四邊形-2021屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項訓(xùn)練（解析版）

專題02四邊形2021屆中考數(shù)學(xué)壓軸大題專項訓(xùn)練（解析版）

1.如圖，在正方形A8CO中，E、尸是對角線BO上兩點，且NE4F=45。，將△尸繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。

后，得到AAB。，連接EQ.

(1)求證：EA是NQEO的平分線；

(2)已知BE=1,DF=3,求EF的長.

【詳解】

證明:⑴：將AADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。后，得到AAB。,

：.QB=DF,AQ=AF,NBAQ=NDAF,

ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZBAE^45°,

：.ZQAE=45°,

：.ZQAE^ZFAE,

在△AQE和△AFE中，

"AQ=AF

<ZQAE=4FAE,

AE^AE

.,.△AQE絲△w￡；(SAS'),

：.AAEQ=ZAEF,

...E4是/QE。的平分線；

(2)由(1)W-AAQE^^AFE,

：.QE=EF,ZADF^ZABQ,

?.?四邊形ABC。是正方形，

，/ADB=NABO=45°,

NABQ=45°,

ZQBE^ZABQ+AABD=90°,

在RSQBE中，QB2+BE2=QE2,

又,：QB=DF,

：.EF2=BE1+DF2=l+9=10,

EF=y/lQ.

2.四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE,過點E作EFLDE,交射線BC于點F,以

DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

備用圖

(1)如圖，求證：矩形DEFG是正方形；

(2)當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是35。時，求/EFC的度數(shù).

【詳解】

解：（1）證明：如圖，作EP_LCD于P,EQLBC于Q,

圖1

四邊形ABCD為正方形,

VZDCA=ZBCA=45O,

EQ=EP,

矩形DEFG,

ZPED+ZPEF=90°,

,/NQEF+NPEF=90。，

.\ZQEF=ZPED,

在RtAEQF和RtAEPD中，

ZQEF=APED

<EQ=EP,

NEQF=NEPD

Rt4EQF絲Rt八FPD(ASA),

；.EF=ED,

矩形DEFG是正方形；

(2)①當(dāng)DE與AD的夾角為35。時,

如圖2,

鄴

VZADE=35°,ZADC=90°,

NEDC=55°,

ZEFC=360°-90°-90°-55°=125°,

②當(dāng)DE與DC的夾角為35。時，

如圖3,即。。,￡正交于H,

圖3

ZDEH=ZDCF=90°,ZDHE=ZFHC,

NEDC=NEFC=35。，

綜上所述：NEFC=35。或125°.

3.如圖所示，四邊形ACEO中，CE“3以。C,為邊作平行四邊形。CEE,EC的延長線交AF

T-B,求證：AB-FB-

【詳解】

證明：如圖，延長尸C交AO于點G,

,/四邊形CDEF為平行四邊形,

：.CF//DE,CF=DE,

5L'：CE//AD,

四邊形CEDG為平行四邊形,

：.CG=DE,

：.CF=CG,KBC//AG,

.?.8(7是4"G的中位線，

.??8為4尸的中點,

即AB=FB.

4.如圖1,已知正方形ABCO和正方形CEGF,點￡。,8在同一直線上，連接跖，DF，。下與EG相

交于點M.

圖】圖2

(1)求證：BE=FD.

GM

(2)如圖2,N是8c邊上的一點，連接AN交BE于點、H，且一

BC~GE

①求證：BN=EC；

BN

②若CE=2DE,直接寫出一的值.

AB

【詳解】

解：(1):四邊形ABCD和四邊形CEGF是正方形，

，BC=CD=AB,CE=CF,ZBCE=ZDCF=90°

.,.△BCE^ADCF(SAS),

；.BE=FD；

(2)①...四邊形ABCD和四邊形CEGF是正方形，

.,.CD//GE,GF=EC

/.DEMFGM,

.GMGFEC

"~EM~~DE~~DE

.GMEC

"~EG~~DC

..BNGM

,~BC~~GE

.BNEC

"~BC~~DC

BC=CD

/.BN=EC

?'：CE=IDE

:.CE=-DC

3

BN=EC

.BN2

?.-----=一

DC3

AB=CD

.BN2

..1*—--

AB3

5.如圖1,己知正方形ABCQ,AB=4,以頂點8為直角頂點的等腰RsBEF繞點、B展轉(zhuǎn)，BE=BF=加，

連結(jié)AE,CF.

(1)求證：△

(2)如圖2,連結(jié)。E,當(dāng)。￡=BE時，求SABCF的值.

(3)如圖3,當(dāng)RSBE尸旋轉(zhuǎn)到正方形ABC。外部，且線段AE與線段C尸存在交點G時，若M是C￡＞的

中點，P是線段QG上的一個動點，當(dāng)滿足MP+受PG的值最小時，求MP的值.

