四川省2023屆高三年級下冊高考模擬數(shù)學(xué)（文科）熱身訓(xùn)練試卷（解析版）

2023屆熱身訓(xùn)練數(shù)學(xué)文科試卷

一、選擇題：

1,已知全集0=%集合A={xbg2，'2},B={x|l<x<5}>則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{x|x〈5}B.{x[0<x〈l}C.{x|x<4}D,{x|l<xW5}

【答案】B

【解析】

【分析】由題知圖中陰影部分表示的集合為（必3）「A,A={x|0<xK4},再根據(jù)集合運算求解即可.

【詳解】解：由圖可得，圖中陰影部分表示的集合為（4，3）（A,

因為log2X42=log24,所以A={x[0<x<4},

因為B={x[l<x<5},所以q,8={x|x?l或xN5},

所以（d3）cA={H（）<x<l}.

故選：B.

2.下面關(guān)于復(fù)數(shù)z=—l+i（其中i為虛數(shù)單位）的結(jié)論正確的是（）

A.2對應(yīng)的點在第一象限B.|z|<|z+l]

Z

C.Z的虛部為iD.z+z<0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法，求模運算，和加法運算即可求解.

1I1-1-i-1-i111

【詳解】z=—l+i,-=——；=————r=r—=—二一一i,所以一對應(yīng)的點在第三象限，A錯;

z-l+i-l+i-1-1222z

忖="(—I)?+1?—>/2>|z+1|=|i|=VP'-1,故B錯；

Z的虛部為1,故C錯；

z+z=-l+i+-l-i=-2<0>故D正確?

故選：D.

3.命題，：>0”，則-1p為（）

22

A.Vx>l,x-l<0B.Vx<l,x-l<0C.3x()>1,xj-1<0D.3x0<l,x?-1<0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式求解.

【詳解】命題。：—1>0”為全稱命題，其否定為特稱命題，

即~>p：3x0>1,XQ-1<0.

故選：C

4.已知機(jī)，，為兩條不同的直線，。，￡為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.mua,〃ua,m\/?,n\/3^>a[3

B.a\B，mua,nu/3nmn

C.m±a,_L〃〃Pa

D.nm,n=>m-La

【答案】D

【解析】

【詳解】若a〃P，mUa,mu0,則m,n可能平行也可能異面，故B錯誤；若m_La,m±n,則n〃a或

nua,故C錯誤；若mua,nua,m〃B，n/7p,由于m,n不一定相交，故a〃。也不一定成立，故A錯

誤；若111〃必n_La,根據(jù)線面垂直的第二判定定理，我們易得mJ_a,故D正確.

1+sin2a

5?若Ek=7,則tanc=()

4334

A.B.C.D.

3443

【答案】C

【解析】

【分析】利用倍角公式，以及同角三角函數(shù)關(guān)系，整理化簡即可求得正切值.

1+sin2a

【詳解】因為=7

l-2sin2a

sin26z+2sinacosc^+cos2a_(sina+cosa)~_sina+cosa_tana+1

cos26Z-sin2a(coscr+sinor)(cosa-sina)cosa-sina1—tana

即tana+13

=7,解得tana=—.

1-tana4

故選：C.

6.“直播電商”己經(jīng)成為當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新增長點，某電商平臺的直播間經(jīng)營化妝品和服裝兩大類商品.2021

年前三個季度的收入情況如圖所示，已知直播間每個季度的總收入都比上一季度的總收入翻一番，則下列

說法正確的是()

||化妝品收入||服裝收入

A.該直播間第三季度服裝收入低于前兩個季度的服裝收入之和.

B.該直播間第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的

6

C.該直播間第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的工.

3

D.該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的3倍.

【答案】C

【解析】

【分析】利用條形統(tǒng)計圖求解判斷.

【詳解】設(shè)第一季度總收入為。，則第二季度的總收入為2〃，第三季度的總收入為4小

對于選項A,第一、二季度服裝收入和為3-0.1")+(2a-0.4a)=2.5%第三季度服裝收入為4a-1.24/=2.8a,

故A錯誤；

對于選項B,第一季度化妝品收入為axl0%=0.1a,第三季度化妝品收入為4a*30%=1.2a,第一季度化

妝品收入是第三季度化妝品收入的?電=,，故B錯誤;

1.2a12

對于選項C,第二季度的化妝品收入為2ax20%=0.4。，第三季度的化妝品收入為4〃x30%=1.2a,第二

季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的—故C正確；

3

對于選項D,第三季度總收入是第一季度總收入的絲=4倍，故D錯誤.

a

故選：C.

