第08講條件概率與全概率公式（人教A版2019選擇性）

第08講條件概率與全概率公式【人教A版2019】·模塊一條件概率·模塊二全概率公式·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一條件概率1．條件概率(1)條件概率的定義

一般地，設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(BA)=為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

(2)性質(zhì)

設(shè)P(A)>0，為樣本空間，則

①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1；

②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)；

③設(shè)和B互為對立事件，則P(A)=1P(BA).2．概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)·P(BA).【考點(diǎn)1條件概率的計算】【例1.1】（2023·全國·模擬預(yù)測）為了給學(xué)生樹立正確的勞動觀，使學(xué)生懂得勞動的偉大意義，某班從包含甲、乙的6名學(xué)生中選出3名參加學(xué)校組織的勞動實踐活動，在甲被選中的情況下，乙也被選中的概率為（

）A．12 B．25 C．35【解題思路】利用條件概率的公式計算.【解答過程】令事件A為甲被選中，事件B為乙被選中，則P(A)=C11故PB快解：令事件A為甲被選中，事件B為乙被選中，PB故選：B.【例1.2】（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）擲一個均勻的骰子．記A為“擲得點(diǎn)數(shù)大于2”，B為“擲得點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則PBA為（A．56 B．34 C．23【解題思路】根據(jù)已知列出事件A和事件AB的結(jié)果，求出PA，P【解答過程】擲一個均勻的骰子，有1，2，3，4，5，6共6種結(jié)果，事件A包含點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6，共4種結(jié)果，所以PA事件AB包含點(diǎn)數(shù)為3,5共2種結(jié)果，所以PAB所以PB故選：D.【變式1.1】（2023上·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）袋子中裝有大小、形狀完全相同的3個白球和2個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個球，已知第二次摸到的是紅球，則第一次摸到紅球的概率為（

）A．14 B．16 C．110【解題思路】根據(jù)條件概率公式分別求出第二次摸到的是紅球的概率，再求得第一次、第二次都摸到紅球的概率即可得出結(jié)果.【解答過程】記Ai為第i則PA又PAPA所以PA故選：A.【變式1.2】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）逢年過節(jié)走親訪友，成年人喝酒是經(jīng)常的事，但是飲酒過度會影響健康，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了針對性的調(diào)查研究．據(jù)統(tǒng)計，一次性飲酒4.8兩，誘發(fā)某種疾病的頻率為0.04，一次性飲酒7.2兩，誘發(fā)這種疾病的頻率為0.16.將頻率視為概率，已知某人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，則他還能繼續(xù)飲酒2.4兩，不誘發(fā)這種疾病的概率為（）A．78 B．56 C．34【解題思路】把相關(guān)事件用字母表示，并分析事件的關(guān)系，結(jié)合對立事件求出概率，再利用條件概率公式計算即得.【解答過程】記事件A：這人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，事件B：這人一次性飲酒7.2兩未誘發(fā)這種疾病，則事件B|A：這人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，繼續(xù)飲酒2.4兩不誘發(fā)這種疾病，顯然B?A,AB=A∩B=B，P(A)=1?0.04=0.96,P(B)=1?0.16=0.84，所以P(B|A)=P(AB)故選：A.【考點(diǎn)2

概率的乘法公式的運(yùn)用】【例2.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)A，B是兩個事件，P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．P(B|A)P(A|B)=1 B．P(AB)=P(A)P(B)C．P(B)≤P(B|A) D．P(AB)≤P(B|A)【解題思路】應(yīng)用條件概率公式及獨(dú)立事件的概率關(guān)系P(AB)=P(A)P(B)，結(jié)合概率的性質(zhì)判斷各項的正誤.【解答過程】A：由P(B|A)P(A|B)=1，而0≤P(B|A),P(A|B)≤1，則P(B|A)=P(AB)P(A)=P(A|B)=B：當(dāng)A，B是兩個相互獨(dú)立的事件，有P(AB)=P(A)P(B)，否則不成立，排除；C：由P(B)≤P(B|A)=P(AB)P(A)且0<P(A)≤1，故D：由P(AB)=P(B|A)P(A)，而0<P(A)≤1，則P(AB)≤P(B|A)，符合；故選：D.【例2.2】（2023上·高二課時練習(xí)）已知PA=0.2，PB|A=0.15，則A．0.02 B．0.03C．0.04 D．0.05【解題思路】根據(jù)條件概率公式運(yùn)算求解.【解答過程】因為PB|A所以PBA故選：B.【變式2.1】（2023上·遼寧·高二?？计谀┮阎狿(B∣A)=12，P(AB)=38，則A．316 B．1316 C．34【解題思路】根據(jù)條件概率公式計算．【解答過程】由P(AB)=P(B∣A)P(A)，可得P(A)=P(AB)故選：C.【變式2.2】（2023下·甘肅白銀·高二校考階段練習(xí)）已知PA=13,PA．712 B．724 C．512【解題思路】根據(jù)條件概率的定義，利用條件分別求得P(BA)和PBA，從而求得【解答過程】由題知，P(A)=1?PA=2P(BA)=P(A)?PB又PB∣則PB故選：C.模塊二模塊二全概率公式1．全概率公式及應(yīng)用(1)全概率公式

一般地，設(shè)，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2,，n，則對任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我們稱此公式為全概率公式.

