥OT，則QT垂直于KHT平面。這樣，△QTH，△QKT，△QKH均為直角三角形。在△QTH中，QT＝QHcos，在△QKH中，QK＝QH/sin，在△QKT中:

(35)上式說明這三個角度之間的關(guān)系。顯然光線在光纖內(nèi)壁發(fā)生全反射時是不變的，由于，而，這樣就可以得到斜光線的全反射條件為:(36)因此，在光纖中傳播的斜光線必須滿足如下條件:(37)如果用光線在光纖端面上入射角θ來代替折射角，則上式可以改寫成:(38)如果入射光線是子午光線，則QH和QT相重合，=0，公式變成:(39)我們從公式(38)就可以得到斜光線的數(shù)值孔徑為:

(40)由于cos≤1，因而斜光線的數(shù)值孔徑要比子午光線的數(shù)值孔徑大。由于的數(shù)值依賴于入射角θ的取向，所以在斜光線的情況下θmax總有可能為90°，但此時相應(yīng)的的數(shù)值應(yīng)滿足下式:(41)從式(40)可以得到軸傾角，令其為即有:(42)在全反射的條件下，的取值范圍為

討論偏射光線的傳播，可以使我們理解所謂子午孔徑外的黑帶現(xiàn)象。如果我們用范圍內(nèi)的平行光線入射于光纖的內(nèi)壁，則角的取值就是至90°的范圍，這樣，在光纖端面上就出現(xiàn)黑帶現(xiàn)象。利用公式(42)還可以求出在全反射時偏射光線到光纖中心軸之間的距離。在圖14中，作OM⊥QH，又OM⊥KH，所以O(shè)M垂直于偏射光線QK所在的平面，而OM就是偏射光線至光纖中心軸的距離，D為光纖直徑。在△OQM中:(43)如果，則OM即為我們所要求的斜光線到中心軸的最小距離，利用和的關(guān)系，上式可改寫為:化簡后得:(44)上式說明在發(fā)生全反射時，偏射光線至光纖中心軸有一個最小距離OM。這個距離和光纖的直徑，纖芯和包層的折射率及所在介質(zhì)的折射率有關(guān)。如果入射光線在光纖上位移時，也發(fā)生變化，在光纖界面內(nèi)壁上的全反射條件卻仍是不變的。2.2光路長度和全反射次數(shù)現(xiàn)在我們來求偏射光線通過光纖時的幾何程長和全反射次數(shù)。由圖14可知，單位長度中的幾何程長為:(45)比較(45)和(6)兩式，可以看出兩者是相同的，即l斜=lm。在θ角相等的情況下，斜光線和子午光線在光纖中的光路長度相同。

同樣，單位長度內(nèi)的全反射次數(shù)可寫為:(46)由于

(47)代入式(46)可得:(48)比較(48)和(8)兩式，可得:(49)上式說明偏射光線的全反射次數(shù)總是比子午光線多，它是和軸傾角密切相關(guān)的。在=0時，即在子午光線情況時，公式(49)和公式(8)是一致的?！?光纖波導(dǎo)中的模式理論

用幾何光學(xué)分析--簡單直觀的優(yōu)點，

--波動理論的初步近似。光纖的直徑減小到和入射光波長同數(shù)量級時，光的干涉和衍射等波動性質(zhì)十分明顯，

模:

具有確定空間和時間分布的電磁場分量(模)才能在光纖中傳播。這個模和光纖參數(shù)、入射光頻率和包層的性質(zhì)有關(guān)，并且是滿足光纖的一定邊界條件的麥克斯韋方程組的一個解。在光纖波導(dǎo)中導(dǎo)模:位相常數(shù)構(gòu)成有限數(shù)目的分立譜輻射模:位相常數(shù)構(gòu)成無限數(shù)目的連續(xù)譜。

在包層無限厚的普通光纖波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，光纖波導(dǎo)僅由折射率為n1的芯和折射率為n2的包層(無限延拓)組成。只要光纖波導(dǎo)的包層厚度遠(yuǎn)大于電磁波的穿透深度，這樣的光纖就可以當(dāng)做包層無限厚的光纖來處理。