7.英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓曾提出物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果物體的初始溫度是4，

環(huán)境溫度是4,則經(jīng)過fmin物體的溫度。將滿足e=4+(q-4)e",其中％是一個隨著物體與空氣的

接觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有90℃的物體，若放在10℃的空氣中冷卻，經(jīng)過l()min物體的溫度為5()℃,

則若使物體的溫度為20℃,需要冷卻()

A.17.5minB.25.5minC.30minD.32.5min

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)e=4+(a-4)e-"及物體經(jīng)過l()min物體溫度為50℃得出女的值，再求出8=2()

時f的值即可.

【詳解】由題意得4=90,〃=10,。=50,，=10代入，

5O=lO+(9O-lO)e-10*,即「供=，

所以左=」-ln2,

10

所以e=4+(〃_4)/就

由題意得4=90,4=10，夕=20代入，

?]c，----In21

即20=10+(90-1())/記「得e,°=￡，

O

即—Lln2=ln'=—31n2,解得，=30,

108

即若使物體的溫度為20℃,需要冷卻30min,

故選：C.

x

8.己知雙曲線C：j=1（。>0力〉0）的右焦點為￡。為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線C的

a"

（3百、

一條漸近線交于點。及點A,則雙曲線。的方程為（）

22

【答案】C

【解析】

y=再將點Ag,#代入可得/,=半。，連接用,

【分析】根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:

根據(jù)圓的性質(zhì)可得二3=走,從而可求出c,再由。2=儲+〃即可求解

63

【詳解】雙曲線C:，一斗=l（a>0,b>0），

則漸近線方程：y=+-x,

a

,AV3

?.b=—a,

3

解得c=2,

所以02=〃+〃=*解得/=3,。=1

2

故雙曲線方程為2一>2=]

3

故選：C

【點睛】本題考查了雙曲線的兒何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.

9.已知a>0,h>0,且a+h=l,則錯誤的是（）

A.a2+b2>-B.T-b>-

22

C.log,a+log2b>-2D.4a+y[h<\[1

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)a+人=1,由〃+02=。2+。一同2結(jié)合二次函數(shù)可判斷A，由。-6=2。一1>一1可判斷B,由

log,a+log2b=log,出?和（G+=1+l4ab結(jié)合基本不等式可判斷CD

,f1A21I

【詳解】對于A,a1+bz=a2+（\-aY=2a2-2a+\^2a--

'，y2J22

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=,時，等號成立，故A正確；

2

對于B,a-b=2a-\>-\,所以2"">2T='，故B正確;

2

(a+b^,1c

對于C,loga+logb=log,ab<loglo2,

222=g2-=-

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=?時，等號成立，故c不正確；

2

對于D,因為（J^+揚(yáng)）=14-2\[ab<14-4Z+/?=2,

所以G+血4也，當(dāng)且僅當(dāng)“=〃=:時，等號成立，故D正確.

故選：C.

10.已知球。是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=

=&，點E是線段BC的中點，過點E作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

2兀

B.—

34

【答案】A

【解析】

【分析】如圖，。|是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，當(dāng)截面垂直于OE

時截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.

【詳解】如圖：

。1是A在底面的射影，由正弦定理得，的外接圓半徑r=*—xL=l.

sin602

由勾股定理得棱錐的高|=萬斤=1設(shè)球。的半徑為R,

則R2=(l—Rp+l,解得R=l，

所以10al=0,即與。重合,

所以當(dāng)過點E作球。的截面垂直于OE時，截面面積最小,

此時截面半徑為忸同=#，截面面積為日.

故選：A.

11.如圖，一ABC是邊長為2的正三角形，P在平面上且滿足CP=C4,則鉆面積的最大值為()

A.25/5-1B.4C.2gD.2+百

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理可得A4=4cosa,利用三角形面積公式以及倍角公式、輔助角公式，利用三角函

數(shù)的性質(zhì)即可求解最大值.