(2)全概率公式的意義

全概率公式的意義在于，當(dāng)直接計算事件B發(fā)生的概率P(B)較為困難時，可以先找到樣本空間Ω的一個劃分Ω=∪∪∪，，，，兩兩互斥，將，，，看成是導(dǎo)致B發(fā)生的一組原因，這樣事件B就被分解成了n個部分，分別計算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求解.2．貝葉斯公式設(shè)，，，是一組兩兩互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2,，n，則對任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=.貝葉斯公式是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，在運(yùn)用貝葉斯公式時，一般已知和未知條件如下：

(1)A的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即P()已知;

(2)事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知，即P()已知；(3)P(B)未知，需要使用全概率公式計算得到；

(4)求解的目標(biāo)是用A的某種情況的無條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率P().【考點(diǎn)1

利用全概率公式求概率】【例1.1】（2023·全國·模擬預(yù)測）某部門對一家食品店的奶類飲品和面包類食品進(jìn)行質(zhì)檢，已知該食品店中奶類飲品占20%，面包類食品占80%，奶類飲品不合格的概率為0.02，面包類食品不合格的概率為0.01．現(xiàn)從該食品店隨機(jī)抽檢一件商品，則該商品不合格的概率為（A．0.03 B．0.024 C．0.012 D．0.015【解題思路】利用全概率公式計算即可.【解答過程】設(shè)事件A表示“抽到的商品為奶類飲品”，事件B表示“抽到的商品為面包類食品”，則PA設(shè)事件C表示“抽檢的商品不合格”，則PC所以PC故選：C．【例1.2】（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）重慶八中味園食堂午餐情況監(jiān)測數(shù)據(jù)表明，小唐同學(xué)周一去味園的概率為35，周二去味園的概率為310，且小唐周一不去味園的條件下周二去味園的概率是周一去味園的條件下周二去味園的概率的2倍，則小唐同學(xué)周一、周二都去味園的概率為（A．970 B．950 C．340【解題思路】設(shè)“小唐同學(xué)周一去味園”為事件A，設(shè)“小唐周二去味園”為事件B，根據(jù)題意利用全概率公式可得P(B|A)=3【解答過程】設(shè)“小唐同學(xué)周一去味園”為事件A，設(shè)“小唐周二去味園”為事件B，則“小唐同學(xué)周一、周二都去味園”為事件AB，由題意可知：P(A)=35,P(B)=由全概率公式可知：P(B)=P(B|A即310=4所以P(AB)=PB|A故選：A.【變式1.1】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）重慶某高校有橘園?桃園?李園3個食堂，根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，某天上午下課后，在校學(xué)生進(jìn)入橘園?桃園?李園食堂的學(xué)生人數(shù)分別占40%,35%,25%，但因為各種原因，進(jìn)入橘園?桃園?李園食堂的學(xué)生中有一些同學(xué)未用餐，而選擇出校就餐.其中進(jìn)入橘園?桃園食堂未用餐而選擇出校就餐的學(xué)生分別占2A．2.3% B．2.4% C．2.5%【解題思路】根據(jù)條件，利用全概率公式即可求出結(jié)果.【解答過程】設(shè)A表示學(xué)生進(jìn)入橘園?桃園?李園食堂而外出就餐人數(shù)，B1,得到2.5%=2%故選：D.【變式1.2】（2023下·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）為了提升全民身體素質(zhì)，我校十分重視學(xué)生體育鍛煉，高二年級籃球運(yùn)動員進(jìn)行投籃練習(xí)．如果他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為23；如果他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為13.若他第1球投進(jìn)的概率為A．716 B．58 C．59【解題思路】根據(jù)題意可知：PB|A【解答過程】記“第1球投進(jìn)”為事件A，“第2球投進(jìn)”為事件B，由題意可知：PB|A=2所以PB故選：C.【考點(diǎn)2利用貝葉斯公式求概率】【例2.1】（2023上·江西上饒·高二統(tǒng)考期末）某一地區(qū)的患有癌癥的人占0.004，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.02.現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，則此人是癌癥患者的概率約為（