正規(guī)波導(dǎo):光纖波導(dǎo)的折射率分布沿縱向(z向)不變，即。橫向分層均勻橫向分層非均勻光場可表示為分離形式:若不涉及光纖中的非線性，為常數(shù)，可略去，得:其中，為橫截面二維分布項，為縱向波動項。β為相移常數(shù)、縱向傳播常數(shù)。、都是復(fù)矢量，即有幅度、相位和方向，它表示了、沿光纖橫截面的的分布，稱為模式場。上式代入方程，特征解形式:為一個模式。光纖中的光場分布則是這些模式的線性組合:式中的ai，bi是分解系數(shù)，表示該模式的相對大小。一系列模式可以看成是一個光波導(dǎo)的場分布的空間譜。3.1標(biāo)量波動方程光是一種電磁波，因此，光在介質(zhì)中傳播應(yīng)滿足介質(zhì)中的麥克斯韋方程組，采用麥克斯韋方程組形式為:(50a)

(50b)(50c)(50d)這里表示電流密度矢量，是標(biāo)量電荷密度在無源場的情況下，=0，=0。對于均勻的、各向同性物質(zhì)，，。是介質(zhì)的相對磁化率，在非磁性材料中

=1，是相對介電常數(shù)。因此，當(dāng)光在內(nèi)部沒有場源、均勻的各向同性介質(zhì)中傳播時，麥克斯韋方程組可簡化為:(51a)(51b)(51c)(51d)為了應(yīng)用上的方便，我們將麥克斯韋方程組改寫成另外一種形式，對方程(51a)取旋度后，我們得到:(52)代入矢量等式:(53)就可以將方程(5.52)改寫成:

(54)解此波動方程式，得一復(fù)數(shù)形式的特解:(55)式中，表示光波的頻率，稱為波矢，它的方向代表了(55)式所表示的平面波的傳播方向，大小表示位相傳播的速度，，，n是介質(zhì)折射率，c是真空中的光速，對光波的磁場，同樣方法得:(56)由方程式(55)和(56)表示的平面波滿足:

，(57)于是，波動方程(54)可簡化為:(58)對于磁場有同樣的結(jié)果:(59)方程(58)和(59)稱為亥姆霍茲方程，是討論光在介質(zhì)中傳播問題的基本方程，在直角坐標(biāo)系(x，y，z)中，和的x，y，z分量均滿足亥姆霍茲方程的標(biāo)量形式:(60)

代表或的各個分量。光在有限大小的介質(zhì)中傳播，或在一個由折射率不同的幾種介質(zhì)所組成的物質(zhì)中傳播時，必須考慮不同介質(zhì)組成的界面處電磁場應(yīng)滿足的邊界條件:(61a)(61b)(61c)(61d)上式中的表示界面的法線方向。亥姆霍茲方程和邊界條件以及麥克斯韋方程組是研究光纖波導(dǎo)的基本出發(fā)點。5.3.2光纖波導(dǎo)中的模式模:

具有確定空間和時間分布的電磁場分量是光波導(dǎo)中的一個基本概念，它具有以下特性:(1)穩(wěn)定性:一個模式沿縱向傳輸時，其場分布形式不變，即沿z方向有穩(wěn)定的分布。(2)有序性:模式是波導(dǎo)方程的一系列特征解，是離散的，可以排序的。排序方法有兩種。一種是以傳播常數(shù)β的大小排序(β越大序號越小)，另一

種是以(x，y)兩個自變量排序，所以有兩列序號。(3)迭加性:光波導(dǎo)中總的場分布是這些模式的線性迭加。(4)正交性:一個正規(guī)光波導(dǎo)的不同模式之間滿足正交關(guān)系。對于圓柱形的光纖，取柱坐標(biāo)比較合適。圖5.15光波導(dǎo)的坐標(biāo)系如圖15所示，光纖的軸向為z，纖芯半徑為a，折射率為n1，包層折射率為n2，且n1＞n2。在整個波導(dǎo)結(jié)構(gòu)中，折射率分布均勻,沒有自由電荷及傳導(dǎo)電流，屬各向同性介質(zhì)。

(62)式中下標(biāo)(1)和(2)分別代表纖芯和包層區(qū)域。根據(jù)規(guī)則波導(dǎo)理論，只要求出縱向分量Ez、Hz，橫向場分量就可利用Ez、Hz求出。而Ez

