數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程課件：概率模型

概率模型7.1傳送帶的效率模型7.2報(bào)童問(wèn)題模型7.3隨機(jī)性決策模型隨機(jī)現(xiàn)象是現(xiàn)實(shí)世界廣泛存在的一類現(xiàn)象.利用概率統(tǒng)計(jì)方法，建立隨機(jī)性的數(shù)學(xué)模型，描述隨機(jī)因素的影響，在科技、管理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本章主要介紹用隨機(jī)變量和概率分布建立的簡(jiǎn)單隨機(jī)模型——概率模型.

1.問(wèn)題的提出

排列整齊的工作臺(tái)旁，工人們生產(chǎn)同一種產(chǎn)品.工作臺(tái)上方一條傳送帶在運(yùn)轉(zhuǎn)，傳送帶上有若干個(gè)鉤子，工人們將產(chǎn)品掛在經(jīng)過(guò)他上方的鉤子上，產(chǎn)品被帶走，如圖7-1所示.當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后，每個(gè)工人生產(chǎn)出一種產(chǎn)品的時(shí)間不變，但他要掛產(chǎn)品的時(shí)刻卻是隨機(jī)的.考慮一下，如何描述這種傳送帶的效率.7.1傳送帶的效率模型

圖7-1

2.模型的分析

工人在生產(chǎn)出一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤子經(jīng)過(guò)他的工作臺(tái)，使他可將產(chǎn)品掛上帶走，要么他將產(chǎn)品放下立即投入下一件產(chǎn)品的生產(chǎn).

工人的生產(chǎn)周期(生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時(shí)間)雖然相同，但是由于各種隨機(jī)因素的干擾，經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間后，他們生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性是一致的.因此，傳送帶長(zhǎng)期運(yùn)轉(zhuǎn)的效率等于一個(gè)生產(chǎn)周期的效率，即等于它在一個(gè)周期內(nèi)能帶走的產(chǎn)品數(shù)與一個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)之比.即

3.模型的假設(shè)

(1)車間共有n個(gè)工人，他們的生產(chǎn)是互相獨(dú)立的，生產(chǎn)周期是常數(shù)，n個(gè)工作臺(tái)均勻排列；

(2)生產(chǎn)已進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，即每個(gè)工人生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一周期內(nèi)是等可能的；

(3)在一周期內(nèi)有m個(gè)鉤子通過(guò)每一工作臺(tái)上方，鉤子均勻排列，每個(gè)鉤子至多只能掛上一件產(chǎn)品；

(4)在任何時(shí)刻，每個(gè)工人都能且只能接觸到一只鉤子，于是在他生產(chǎn)出一件產(chǎn)品的瞬間，如果他能接觸到的那只鉤子是空的，則可將產(chǎn)品掛上帶走；如果那只鉤子非空，則他只能將這件產(chǎn)品放在地上，退出傳送系統(tǒng).

4.建模與求解

設(shè)：s——傳送帶在一個(gè)周期內(nèi)帶走的產(chǎn)品數(shù)，由于含有隨機(jī)因素，故s取期望值；

n——在一個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn)的全部產(chǎn)品數(shù)；

D——傳送帶的效率.則：

因此，模型關(guān)鍵是計(jì)算s.

先計(jì)算概率，即考慮鉤子能掛上產(chǎn)品的可能性.設(shè)ξ為某指定鉤子能掛上的產(chǎn)品數(shù)，則ξ的可能取值是0，1；P為一個(gè)周期內(nèi)某指定鉤子能掛上產(chǎn)品的概率.

對(duì)于任一指定的工人來(lái)講，由于在一個(gè)周期內(nèi)他完成一件產(chǎn)品，而他把這件產(chǎn)品掛上經(jīng)過(guò)他上方的m個(gè)鉤子中的任一個(gè)是等可能的.

因此，對(duì)于任一指定的鉤子而言，它被任一指定的工人掛上產(chǎn)品的概率是

，沒(méi)有被指定的工人掛上產(chǎn)品的概率是 .又由于工人生產(chǎn)的獨(dú)立性，故任一指定的鉤子經(jīng)過(guò)n個(gè)工作臺(tái)的上方后都沒(méi)有被掛上產(chǎn)品的概率是

，能掛上產(chǎn)品的概率

，從而ξ有分布律：

某指定鉤子在一個(gè)周期內(nèi)平均能掛上的產(chǎn)品數(shù)為：

因?yàn)閭魉蛶в衜個(gè)鉤子，所以傳送帶在一周期內(nèi)送走的產(chǎn)品數(shù)的期望是：5.問(wèn)題的結(jié)果

當(dāng)m

n時(shí)，利用公式

則傳送帶效率可化簡(jiǎn)為：

即沒(méi)有被帶走的產(chǎn)品比例約為：

特別地，當(dāng)n＝10，m＝40時(shí)，大約有11%的產(chǎn)品未被帶走.