PA2

【詳解】設(shè)NP4C=a，「0<a<，兀、，則在△R4C中，由正弦定理得./°\=——nPD4A=4Acosa,

(2)sin(兀-2a)sina

所以SPABA3sin(a+^)=：x4cosax2sin[a+1)=4cosasin(a+])

=sin2a+>/3cos2a+百=2sin(2a++若，

故當(dāng)2a+^='|=>a=^!時，此時面積最大為2+G，

故選：D

12.若函數(shù)y=/(x)滿足對VxwR都有〃x)+,f(2-x)=2,且y=/(x)-1為R上的奇函數(shù)，當(dāng)

x?—l,l)時，/(x)=2*—《+l,則集合A=N〃X)=?｝中的元素個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知可推出函數(shù)/(x)周期性，單調(diào)性以及函數(shù)值情況，由此可作出函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化

為函數(shù)圖象的交點問題解決.

【詳解】由)為R上的奇函數(shù)，

=>/(X)T=-[/(-X)T]=-/(-X)+1=>/(X)+/(T)=2①，

又〃x)+/(2-x)=2=/(r)+〃2+x)=2②，

由②一①=/(2+x)—/(x)=0=/(x+2)=/(x)ny=/(x)為周期為2的周期函數(shù)，

而又/(x)+/(2—x)=2n/(l)+/(l)=2n/(l)=l,

當(dāng)xe(—1,1)時/(x)=2、一?+ln/(O)=ln當(dāng)xeZ時,/(x)=l.

又當(dāng)時，/(尤)=2*-《+1單調(diào)遞增，且一;</(x)<g.

故可作出函數(shù)y=/(x),y=4的大致圖象如圖:

而集合A中的元素個數(shù)為函數(shù)y=/(x)與y=F圖象交點的個數(shù)，

由以上分析結(jié)合函數(shù)y=?性質(zhì)可知，1為集合A中的一個元素，

且產(chǎn)/(X)與y=在(2,3),(4,5)上各有一個交點，

.?.集合A={x|/(x)=五}中的元素個數(shù)為3.

故選：A.

二、填空題：

13.已知a=(—2,4)1=(3,l),若則卜卜.

【答案】2垂

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得4+8=(1,2+1),結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式求得力的值，得到a的坐標(biāo)，利用

向量模的公式，即可求解.

【詳解】因為a=(—2,4),6=(3,1),可得￡+1=(1,2+1),

又因為(a+0)J>0,可得(a+b)3=(l,/l+l>(3,l)=3+/l+l=0,解得a=一4,

所以。=(一2,—4),所以忖=，(-2)2+(—4)2=26.

故答案為：2亞.

14.己知函數(shù)“X)/則/(/(-4))=_________.

x—3x—4,x>0

【答案】-6

【解析】

【分析】由分段函數(shù)解析式計算函數(shù)值即可.

【詳解】/(-4)=/(-3)=/(-2)=/(-I)=/(0)=/(I)=1一3-4=-6,

所以/(/(-4))=/(-6)=/(I)=1-3-4=-6

故答案為：-6.

7T

15.如圖，已知在扇形。鉆中，半徑04=。8=3,/4。8=一，圓01內(nèi)切于扇形。鉆(圓01和。4,。3,

3

弧AB均相切)，作圓。2與圓。1,。4，。8相切，再作圓。3與圓。2，。4,。8相切，以此類推.設(shè)圓。1,圓O?…

的面積依次為St,S2...,那么邑=.

【答案】—

81

【解析】

【分析】根據(jù)銳角三角比的圓的幾何特性即可求解.

設(shè)圓。?與弧A3相切于點。，

圓。一圓。2與QA分別切于點C,E,

則。C±OA,02E10A.

設(shè)圓。1,圓。2，圓。3，…，

71

因為4403=—,

3

71

所以NAOD=—.

6

在RtZ\OOC中Oq=3-勺,

則m=；0日，

解得4=1.

在中，0。2=3-弓一2^,

則。2七=；。。2，

口口3-乃一2A

即空二一l，

解得弓=3=；4.

同理可得，r,=-=-r,,

所以S3=兀片=R.

71

故答案為：一.

81

16.設(shè)A8是拋物線C:V=4x上兩個不同的點,。為坐標(biāo)原點,若直線。4與0B的斜率之積為T,則下列

結(jié)論正確的有.

?|AB|>4；

②|QA|+|OB|〉8；

③直線AB過拋物線。的焦點；

④，QAB面積的最小值是2.

【答案】①③④

【解析】

【分析】對于②，可以通過特殊點來判斷;而對于選項①③④，可以通過設(shè)直線A3,再聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定

理一一判斷即可.