、Hz滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程:(63a)(63b)因此，能夠沿光波導(dǎo)傳輸?shù)牟ㄐ突蚰Ｊ降膱龇植急仨殱M足齊次亥姆霍茲方程(58)式和(59)式，在r=a處滿足的邊界條件下面我們以Ez為例求解式(63)，Hz可按同樣方法處理。在圓柱坐標(biāo)中，方程(63)可寫成:(64)用分離變量法，令:(65)將式(65)代入式(64)并同除以得到:(66)可見決定Ez(z)的方程是:(67)令

β2＝k2-x2(68)則:(69)式中，β為縱向傳播常數(shù)，x為橫向位相常數(shù)。這是一個齊次常微分方程，如果我們只取沿z方向傳播的波，則式(69)的解為:(70)式(66)即變成:(71)可見決定的方程是:(72)上式也是齊次常微分方程，其解是:(73)式中m=0，1，2，…。離散常數(shù)m是包含零在內(nèi)的正整數(shù)，是初位相。則式(66)變成:(74)這就是著名的貝塞爾方程。它的解可以是各階貝塞爾函數(shù)。因為它是一個二階微分方程，它必定有兩個相互無關(guān)的解。但任何能在光波導(dǎo)中傳輸?shù)莫毩⒉ㄐ捅仨殱M足條件:r＜a時，Ez(r)有限；r＞a時，Ez(r)→0。根據(jù)貝賽爾函數(shù)的性質(zhì)，所能選取的解只能是:(75)式中Jm是貝塞爾函數(shù)，Km第二類修正貝塞爾函數(shù)。x1--纖芯內(nèi)的橫向位相常數(shù)x2--包層內(nèi)的衰減系數(shù)將式(5.70)、式(5.73)和式(5.75)代入式(5.65)，最后我們得到:

(r<a)(76)

(r>a)(77)

(78)(78)式?jīng)Qβ值的上下限,由波動方程沿軸向z的解代入亥姆霍茲方程(58)和(59)，在圓柱坐標(biāo)中，場的橫向分量按下列關(guān)系求出:(79)現(xiàn)在我們利用邊界條件(61)式來確定(76)式和(77)式中的常數(shù)Am，Bm，Cm，Dm，為簡單計算，令W=x2a，U=x1a，當(dāng)r=a時，電場切向分量連續(xù)，即:(80)

(81)r=a時，磁場切向分量連續(xù)，即:(82)(83)式中Jm’和Km’分別為Jm和Km的一階導(dǎo)數(shù)。方程(5.80)~(5.83)組成四元一次方程組:當(dāng)其系數(shù)行列式:

時，方程有無窮多組解。將(80)~(83)式代入上式并整理后得:(84)式中:(85)因式(84)左邊與角度無關(guān)，故欲使式(84)成立則必須:(86)將式(86)代入式(84)得:(87)方程(78)和(87)決定了波導(dǎo)模式的傳播常數(shù)β，式(78)決定了β值的上、下限，

色散關(guān)系(87):描述了在這個限度之內(nèi)β隨頻率變化的規(guī)律，各模式的截止條件可從(87式導(dǎo)出。至此尚沒有求出Am，Bm，Cm，Dm四個常數(shù)。實際上，只要不關(guān)心場的絕對值，也就沒有必要求出這些常數(shù)的具體值。

相對參量P:表示分量的相對值。當(dāng)Ez、Hz均不為零時，將式(80)、(81)代入式(82)并兩邊同除以Jm(U)，整理后有:(88)利用此關(guān)系，纖芯(r<a)中的縱向分量可寫成:(89)(90)再利用式(89)、(90)及(79)，則纖芯中的橫場分量可寫成:(91)式(89)~(91)表示了光波導(dǎo)中的“混雜”模場量。沿用微波理論中的習(xí)慣，當(dāng)P＝-1時，稱為HEmn模；當(dāng)P＝+1時，稱為EHmn模。

m表示貝賽爾函數(shù)的階數(shù)，場在角度方向變化的次數(shù)

n表示Jm(x1r)=0時的根的序號，場在半徑方向變化的次數(shù)

“混雜”模的特點是Ez、Hz均不為零。

當(dāng)Ez、Hz分別為零時，則稱為橫電模(TE0n)和橫磁模(TM0n)，其場分布分別為:TE0n模(Ez=0)

(92)

TM0n模(Hz=0)