2

【詳解】

解：（1）:四邊形4BC。是正方形,

：.AB=BC,ZABC=90°,

VZEBF=90°=Z；4BC,

:./ABE=/CBF,

又.：BE=BF,AB=BC,

???△ABE/ACBF(SAS)；

(2)如圖2,過點E作于",

??,AABE學(xué)4CBF,

??ABE=S^CBF,

9

：AD=AB,AE=AEfDE=BEf

：./\ADE^^\ABE(5SS),

：.ZDAE=ZBAE=45°,

VE771AB,

???NE48=/AE〃=45°,

:,AH=EH,

■:BSBM+EH2,

A10=B￡2+(4-BE)2,

???3E=1或3,

當(dāng)BE=1時

SAABE=S^CBF=—ABXEH=—x4xl=1,

22

當(dāng)BE=3時

:&ABE=S&CBF=—AB^EH=—x4x3=6,

22

(3)如圖3,過點尸作尸K_L4E于K,

由(1)同理可得△ABEgZXCBR

:.ZEAB=ZBCF9

?.,ZBAE+ZCAE+ZACB=90°,

JZBCF+ZCAE+ZACB=90°,

JNAGC=90。，

NAGC=NADC=90。，

???點4,點G,點C,點。四點共圓,

JZACD=ZAGD=45°f

PK1AG,

；?NPGK=/GPK=45°,

：.PK=GK=^-PG,

2

MP+旦PG=MP+PK,

2

當(dāng)點M,點P,點K三點共線時，且點E,點G重合時，MP+也PG值最小,

2

如圖4,過點B作8Q_LCF于Q,

,：BE=BF=M,/EBF=9Q°,BQVEF,

:.EF=2非,BQ=EQ=FQ=y/i,

：CQ=JBC2-BQ2=V16-5=Vil，

：.CE^CQ-EQ=y/\]-5

?：MK±AE,CELAE,

：.MK//CE,

DMMP

J---=---,

DCCE

又?..例是c。的中點,

：.DC=2DMf

：.MP=—CE=且一6.

22

6.如圖，在正方形A8C￡＞中，點E、尸均為中點，連接Ab、DE交于點P，連接PC,證明:

PE+PF=EPC-

【詳解】

證明：如圖，延長OE至N,使得EN=PF,連接QV,

在正方形ABC。中，

E、產(chǎn)分別是BC、CO的中點，

:.CE=DF,

在ADF和DCE中,

AD=CD,

■44。尸=ZDCE=90。，

DF=CE,

:4ADF公ADCE(SAS),

ZAFD=/DEC,

:.ZCFP=ZCEN,

在CEN和CFP中,

CE=CF,

<NCEN=NCFP,

EN=PF,

:MEN四△CFP(SAS),

:.CN=CP,/ECN=/PCF,

ZPCF+ZBCP=90°,

:"ECN+ABCP=ZNCP=90°,

.?.△NCP是等腰直角三角形，

:.PN=PE+NE=0PC.

即PE+PF=6PC.

7.如圖，正方形48CD中，E為BC上一點，過點8作BG_LAE于G,延長8G至點尸使NC￡g=45°.

(1)求證：ZBAG=ZCBF；

(2)求證：AG=FG；

(3)若GF=2BG,CF=4i,求A8的長.

D

【詳解】

(1)證明：因為4BCO是正方形

所以ZABG+NCBF=90°

在三角形8G4中，

因為3G_LAE,:.ZBAG=NCBF

(2)過點C作

AG±BF,CHLBF

；.NAGB=NBHC=90°

因為A8C。是正方形，

所以AB=BC,

由(1);.ZBAG=NCBF

所以AAGB三初”。

:.AG=BH,BG=CH

在三角形CHF中，4CBF=45\FH=CH

:.GF=GH+FH=GH+CH=GH+BG=BH=AG,

所以AG=FG.

(3)在三角形CHF中,

NCFB=45°,CF=丘

:.CH=HF=1

BG=CH

CF=2BG

:.FG=2

AG=FG

:.AB=^AG2+BG2=V22+1=A/5?

8.已知正方形ABCD,點E在AB上，點G在AD,點F在射線BC上，點H在CD上.