［詳解】取A(l,-2),B(l,2),滿足kOA-k0B=-4,

從而|1+1OB|=275，故②錯誤；

由題意可知直線AB的斜率不為0,設(shè)直線AB的方程為x=/2+1,A(可,y),B(x2,%),

x=my+t.

聯(lián)立〈2，整理得y2-4my-4f=0,

y-4x

貝iJM+必=4九,乂=一4晨

16

因為koA?koB=~',T2"一

所以r=l,所以直線AB的方程為》=機(jī)＞+1,

則直線A6過點(1,0),

因為拋物線C的焦點為歹(1,0)，所以直線AB過焦點F，故③正確;

則由拋物線的性質(zhì)可知IAB2“=4，故①正確;

由上可得直線AB的方程為x=my+l,

IX-%|=X+%]-4%%=V16/n2+16=4J—+1,

則|A8|=Jl+m2?|yf|=4（巾2+]）,

1

原點。到直線AB的距離”=

\lm2+1

則SAO"=；lA3|d=gx4（〃/+1）x1=2\jnr+1>2

JJ+i

故④正確.

故答案為:①③④.

【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；

(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力,重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三

角形的面積等問題.

三、解答題:

17.在等比數(shù)列｛4｝中，％=8%,且%2,%—5,12成等差數(shù)列.

（1）求｛q｝的通項公式；

,11，＞4

（2）若b,=-......+----,證明：數(shù)列｛2｝的前”項和北＜一.

71log2an?2?_]3

+1

【答案】（1）an=2"

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，列方程求解即可.

（2）對7；進(jìn)行分組求和，一部分利用裂項相消進(jìn)行求和，一部分利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求和，再對

計算得到的（進(jìn)行不等式的放縮，即可證明不等式成立.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛為｝的公比為卬

由的=84,得知/=84，所以＜7=2.

因為;生，為一5,%-12成等差數(shù)列，所以2（生一5）=；%+%—12，

即8q—10=ga]+84-12,解得4=4.

因此a“=4x2"T=27.

【小問2詳解】

1111(11)1

--------1-----=-----H-Z—=-------H

^log2an%〃_]〃(幾+1)2"n+lj4〃

月，所以

因為1一——<1

幾+1

18.2020年4月，各行各業(yè)開始復(fù)工復(fù)產(chǎn)，生活逐步恢復(fù)常態(tài)，某物流公司承擔(dān)從成都到重慶的蔬菜運輸業(yè)

務(wù).已知該公司統(tǒng)計了往年同期100天內(nèi)每天配送的蔬菜量X（4（）WX<160,單位：件.注：蔬菜全部用

統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝），并分組統(tǒng)計得到表格如表：

蔬菜量X[40,80)[80,120)[120,160)

天數(shù)204040

試解答如下問題:

（1）該物流公司負(fù)責(zé)人決定用分層抽樣的形式在［40,80）、［80,120）兩組數(shù)據(jù)中抽6天來分析配送的蔬菜

量的情況，再從這六天中隨機(jī)抽2天調(diào)研，求這2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率；

（2）該物流公司擬一次性租賃一批貨車專門運營從成都到重慶的蔬菜運輸.已知一輛貨車每天只能運營一趟.

每輛貨車每趟最多可裝載40件，滿載才發(fā)車，否則不發(fā)車.若發(fā)車，則每輛貨車每趟可獲利2000元；若未

發(fā)車，則每輛貨車每天平均虧損400元.該物流公司負(fù)責(zé)人甲提出的方案是租賃2輛貨車，負(fù)責(zé)人乙提出的

方案是租賃3輛貨車，為使該物流公司此項業(yè)務(wù)的平均營業(yè)利潤最大，應(yīng)該選用哪種方案？

3

【答案】（1）（2）該選擇租賃3輛貨車.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)分層抽樣得到［40,80）中抽取2天，［80,120）中抽取4天，分別標(biāo)記后寫出樣本空間，利用古典

概型求解；

（2）分別計算租賃2輛和3輛時的平均利潤，比較得結(jié)果.