(93)3.3截止條件以上所討論的各種模式僅是光波導(dǎo)中可能存在的模式，某一模式是否實際存在于光波導(dǎo)中，則要根據(jù)它所特有的截止條件來判斷。對于結(jié)構(gòu)一定的(即n1、n2及a值一定)光波導(dǎo)，每一可能存在的模式都有自己的截止條件。

傳輸模:從式(77)可知，當(dāng)x2r→∞時，Km(x2r)≈exp(-x2r)。如果x2≠0是實數(shù)，表明包層中的場隨r增大而單調(diào)地減小。

截止條件:如果當(dāng)x2≈0時，包層中的場不再單調(diào)減小，表明它不再是傳輸模，即傳輸模被截止。這樣，在色散關(guān)系式中令x2=0即可求得其截止條件。對TE0n模或TM0n模，因為m=0，所以式(87)變成:(94)對TE0n模:(95)對TM0n模:(96)顯然，當(dāng)W→0時，式(95)和式(96)都要求J0(U)=0，這就是TE0n和TM0n模的截止條件。因為J0(U)是個振蕩函數(shù)，它有許多根

n=1時U01=2.41，當(dāng)纖芯半徑a的值使U01≤2.41時，TE0n模和TM0n模就截止而不復(fù)存在了。

n=2時，U02=5.52，當(dāng)a值使U01≤5.52時，TE0n模和TM0n模就截止而不復(fù)存在。

對HEmn和EHmn模，因為m≠0，所以情況要復(fù)雜得多。故略去繁瑣的數(shù)學(xué)運算，只給出如下結(jié)論。

HE1n模:J1(U)=0，當(dāng)n=1時，U11=0，說明它沒有截止限制，所以稱HE11模為光波導(dǎo)中的優(yōu)勢模(即該模總是存在)。HEmn(m≥2)模

(97)這時模式截止條件與折射率n1，n2值有關(guān)。利用公式可將(97)式化簡為。當(dāng)n1≈n2時，即纖芯和包層折射率差很小時，即得到Jm-2(U)=0。

對EHmn模(m≥1)，Jm(U)=0但U≠0，這里U≠0表示m=1時Jm(U)=0的第一個根要從U≠0的根算起。如

EH11模:U11=3.83,當(dāng)纖芯半徑a值使U11≤3.83時EH11模就截止而不能存在了。幾個低階模的截止條件列于表1?，F(xiàn)進(jìn)一步討論上述截止條件的物理意義。從式(78)可求得:表1低階模的截止條件

(98)

nm12345模式02.4055.5208.65411.79214.931TE.TM103.8327.01610.17313.324HE13.8327.01610.17313.32416.471EH25.1368.41711.62014.79617.960EH36.3809.76113.01516.22319.409EH47.58811.06514.70017.61620.827EH式中，ω是光波頻率，c是光速。截止頻率:當(dāng)x22=0時，令ω=ωc。因為x1=Umn/a，所以:(99)該式說明了截止頻率與光波導(dǎo)參量之間的關(guān)系。在纖芯半徑a，纖芯與包層的折射率n1和n2一定時，如果光波頻率ω≤ωc，則相應(yīng)的模式就不能在波導(dǎo)中傳播。對TE01(或TM01)模:對HE11模，ωc=0此式表明HE11模沒有截止頻率。因此HE11模是光纖波導(dǎo)中的優(yōu)勢模，稱為基模。它的單模工作頻率范圍是:(100)上式可改寫為:歸一化頻率參量(V)

(101)單模光纖波導(dǎo):當(dāng)V<2.41時，光波導(dǎo)中只有HE11模。多模光纖波導(dǎo):當(dāng)V>2.41時其它高階模就出現(xiàn)，V值愈大，出現(xiàn)的模式就愈多，對式(87)求解，可得到各模式傳播常數(shù)β與歸一化頻率參量V的關(guān)系曲線，如圖16所示。圖中曲線明顯反映出，隨著V值增大傳輸模式不斷增多的情況。圖16歸一化傳播常數(shù)β/k與參量V的關(guān)系曲線§4階躍光纖的標(biāo)量近似

在分析光纖時，一般采用的近似方法之一為標(biāo)量近似法:

階躍光纖里的橫向電場(，)或橫向磁場(，)的幅度滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程。(實際上，已知只有直角坐標(biāo)系里各分量或圓柱坐標(biāo)系里的Ez、Hz分量才嚴(yán)格滿足亥姆霍茲方程。)現(xiàn)在假設(shè)，能夠滿足，就是假設(shè)它們的分布彼此相同，相對關(guān)系到處不變，橫向電場的極化(偏振)方向到處相同(即偏振方向不變)。

這種近似在弱傳導(dǎo)的情況下，即相對折射率差很小(102)以及入射角很小(即與光纖軸平行)的光纖里，傳導(dǎo)模的一般理論將大大簡化(①弱導(dǎo)情況:纖芯中電磁波幾乎是橫波Ez=Hz=0；②可不考慮介質(zhì)分界面對電磁波偏振態(tài)的影響)，并能得到好的計算精度。一般模式理論:Ez、Hz——嚴(yán)格滿足亥姆霍茲方程。標(biāo)量近似():

也滿足亥姆霍茲方程，橫向分布彼此相同，相對關(guān)系到處不變，極化分量方向相同。在弱傳導(dǎo)近似下，普通光纖的數(shù)值孔徑可以近似表示成:(103)

光纖的歸一化頻率是:(104)式中的a是纖芯半徑，k0為自由空間的波數(shù)。這時纖芯和包層交界處的邊界條件是在兩種介質(zhì)的交界處，標(biāo)量本身連續(xù)，標(biāo)量在與邊界正交的方向上(即法線上)的變化率連續(xù)；就是橫向場的幅度和它的幅度沿r方向上的變化(即)連續(xù)。

近似方程可使許多重要問題如:1.模式的傳輸系數(shù)、2.截止條件、3.單模傳輸條件、4.多模傳輸時模式數(shù)量、5.各模式在纖芯、包層的功率及交界面的功率密度等等，得到簡便的計算公式，這是近似方法的優(yōu)點。4.1波動方程的解及特征方程設(shè)階躍光纖中傳播一平面電磁波，傳播方向與光纖軸線(即z軸)方向一致，記為:(105)式中，ω為角頻率，β為傳播常數(shù)，為橫向場。

根據(jù)標(biāo)量近似法的假定，滿足標(biāo)量亥姆霍茲波動方程式(60)，式(60)的圓柱坐標(biāo)系表示為:(106)根據(jù)分離變量法，設(shè)上式的解為:(107)將式(107)代入式(106)，得:(108)(109)式(109)的解為:(110)式(110)為橢圓極化(偏振)波，也可取線極化波或來表示。式(108)在纖芯是一個m階的貝塞爾函數(shù)，以Jm(Ur/a)表示，對于包層，考慮到橫向場是由界面起，沿徑向按指數(shù)函數(shù)衰減的，應(yīng)取第二類修正貝塞爾函數(shù)，以Km(Wr/a)表示。由式(105)的標(biāo)量解表示為:(111)(112)

應(yīng)用邊界條件即可導(dǎo)出特征方程，階躍光纖的邊界條件是在r=a處，橫向場幅度Ψ本身和沿邊界的法線上的變化率連續(xù)。由式(111)、(112)有:(113)(114)

由貝塞爾函數(shù)的遞推公式:(115)(116)(117)式(117)是階躍光纖波導(dǎo)的一種特征方程。這是一個超越方程，由它可以求解U或W，β進(jìn)而可定出常數(shù)A。4.2截止條件和傳輸模由第二奕修正的漢克爾函數(shù)性能可知，當(dāng)W>0時，Km(Wr/a)將很快衰減到零，適合于描述階躍光纖包層中光的傳輸。這樣射入光纖的光將局限于纖芯中傳播。

截止條件:W=0表示截止的入射角等于全反射臨界條件(從幾何光學(xué)的觀點看，截止的臨界狀態(tài)即為入射光波的入射角等于全反射臨界角的情況)。當(dāng)W=0時，由式(117)得:(118)

例如:當(dāng)m=0時，便有J-1(U)=0，其根為U=0，3.832，7.046，10.173，13.324，16.470…即當(dāng)U等于上列值時，導(dǎo)模(正規(guī)模)將截止。

對應(yīng)于這一系列截止時的U值，是一組標(biāo)量模式，用Ψ0l表示。第一個角標(biāo)“0”代表m=0；第二個角標(biāo)代表第幾根，用l表示，如Ψ00、Ψ01、Ψ02