工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)同濟(jì)第五版課件1-5

工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)同濟(jì)第五版課件1-52023REPORTING緒論行列式矩陣向量線性方程組目錄CATALOGUE2023PART01緒論2023REPORTING向量矩陣線性空間線性變換線性代數(shù)的研究對(duì)象向量是線性代數(shù)的基本研究對(duì)象，包括向量的定義、性質(zhì)、運(yùn)算等。線性空間是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象之一，包括向量空間、子空間、基、維數(shù)等概念。矩陣是線性代數(shù)中的重要概念，用于表示線性變換和線性方程組等。線性變換是線性代數(shù)中的核心概念，包括線性變換的定義、性質(zhì)、矩陣表示等。03幾何方法通過幾何圖形和直觀理解來研究線性代數(shù)問題，有助于加深對(duì)抽象概念的理解。01公理化方法通過定義一組公理來推導(dǎo)其他性質(zhì)和定理，是數(shù)學(xué)研究的基本方法之一。02矩陣方法利用矩陣的運(yùn)算和性質(zhì)來研究線性代數(shù)問題，是工程技術(shù)和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域中常用的方法。線性代數(shù)的研究方法早期發(fā)展線性代數(shù)的起源可以追溯到古代中國和古代希臘的數(shù)學(xué)研究，如《九章算術(shù)》中的方程組和《幾何原本》中的向量概念。近代發(fā)展17世紀(jì)以后，隨著微積分學(xué)和力學(xué)的發(fā)展，線性代數(shù)開始得到廣泛應(yīng)用，并逐漸發(fā)展成為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科?，F(xiàn)代發(fā)展20世紀(jì)以來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和數(shù)學(xué)理論的深入，線性代數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)展，同時(shí)其理論和方法也不斷得到完善和發(fā)展。線性代數(shù)的發(fā)展歷史PART02行列式2023REPORTING行列式的定義與性質(zhì)行列式的定義由n個(gè)數(shù)排成的n階方陣，其元素滿足一定的運(yùn)算規(guī)則所得到的數(shù)稱為n階行列式。行列式的性質(zhì)行列式具有線性性、交換性、結(jié)合性、倍加性等基本性質(zhì)。直接計(jì)算法根據(jù)行列式的定義，直接按照元素的排列順序進(jìn)行計(jì)算。遞推計(jì)算法根據(jù)行列式的遞推關(guān)系，逐步簡(jiǎn)化計(jì)算過程。展開計(jì)算法利用行列式的性質(zhì)，將高階行列式展開為低階行列式進(jìn)行計(jì)算。行列式的計(jì)算克拉默法則的內(nèi)容對(duì)于n個(gè)未知數(shù)的n個(gè)線性方程組成的方程組，如果系數(shù)行列式不等于零，則方程組有唯一解，且解可以表示為系數(shù)行列式的代數(shù)余子式與常數(shù)項(xiàng)行列式的比值?？死▌t的應(yīng)用克拉默法則在解線性方程組時(shí)具有重要作用，尤其當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣為方陣且滿秩時(shí)，可以直接應(yīng)用克拉默法則求解。同時(shí)，克拉默法則也是判斷線性方程組解的存在性和唯一性的重要依據(jù)?？死▌tPART03矩陣2023REPORTING矩陣的相等兩個(gè)矩陣行數(shù)相等、列數(shù)相等且對(duì)應(yīng)元素相等。矩陣的定義由$mtimesn$個(gè)數(shù)$a_{ij}$排成的$m$行$n$列的數(shù)表稱為$m$行$n$列的矩陣，簡(jiǎn)稱$mtimesn$矩陣。矩陣的加法兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)元素相加。矩陣與矩陣相乘第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，才可以相乘，相乘后結(jié)果是一個(gè)新的矩陣。數(shù)與矩陣相乘用該數(shù)乘以矩陣的每一個(gè)元素。矩陣的概念與運(yùn)算對(duì)于$n$階矩陣$A$，如果有一個(gè)$n$階矩陣$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$是單位矩陣，則稱$B$是$A$的逆矩陣。矩陣的逆把矩陣$A$的行和列互換所得到的矩陣稱為$A$的轉(zhuǎn)置矩陣。矩陣的轉(zhuǎn)置如果矩陣$A$滿足$A^T=A$，則稱$A$為對(duì)稱矩陣。對(duì)稱矩陣010203矩陣的逆與轉(zhuǎn)置在矩陣中，任取$k$行和$k$列，位于這些行和列的交點(diǎn)上的元素按原來的次序構(gòu)成一個(gè)$k$階行列式，若此行列式不為零，則稱此行列式是矩陣的一個(gè)$k$階子式。在矩陣的所有子式中，非零子式的最高階數(shù)稱為該矩陣的秩。矩陣的秩由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣。初等方陣矩陣的秩與初等變換PART04向量2023REPORTING向量的定義向量是具有大小和方向的量，通常用有向線段表示。向量的性質(zhì)如零向量、單位向量、共線向量、相等向量等概念及其性質(zhì)。向量的運(yùn)算包括向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積和叉積等運(yùn)算。向量的概念與運(yùn)算線性相關(guān)與線性無關(guān)若一組向量中至少有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示，則稱這組向量線性相關(guān)；否則稱這組向量線性無關(guān)。線性相關(guān)性的判定通過求解齊次線性方程組或計(jì)算向量組的秩來判斷向量組的線性相關(guān)性。線性組合若干個(gè)向量通過數(shù)乘和加法運(yùn)算得到的向量稱為這些向量的線性組合。向量的線性相關(guān)性向量組的秩：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩。極大無關(guān)組：設(shè)S是一個(gè)n維向量組，α1,α2,...αr是S的一個(gè)部分組，如果滿足以下兩個(gè)條件，則稱α1,α2,...αr是S的一個(gè)極大無關(guān)組α1,α2,...αr線性無關(guān)。向量組S中任意r+1個(gè)向量（如果存在）都線性相關(guān)。向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系：一個(gè)m×n矩陣的秩等于其行向量組的秩，也等于其列向量組的秩。向量組的秩與極大無關(guān)組PART05線性方程組2023REPORTING由n個(gè)未知數(shù)和m個(gè)線性方程組成的方程組稱為線性方程組。線性方程組的概念包括消元法、克拉默法則、矩陣方法等。線性方程組的解法解的存在性、唯一性、無窮多解等。線性方程組的解的性質(zhì)線性方程組的概念與解法齊次線性方程組的概念常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組?；A(chǔ)解系的概念齊次線性方程組的解集的極大線性無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。通解的概念與求法齊次線性方程組的通解可以表示為基礎(chǔ)解系的線性組合，即通解=k1*基礎(chǔ)解系1+k2*基礎(chǔ)解系2+...+ks*基礎(chǔ)解系s，其中k1,k2,...,ks為任意常數(shù)。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解非齊次線性方程組的通解與特解非齊次線性方程組的通解可以表示為特解與對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解之和，即通解=特解+對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解