(1)如圖1,DE±FG,求證：BF=AE+AG；

(2)如圖2,DE1DF,P為EF中點，求證：BE=夜PC；

(3)如圖3,EH交FG于O,ZGOH=45°,若CD=4,BF=DG=1,則線段EH的長為

【詳解】

解：(1)如圖1,過點G作GMLBC于M

GD

則ZGMB=ZGMF=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

???AD=AB,NA=NB=90。，

???四邊形ABMG是矩形，

???AG=BM,

VDE1GF,

/.ZADE+ZDGF=ZADE+ZAED=90°,

AZAED=ZDGF,

又NDGF=NMFG,

.\ZAED=ZMFG,

/.△DAE^AGMF(AAS),

???AE=MF,

則BF=BM+MF=AG+AE；

(2)如圖2,過點E作EQ〃PC,交BC于點Q,

AD

\

、I\

、、I\\

、、xxIr**?^_\\

BQCF

圖2

：P是EF的中點，

.?1(3是4EQF的中位線，

則EQ=2PC,QC=CF,

VZADC=ZEDF=90°,

，NADE=NCDF,

又：/A=/DCF=90。，AD=CD,

.".△ADE^ACDF(ASA),

；.AE=CF=QC,

VAB=BC,

；.BE=BQ,

則/BEQ=45°,

???EQ=&BE,

則2PC=^BE,

；.BE=&PC；

(3)如圖3所示，作BM〃GF交AD于M,作BN〃EH交CD于N,

則四邊形BFGM和四邊形BEHN是平行四邊形,

???BM=GF,BF=MG=1,BN=EH,

VDG=I,CD=AD=4,

AAM=2,

延長DC到P,使CP=AM=2,

VBA=BC,NA=NBCP=90。，

AABAM^ABCP(SAS),

.\ZABM=ZCBP,BM=BP,

VZGOH=45°,BN〃EH,BM〃GF,

AZMBN=45°,

圖3

AZABM+ZCBN=45°,

???NCBP+NCBN=45。，即NPBN=45。,

/.△MBN^APBN(SAS),

???MN=PN,

設(shè)CN=x,則MN=PN=CN+PC=x+2,DN=4-x,

在RtADMN中，由DM2+DN2=MN2可得22+(4-x)2=(x+2)2,

4

解得x=-

3

4710

則EH=BN

故答案為:耍

9.已知：四邊形ABC。為正方形，AAMN是等腰RfA,ZAMN=9()°.

(1)如圖：當(dāng)心A4WN繞點A旋轉(zhuǎn)時，若邊AM、AN分別與3C、CO相交于點E、F,連接成，

試證明：EF=DF+BE.

(2)如圖，當(dāng)R也加勿V繞點A旋轉(zhuǎn)時，若邊AM、AN分別與8。、CO的延長線相交于點E、F，連

接耳1.

①試寫出此時三線段￡F、DF、8E的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

②若CE=6,DF=2,求：正方形ABCO的邊長以及尸中4E邊上的高.

【詳解】

(I)證明：如圖1,延長CB到G,使BG=DF,連接AG,

圖1

:四邊形ABCD是正方形，

ND=/ABC=NDAB=/ABG=90°,AD=AB,

在4ADF^AABG中，

AD=AB

<ND=NABG,

DF=BG

.,.△ADF^AABG(SAS),

；.AG=AF,ZDAF=ZBAG,

ZEAF=45°,

ZEAG=ZEAB+ZBAG=ZEAB+ZDAF=45°,

，ZEAF=ZEAG,

；AE=AE,

/.△EAF^AEAG,

EF=EG=EB+BG=EB+DF.

(2)①三線段E/、DF、BE的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE—DF,理由如下:

如圖2,在6C上取一點G，使BG=DF

連接AG，同⑴可證AABGgAAD/,

；.AG=AF,ZDAF=ZBAG,

AAMN是等腰直角三角形，

ZMNA=ZN=45°,

ZFAD+ZDAE=45°,

：.ZDAE+NBAG=45。,

,/Zn4B=90°,

ZGAE=90。一45°=45°=ZFAE,

AF=AG

在AME和zXGAE中，,ZFAE=ZGAF

AE^AE

AAM￡^AG4￡（5AS）,

EF=EG=BE-BG,

,/BG=DF,

???EF=BE—DF.

②如圖2,過F作FHLAE于H,

設(shè)正方形ABCD的邊長是x,則BC=CD=x,

VCE=6,DF=BG=2,

???EF二GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4,

在RQFCE中，由勾股定理得：EF2=FC2+CE2,

.?.(x+4)2=(x+2)2+62,

解得：x=6,

AG=AF=762+22=2而，

FH=變AF=也x2加=2底

ZFAM=45°,

22

即4AEF中AE邊上的高為

10.如圖，在邊長為"的正方形ABCD中，作N4CD的平分線交AO于尸，過尸作直線4c的垂線交AC于

P,交CQ的延長線于Q,又過P作A。的平行線與直線CF交于點E,連接。E,AE,PD,PB.

(1)求AC,。。的長；

(2)四邊形。FPE是菱形嗎？為什么？

(3)探究線段力。，DP,E廳之間的數(shù)量關(guān)系，并證明探究結(jié)論；

(4)探究線段與AE之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明探究結(jié)論.