【詳解】（1）記事件A為“2天配送的蔬菜量中至多有1天小于80件的概率”，

20

在［40,80）、［80,120）兩組數(shù)據(jù)中用分層抽樣抽6天，［40,80）中抽的天數(shù)為6x刀=2天，記為A,B；

60

［80,120）中抽的天數(shù)為6x竺=4天，記為b,c,d

則從這6天中隨機(jī)抽取2天的所有可能情況有以下："（AB）,（A。），（A。），（Ac），（Ad）,（B,a）,

(B,c),(B,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)”共15種選中的2天中配送

的蔬菜量中至少有1天小于80件的可能情況有以下：

“（AB）,（A,a）,（A。），（AC），（Ad）,（8,d）”共9種

93

，選中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件概率為P（A）=^=g

（2）若租賃2輛車,

20QQ

平均利潤為(2000-400)?—4000?——3520

100

若租賃3輛車,

204040

平均利潤為(2000-800)?—(4000-400)?—6000?—4080

''100100

V4080>3520,

所以應(yīng)該選擇租賃3輛貨車，此時平均營業(yè)利潤最大.

19.如圖，在四邊形ABCP中，為邊長為的正三角形，CP=CA,將△AC尸沿AC翻折，使

點P到達(dá)P'的位置，若平面P'BC_L平面ABC,且BCLP'A.

（1）求線段PA的長；

（2）設(shè)M在線段PC上，且滿足MC=2PM,求三棱錐P—的體積.

【答案】（1）3,

⑵6

【解析】

【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直，進(jìn)而得證AO_LP'O,利用勾股定理即可求解;

（2）由MC=2PM可知三棱錐P-ABM的體積為三棱錐P-ABC體積的;.即可求解.

【小問1詳解】

如圖:

取BC中點0,連接AO,P'O,因為一ABC為等邊三角形，。為8c的中點，則AOLBC,

又3C_LPA,AOcAP=A,AO,AP'u平面AP'O,

.?.3。1_平而4。'0,.-.3。，0尸.

所以BP'=CP=26，即PBC為等邊三角形，所以0。'=3,

又平面P'BC_L平面ABC,AO1BC,所以401_平面PBC,所以4O_LP'O,

又A0=3，所以A尸MJACP+PO2=36

【小問2詳解】

三棱錐P'-ABM的體積為三棱錐P-ABC與三棱錐M-ABC的體積之差.

因為M在線段PC上，且滿足MC=2P",即P'M=』P'C,

3

2

所以三棱錐M-ABC的體積為三棱錐P-ABC體積的-.

所以三棱錐P'—ABM的體積為三棱錐尸'-ABC體積的g.

由(1)可知，AO1PO,BC1OP,而5CcAO=O,

所以尸0,平面ABC,所以1Poi為三棱錐〃一ABC的高，

所以三棱錐產(chǎn)—ABC的體積為：；S"c.|P'°|=；x；x26x3x3=3g.

所以三棱錐產(chǎn)一ABM的體積為：1X3A/3=V3.

20.已知函數(shù)〃x)=(x+/)lnx,若函數(shù)/(X)在x=l處的切線與直線x-y=0平行.

(1)求1的值及函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知。>0,若函數(shù)y=em與函數(shù))的圖像在有交點，求實數(shù)。的取值范圍.

ax

(\\(1\

【答案】⑴/=0,函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為匕,+8〉單調(diào)遞減區(qū)間為0,一；⑵(e,+8).

【解析】

【分析】

⑴求出切線的斜率％=r(i)=/+i=i可得r，分別令/")>o、r(x)<o可得答案;

(2)可化為方程/〔IJ在xw有解,即6公山6心=:由/,轉(zhuǎn)化為/,磔)=/(：)在

ax

f?\ii

xe0,-有解，利用〃力的單調(diào)性得a=-上=構(gòu)造函數(shù)g(x)=」二，再利用g(x)的單調(diào)性可得答

〈CJXX

【詳解】(1)由/'(%)=山工+7，切線的斜率2=/'(1)=/+1=1,得1=0,

則/(x)=x,lnx,xe(0,+oo),/r(x)=lnx+l=0,得九=一，

11

X0<x<-x=-x>-

eee

f'M小于o等于0大于0

/(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

門、(11

函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為，+8J,單調(diào)遞減區(qū)間為10q

(2)由已知可得，方程產(chǎn)在/早(。,］有解,

ax

由得".*=Tn-

e-xx

ax

所以ealnea'^Lln',有在有解,

XX〈X)\/

由于a>0，ox>0,所以e'">l，

(n1

由xw0,-得一〉e,由(1)可知，

Vejx

/(x)在尤€(：,+8)單調(diào)遞增，則6"*=，在*60,1)有解，

由6依=,得以=111!,所以&=—生2，

XXX

即一“在xe0,-有解，

xIej

令g(x)=皿，xe(0,1，由glx)」一？”,

xIejx

(n,、

當(dāng)xe0,-時，g'(x)>0,

\e/

則8(外在％/0,「|單調(diào)遞增，

、eJ

由g；)=_e，則g(x)e(-0°,一e)，

則一q<-e,所以a>e.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、方程有根求參數(shù)的問題，關(guān)鍵點是轉(zhuǎn)化為

/卜"')=/(B)在％e有解和構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性解題，考查了學(xué)生的理解能力、轉(zhuǎn)化能力.