）A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84【解題思路】根據(jù)貝葉斯公式求得正確答案.【解答過程】此人是癌癥患者的概率為0.004×0.950.004×0.95+0.996×0.02故選：A.【例2.2】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某卡車為鄉(xiāng)村小學(xué)運(yùn)送書籍，共裝有10個紙箱，其中5箱英語書、5箱數(shù)學(xué)書.到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下9箱中任意打開兩箱，結(jié)果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為（

）A．29 B．38 C．112【解題思路】用A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用B1表示丟失的一箱為英語書，B2表示丟失的一箱為數(shù)學(xué)書，利用全概率公式計算出PA【解答過程】用A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用B1表示丟失的一箱為英語書，B則PB1=PB2由全概率公式可得PA所以，PB故選：B.【變式2.1】（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“狼來了”的故事大家小時候應(yīng)該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學(xué)的角度解釋這一變化，假設(shè)小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為0.1；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是0.5．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是0.9．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（

）A．35 B．57 C．710【解題思路】設(shè)出事件，利用全概率公式和貝葉斯公式進(jìn)行求解.【解答過程】設(shè)事件A表示“小孩誠實”，事件B表示“小孩說謊”，則PBA=0.1，PBA則PABPA故PB故PA故選：D.【變式2.2】（2023下·山東聊城·高二統(tǒng)考期末）托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個公式：PAiB=PAiA．37150 B．975 C．1837【解題思路】根據(jù)題意，先分析求解設(shè)從甲中取出2個球，其中白球的個數(shù)為i個的事件為Ai，事件Ai的概率為PAi，從乙中取出2個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為B，事件B的概率為【解答過程】設(shè)從甲中取出2個球，其中白球的個數(shù)為i個的事件為Ai，事件Ai的概率為PAi，從乙中取出2個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為B，事件①PA0=②PA1=③PA2=根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個紅球，則從甲袋中取出的也是2個紅球的概率為PA2故選：C.模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二校聯(lián)考期中）已知PBA=13，PA．56 B．910 C．215【解題思路】由條件概率的計算公式求解即可.【解答過程】由題意，知P(AB)=P(B故選：C.2．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）某工廠生產(chǎn)了一批產(chǎn)品，需等待檢測后才能銷售.檢測人員從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了5件產(chǎn)品來檢測，現(xiàn)已知這5件產(chǎn)品中有3件正品，2件次品，從中不放回地取出產(chǎn)品，每次1件，共取兩次.已知第一次取得次品，則第二次取得正品的概率是（

）A．14 B．13 C．34【解題思路】利用條件概率的定義解題即可.【解答過程】設(shè)事件A=“第一次取得次品”，事件B=“第二次取得次品”，則PA=25，故選：C.3．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知A,B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，且PA=12,PA．56 B．23 C．13【解題思路】由條件概率計算公式直接計算即可.【解答過程】PA|B=P故選：D.4．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）已知A,B為兩個隨機(jī)事件，0<P(B)<1，若PB=0.4，P(B|A)=0.7，P(B|A)=0.3，則A．17 B．16 C．15【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率和全概率公式，列出方程，即可求解.【解答過程】由A,B為兩個隨機(jī)事件，0<P(B)<1，且PB=0.4，P(B|A)=0.7，可得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A即0.4=0.4P(A)+0.3，解得PA故選：D．5．（2023上·上?！じ叨？茧A段練習(xí)）下列各式中不能判斷事件A與事件B獨(dú)立的是（

）A．PB．PC．PAD．PA【解題思路】由條件概率公式及事件相互獨(dú)立意義可判斷各選項.【解答過程】選項A：因為PA∩B=PAB,所以PAB=P選項B：因為PA∪B又PA∪B=PA由選項A可知，事件A與事件B獨(dú)立；故B正確；選項C：因為PAB所以PAB=PAPB,即事件A與事件故選：D.6．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）核酸檢測是目前確認(rèn)新型冠狀病毒感染最可靠的依據(jù)．經(jīng)大量病例調(diào)查發(fā)現(xiàn)，試劑盒的質(zhì)量、抽取標(biāo)本的部位和取得的標(biāo)本數(shù)量，對檢測結(jié)果的準(zhǔn)確性有一定影響．已知國外某地新冠病毒感染率為0.5%，在感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本檢出陽性的概率為99%．若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為（

）A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%【解題思路】根據(jù)條件概率的乘法公式即可求解.【解答過程】記感染新冠病毒為事件A,感染新冠病毒的條件下,標(biāo)本為陽性為事件B,則P(A)=0.5%,P(BA)=99%故選：A.7．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）小明參加答題闖關(guān)游戲，答題時小明可以從A，B，C三塊題板中任選一個進(jìn)行答題，答對則闖關(guān)成功.已知他選中A，B，C三塊題板的概率分別為0.2，0.3，0.5，且他答對A，B，C三塊題板中題目的概率依次為0.91，0.92，0.93.則小明闖關(guān)失敗的概率是（