【詳解】

22

解：(1)AC=yja+a—^2a,

?.,CF平分/BCD,FD_LCD,FP_LAC,

，F(xiàn)D=FP,又NFDQ=NFPA,ZDFQ=ZPFA,

.,.△FDQ^AFPA(ASA),

，QD=AP,

???點P在正方形ABCD對角線AC上，

；.CD=CP=a,

；.QD=AP=AC-PC=(點T)"；

(2)VFD=FP,CD=CP,

；.CF垂直平分DP,即DP_LCF,

；.ED=EP,則NEDP=/EPD,

VFD=FP,

，ZFDP=ZFPD,

而EP〃DF,

，ZEPD=ZFDP,

ZFPD=ZEPD,

.".ZEDP=ZFPD,

ADEZ/PF,而EP〃DF,

...四邊形OFPE是平行四邊形，

VEF±DP,

...四邊形。FPE是菱形；

(3)DP2+EF2=4QD2,理由是:

???四邊形OFPE是菱形，設(shè)DP與EF交于點G,

A2DG=DP,2GF=EF,

VZACD=45°,FP±AC,

???△PCQ為等腰直角三角形，

???ZQ=45°,

可得△QDF為等腰直角三角形，

AQD=DF,

在4DGF中，DG2+FG?=DF2,

???有(；DP)2+(IEF)2=QD2,

整理得：DP2+EF?=4QD2；

(4)VZDFQ=45°,DE/7FP,

/.ZEDF=45°,

XVDE=DF=DQ=AP=(V2-1)?,AD=AB,

/.△ADE^BAP(SAS),

/.AE=BP,ZEAD=ZABP,

延長BP,與AE交于點H,

ZHPA=ZPAB+ZPBA=ZPAB+ZDAE,

ZPAB+ZDAE+ZHAP=90°,

/.ZHPA+ZHAP=90°,

.,.ZPHA=90°,BPBP±AE,

綜上：BP與AE的關(guān)系是：垂直且相等.

11.如圖11在一個平面直角三角形中的兩直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。在△ABC中，ZC=90°,

則AC2+BC2=AB2.我們定義為“商高定理

(1)如圖1,在△ABC中，NC=90。中，BC=4,AB=5,試求AC=；

(2)如圖2,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,AC1BD.試證明：AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)如圖3,分別以RtAACB的直角邊BC和斜邊AB為邊向外作正方形BCFG和正方形ABED,連結(jié)CE、

AG、GE.已知BC=4,AB=5,求GE?的值.

【詳解】

解：(1)：:在△ABC中，NC=90。中，BC=4,AB=5,

28c2=3,

故答案為：3；

(2)證明：在RSDOA中，NDOA=90。,

.,.OD2+OA2=AD2,

同理：OD2+OC2=CD2,OB2+OC2=BC2,OA2+OB2=AB2,

AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2,AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2,

.".AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)解：連接CG、AE,設(shè)AG交CE于I,AB交CE于J,如圖3所示:

?/四邊形BCFG和四邊形ABED都是正方形，

NGBC=NEBA=90°,AB=BE=5,BG=BC=4,

ZGBC+ZCBA=ZEBA+ZCBA,

AZABG=ZEBC,

在^ABG^DAEBC中，

AB=BE

<NABG=NEBC,

BG=BC

.".△ABG^AEBC(SAS),

.\ZBAG=ZBEC,

VZAJI=ZEJB,

NEBJ=NAIJ=90°,

，AG_LCE,

由(2)可得：AC2+GE2=CG2+AE2,

在RSCBG中，CG2=BC2+BG2,

即CG2=42+42=32,

在RtAABE中，AE2=BE2+AB2,

即AE2=52+52=50,

在RtAABC中，AB2=AC2+BC2,

即52=AC2+42,

；.AC2=9,

,/AC2+GE2=CG2+AE2,

即9+GE?=32+50,

.\GE2=73.

圖3

12.已知：在正方形ABCD中，AB=3,E是邊BC上一個動點(點E不與點B,點C重合)，連接AE,點

H是BC延長線上一點.過點B作BFLAE,交AE于點G,交DC于點F.

(1)求證：AE=BF；

(2)過點E作EM_LAE,交NDCH的平分線于點M,連接FM,判斷四邊形BFME的形狀，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，NEMC的正弦值為也，求四邊形AGFD的面積.

10

【詳解】

解：證明：(1)：在正方形ABCD中，

/ABE=NBCF=90°,AB=BC,

VZBAE+ZABF=90°,ZCBF+ZABF=90°,

/BAE=NCBF,且NABE=NBCF=90。，AB=BC,

.".△ABE^ABCF(ASA)

；.AE=BF,

(2)四邊形BFME是平行四邊形

理由如下：如圖1：在AB上截取BN=BE,

圖1

VAABE^ABCF

ZBAE=ZFBC

???AB=BC,BN=