21.已知橢圓E:]+y2=i的左、右焦點分別為耳，鳥，過工的直線/與橢圓E交于A5兩點，過居作

直線PF2與直線I垂直且與直線x=2交于P.

(1)當(dāng)直線/與x軸垂直時，求ABf；內(nèi)切圓半徑；

(2)分別記PA,PF2,PB的斜率為k{,k2,出3,證明：勺，自，總成等差數(shù)列.

【答案】(1)y

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓定義可得，AB6的周長，結(jié)合.AB-面積可求得內(nèi)切圓半徑;

（2）設(shè)直線/：x=my+l,可求得。（2,一加），由/與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，利用兩點連線斜

率公式和韋達(dá)定理化簡可整理得到人+a=-2〃?，又％2=一根，可知勺+勺=2&，由此可得結(jié)論.

【小問1詳解】

由橢圓方程得：a=6,b=l,c=l，

）人2

當(dāng)直線/與X軸垂直時，.Am的周長為4a=40，又恒川=二=0,

：.S岬=；|4郎忻圖=；x夜X2=VL

ISABF1

'''ABF］的內(nèi)切圓半徑r=---7=-^-=—

4V22

【小問2詳解】

設(shè)A（%，x）,8（9,%）（不妨令A(yù)在x軸上方），直線/:X=陽+1,

y=-iwc+mx=2

，.二尸（2,-m）；

則PF2:y=-mx+m,由<x=2得:

y=m

x=my+1

由，爐，消去x得：（m2+2）V+2沖一1=0,則△=8//+8>0,

二+y=1

12

2m1

—卡，3一門，

（y+〃?）（，*2-1）+（必+初）（沖1T）2/孫冉+（，、T）（X+%）―2必

y+根+%+m

:.k、+ky

%1—2—2（沖|T）（沖2-1）2

x2myiy2-m{yl+y2）+l

將韋達(dá)定理代入整理得：

—2m—2m3+2m

7----1----7---2"?-2mi-2m

L?L_+2m~+2

、十人3—2o—2-2m,

-m—1mnr+1

+1

m2+2m2+2

又&=—~~-=-tn,%|+攵3=2k2,

2—1

PA,PF2,PB的斜率匕&,心成等差數(shù)列.

【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用問題，求解此類問題的基本思路如下：

①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y的一元二次方程的形式；

②利用A>0求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；

③利用韋達(dá)定理表示出所求量，結(jié)合韋達(dá)定理整理化簡可得結(jié)果.

（二）選考題：［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

尤=3+廠cosB

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為1一、.'二’（尸為參數(shù)，r>0）,以坐標(biāo)原點

y=3+rsm〃

為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=2&sin?

（1）若曲線G與。2有且僅有一個公共點，求r值；

（2）若曲線G與g相交于A，8兩點，且［43|=叵，求直線AB的極坐標(biāo)方程.

2

【答案】（1）廠=行或廠=3及

（2）2/?cose+2/?sine-3=0或20cose+20sine-5=0.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圓的參數(shù)方程和5山2，+8$2，=1可得曲線孰是以（3,3）為圓心，，?為半徑的圓.利用公

式法將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得曲線G是以（1,1）為圓心，V2為半徑的圓.結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系

計算即可求解；

（2）由（1）,將兩圓的方程相減可得直線A8的方程，利用點到直線的距離公式，結(jié)合圓的垂徑定理計算

即可求解.

【小問1詳解】

x=3+rcosBfx-3=rcosZ?

由《c.二（月為參數(shù)），得c,二（2為參數(shù)），

y=3+rsinp［y-3=rsinp

又sin?尸+cos2p=l,所以曲線C1的普通方程為（x一3>+（y-3）2=r2，

即曲線C是以（3,3）為圓心，一為半徑的圓.

=20sin(9+：

P=>夕=2sin9+2cos。=>p~=2夕sin6+22cos。，

由X?+>2=忙，*=pcosO