若在傳送帶的每一只鉤子旁邊多放一個(gè)鉤子，則此時(shí)的傳送帶效率如何？思考題

1.問(wèn)題的提出

報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒(méi)有賣掉的報(bào)紙退回.設(shè)報(bào)紙每份的購(gòu)進(jìn)價(jià)為b，零售價(jià)為a，退回價(jià)為c，應(yīng)該自然地假設(shè)為a>b>c.這就是說(shuō)，報(bào)童售出一份報(bào)紙賺a－b，退回一份賠b－c.報(bào)童每天如果購(gòu)進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?，不夠賣的，會(huì)少賺錢；如果購(gòu)進(jìn)太多，賣不完，又要賠錢.請(qǐng)你為報(bào)童籌劃一下，他應(yīng)如何確定每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大的收入.7.2報(bào)童問(wèn)題模型

2.問(wèn)題的分析及假設(shè)

眾所周知，應(yīng)該根據(jù)需求量確定購(gòu)進(jìn)量.需求量是隨機(jī)的，假定報(bào)童已經(jīng)通過(guò)自己的經(jīng)驗(yàn)或其它的渠道掌握了需求量的隨機(jī)規(guī)律，即在他的銷售范圍內(nèi)每天報(bào)紙的需求量為r份的概率是f(r)(r＝0，1，2，…).有了f(r)和a，b，c，就可以建立關(guān)于購(gòu)進(jìn)量的優(yōu)化模型了.

假設(shè)每天的購(gòu)進(jìn)量為n份，因?yàn)樾枨罅縭是隨機(jī)的，故r可以小于n、等于n或大于n，致使報(bào)童每天的收入也是隨機(jī)的.所以作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，不能是報(bào)童每天的收入，而應(yīng)該是他長(zhǎng)期(幾個(gè)月或一年)賣報(bào)的日平均收入.從概率論大數(shù)定律的觀點(diǎn)看，這相當(dāng)于報(bào)童每天收入的期望值，以下簡(jiǎn)稱平均收入.

3.模型的建立及求解

記報(bào)童每天購(gòu)進(jìn)n份報(bào)紙時(shí)的平均收入為G(n)，如果這天的需求量r≤n，則他售出r份，退回n－r份；如果這天的需求量r>n，則n份將全部售出.考慮到需求量為r的概率是f(r)，所以

問(wèn)題歸結(jié)為在f(r)、a、b、c已知時(shí)，求n使G(n)最大.通常需求量r的取值和購(gòu)進(jìn)量n都相當(dāng)大，將r視為連續(xù)變量更便于分析和計(jì)算，這時(shí)概率f(r)轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)p(r)，式(7.2.1)變成

計(jì)算

令

，得到

使報(bào)童日平均收入達(dá)到最大的購(gòu)進(jìn)量n應(yīng)滿足式(7.2.3).因?yàn)? ，所以式(7.2.3)又可表示為：

根據(jù)需求量的概率密度函數(shù)p(r)的圖形很容易從式(7.2.3)確定購(gòu)進(jìn)量n.

如圖7-2所示，用P1，P2分別表示曲線p(r)下的兩塊面積，則式(7.2.3)可記作

因?yàn)楫?dāng)購(gòu)進(jìn)n份報(bào)紙時(shí)，

是需求量r不超過(guò)n的概率，即賣不完的概率；

是需求量r超過(guò)n的概率，即賣完的概率，所以式(7.2.3)表明，購(gòu)進(jìn)的份數(shù)應(yīng)該使賣不完和賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢a－b與退回一份賠的錢b－c之比.顯然，當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合同使報(bào)童每份賺錢和賠錢之比越大時(shí)，報(bào)童購(gòu)進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多.