）A．0.24 B．0.14 C．0.077 D．0.067【解題思路】利用全概率公式計算即可.【解答過程】由題意，小明闖關(guān)失敗的概率P=0.2×1?0.91故選：C.8．（2023上·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）某批產(chǎn)品來自A，B兩條生產(chǎn)線，A生產(chǎn)線占60%，次品率為4%；B生產(chǎn)線占40%，次品率為5%，現(xiàn)隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測，若抽到的是次品，則它來自AA．12 B．611 C．35【解題思路】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及貝葉斯公式求解作答.【解答過程】因為抽到的次品可能來自于A，B兩條生產(chǎn)線，設(shè)A=“抽到的產(chǎn)品來自A生產(chǎn)線”，B=“抽到的產(chǎn)品來自B生產(chǎn)線”，C=“抽到的一件產(chǎn)品是次品”，則P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.04,P(C|B)=0.05，由全概率公式得PC所以它來自A生產(chǎn)線的概率是PA故選：B.9．（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）根據(jù)曲靖一中食堂人臉識別支付系統(tǒng)后臺數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，高三年級小孔同學(xué)一周只去食堂一樓和二樓吃飯．周一去食堂一樓和二樓的概率分別為13和23，若他周一去了食堂一樓，那么周二去食堂二樓的概率為34，若他周一去了食堂二樓，那么周二去食堂一樓的概率為1A．37 B．47 C．15【解題思路】利用貝葉斯概率公式求解即可.【解答過程】記小趙同學(xué)周一去食堂一樓為事件A，周二去食堂一樓為事件B，則本題所求PA故選：A．10．（2023·高二課時練習(xí)）已知PB>0，A1①PA②PA③PA④PAA．①②③④ B．② C．②③ D．②④【解題思路】利用條件概率公式及概率性質(zhì)辨析【解答過程】①若A1B=?則PA②因為A1A2=?所以③若A1B=?或A2④若A1B=?或A2故選：B.11．（2023·全國·高二課堂例題）張宇去某地參加會議，他乘汽車或飛機(jī)去的概率分別為0.6、0.4．如果他乘汽車或飛機(jī)前去，遲到的概率如圖所示．結(jié)果他遲到了，求張宇乘的是汽車的概率．【解題思路】記事件A為“張宇乘汽車”，則事件A為“張宇乘飛機(jī)”，事件B為“張宇遲到”，利用貝葉斯公式可求得PA【解答過程】解：記事件A為“張宇乘汽車”，則事件A為“張宇乘飛機(jī)”，事件B為“張宇遲到”，則PA=0.6，PA=0.4，根據(jù)貝葉斯公式可得PA因此，張宇遲到了，他乘的是汽車的概率為91712．（2023上·高二課時練習(xí)）某班從6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任選3人參加學(xué)校的義務(wù)勞動．(1)求男生甲或女生乙被選中的概率；(2)設(shè)“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，求P(B)和P(B|A)．【解題思路】（1）根據(jù)對立事件，求出不選男生甲且不選女生乙的概率，即可求出男生甲或女生乙被選中的概率；（2）先求出女生乙被選中的情況數(shù)，根據(jù)古典概型，即可得出P(B)；先計算出P(AB)，再根據(jù)條件概率計算公式計算即可．【解答過程】（1）從6人中選出3人共有C6不選男生甲且不選女生乙共有C4所以男生甲或女生乙被選中的概率為P=1?C（2）女生乙被選中共有C5所以P(B)=C男生甲被選中共有C52男生甲被選中且女生乙被選中共有C41種情況，則所以P(B|A)=P(AB)13．（2023下·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）某校從學(xué)生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學(xué)校舉辦的文藝匯演活動．(1)求男生甲被選中的概率；(2)在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；(3)在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率．【解題思路】（1）古典概型的概率求法，應(yīng)用列舉法求概率；（2）記“男生甲被選中”為事件M，“女生乙被選中”為事件N，根據(jù)（1）有PMN=1（3）記“挑選的2人一男一女”為事件S，“女生乙被選中”為事件N，根據(jù)（1）有PS=8【解答過程】（1）記4名男生為A(甲)，B，C，D，2名女生為a，b(乙)，從6名成員中挑選2名成員有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共有15種情況，，記“男生甲被選中”為事件M，則基本事件為AB，AC，AD，Aa，Ab共有5種，故PM（2）記“男生甲被選中”為事件M，“女生乙被選中”為事件N，則PMN由（1）知PM=1（3）由（1）知：記“挑選的2人一男一女”為事件S，則PS“女生乙被選中”為事件N，則PSN=414．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）