圖7-2

決策是人們?cè)谏詈凸ぷ髦衅毡榇嬖诘囊环N活動(dòng)，是為解決當(dāng)前或未來(lái)可能發(fā)生的問(wèn)題選擇最佳方案的一種過(guò)程.比如，某人決定要到某地出差，而天氣預(yù)報(bào)可能有寒流，考慮出差是否要帶棉大衣，帶上棉大衣無(wú)寒流是個(gè)累贅，若不帶又可能遇上寒流而挨凍，到底帶不帶?這就要他做出決策.小至個(gè)人生活，大至企業(yè)經(jīng)營(yíng)以及國(guó)家的政治經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，都需要決策.在做出決策時(shí)，往往受某些隨機(jī)性的因素影響，7.3隨機(jī)性決策模型而決策者對(duì)于這些因素的了解不足，但是對(duì)各種因素發(fā)生的概率已知或者可估算出來(lái)，因此這種決策存在一定的風(fēng)險(xiǎn)，這就是所謂的風(fēng)險(xiǎn)型決策.解決風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題最典型的方法是利用樹(shù)形圖法表示決策過(guò)程.

1.問(wèn)題的提出

天龍服裝廠設(shè)計(jì)了一款新式女裝準(zhǔn)備推向全國(guó).如果直接大批量生產(chǎn)與銷售，主觀估計(jì)成功與失敗的概率各為0.5，其分別的獲利為1200萬(wàn)元與－500萬(wàn)元，如取消生產(chǎn)銷售計(jì)劃，則損失設(shè)計(jì)與準(zhǔn)備費(fèi)用40萬(wàn)元.為穩(wěn)妥起見(jiàn)，可先小批量生產(chǎn)試銷，試銷的投入需45萬(wàn)元.據(jù)歷史資料與專家估計(jì)，試銷成功與失敗的概率分別為0.6與0.4，又據(jù)過(guò)去的情況，大批生產(chǎn)銷售成功的事例中，試銷成功的占84%，大批生產(chǎn)銷售失敗的事例中，試銷成功的占36%.試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，通過(guò)建立決策樹(shù)模型按期望值準(zhǔn)則確定最優(yōu)決策.

2.問(wèn)題分析與模型假設(shè)

(1)問(wèn)題涉及直接大批量生產(chǎn)與銷售、取消生產(chǎn)銷售計(jì)劃和小批量試銷售這樣三個(gè)決策方案的取舍，在每種方案下又分為成功或失敗兩種結(jié)果.

(2)決策目標(biāo)在表面上看是獲利大小，實(shí)際上是要決定試銷與否.

(3)尚需注意后面幾句話：“大批生產(chǎn)銷售成功的事例中，試銷成功的占84%，大批生產(chǎn)銷售失敗的事例中，試銷成功的占36%”，這意味著要計(jì)算兩個(gè)概率，其一是當(dāng)試銷成功時(shí)，大批量銷售成功與失敗的概率；其二是試銷失敗情況下，大批量銷售成功與失敗的概率，這意味著要利用貝葉斯概率公式.

(4)設(shè)定變量：

A——試銷成功，——試銷失敗

B——大量銷售成功，——大量銷售失敗

3.建立模型

先來(lái)計(jì)算兩個(gè)概率，注意到P(A|B)＝0.84，P(B)＝0.6，P(A|)＝0.36，代入貝葉斯概率公式：

從而

.即當(dāng)試銷成功時(shí)，大批量銷售成功與失敗的概率分別為0.78和0.22.

同理可以算出在試銷失敗的情況下，大批量銷售成功與失敗的概率分別為0.22和0.78.

以試銷與否作為決策思路，從左至右畫出決策樹(shù)模型如圖7-3所示.

這棵樹(shù)即為所求的數(shù)學(xué)模型.

其中：□表示決策點(diǎn)，從它引出的分支稱為方案分支.分支的數(shù)目就是方案的個(gè)數(shù).

○表示機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)，從它引出的分支稱為概率分支.一條概率分支代表一種自然狀態(tài)，其上標(biāo)有相應(yīng)發(fā)生的概率.

△表示末梢節(jié)點(diǎn)，右邊的數(shù)字代表各個(gè)方案在不同的自然狀態(tài)下的效益值.

圖7-3

4.模型的求解

根據(jù)期望利潤(rùn)值最大準(zhǔn)則對(duì)決策樹(shù)進(jìn)行求解：對(duì)決策樹(shù)進(jìn)行計(jì)算遵循從右向左的順序。遇到機(jī)會(huì)節(jié)點(diǎn)，則計(jì)算在該點(diǎn)的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點(diǎn)上方；遇到?jīng)Q策點(diǎn)就比較各方案分支的效益期望值，以決定各方案的優(yōu)劣.在淘汰的分支上標(biāo)上×，余下的方案即最佳