導數(shù)的應用與相關定理

匯報人:XX2024-01-26導數(shù)的應用與相關定理目錄CONTENCT導數(shù)的基本概念與性質(zhì)導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用導數(shù)在函數(shù)極值中的應用導數(shù)在曲線形狀描述中的應用相關定理及其證明01導數(shù)的基本概念與性質(zhì)導數(shù)的定義導數(shù)的幾何意義導數(shù)的定義及幾何意義設函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量$x$在$x_0$處取得增量$Deltax$（點$x_0+Deltax$仍在該鄰域內(nèi)）時，相應地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當$Deltaxto0$時極限存在，則稱函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處可導，并稱這個極限為函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處的導數(shù)，記作$f'(x_0)$。函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處的導數(shù)$f'(x_0)$在幾何上表示曲線$y=f(x)$在點$(x_0,f(x_0))$處的切線的斜率?？蓪c連續(xù)的關系可導必連續(xù)如果函數(shù)在某點可導，則該函數(shù)在該點必定連續(xù)。連續(xù)不一定可導即使函數(shù)在某點連續(xù)，也不一定在該點可導。例如，函數(shù)$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)但不可導。加法法則$(u+v)'=u'+v'$減法法則$(u-v)'=u'-v'$乘法法則$(uv)'=u'v+uv'$除法法則$left(frac{u}{v}right)'=frac{u'v-uv'}{v^2}$（其中$vneq0$）導數(shù)的四則運算法則02導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，通過比較函數(shù)值的大小關系來判斷函數(shù)的單調(diào)性。定義法通過求導并判斷導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性。導數(shù)法函數(shù)單調(diào)性的判定方法求導判斷導數(shù)的正負確定單調(diào)區(qū)間首先求出函數(shù)的導數(shù)。通過導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性。如果導數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；如果導數(shù)小于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。根據(jù)導數(shù)的正負，確定函數(shù)在各個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性例題1判斷函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$在區(qū)間$(-infty,+infty)$內(nèi)的單調(diào)性。解首先求出函數(shù)的導數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$，然后判斷導數(shù)的正負。當$x<0$或$x>2$時，$f'(x)>0$，因此函數(shù)在$(-infty,0)$和$(2,+infty)$內(nèi)單調(diào)增加；當$0<x<2$時，$f'(x)<0$，因此函數(shù)在$(0,2)$內(nèi)單調(diào)減少。例題2判斷函數(shù)$g(x)=sinx+cosx$在區(qū)間$[0,pi]$內(nèi)的單調(diào)性。解首先求出函數(shù)的導數(shù)$g'(x)=cosx-sinx$，然后判斷導數(shù)的正負。當$0leqx<frac{pi}{4}$時，$g'(x)>0$，因此函數(shù)在$[0,frac{pi}{4}]$內(nèi)單調(diào)增加；當$frac{pi}{4}<xleqpi$時，$g'(x)<0$，因此函數(shù)在$(frac{pi}{4},pi]$內(nèi)單調(diào)減少。典型例題分析03導數(shù)在函數(shù)極值中的應用設函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某鄰域$U(x_0)$內(nèi)有定義。如果對于去心鄰域$dot{U}(x_0)$內(nèi)的任一$x$，有$f(x)<f(x_0)$（或$f(x)>f(x_0)$），那么就稱$f(x_0)$是函數(shù)$f(x)$的一個極大值（或極小值）。極值點處函數(shù)值異于附近函數(shù)值；極值點處導數(shù)為零或不存在；極值點處函數(shù)單調(diào)性改變。函數(shù)極值的定義及性質(zhì)函數(shù)極值的性質(zhì)函數(shù)極值的定義首先求出函數(shù)$f(x)$的導數(shù)$f'(x)$。求導數(shù)解方程判斷單調(diào)性計算極值令$f'(x)=0$，解出所有可能的極值點$x_1,x_2,ldots,x_n$。在每個極值點的左右兩側(cè)分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定該點是極大值點還是極小值點。將極值點代入原函數(shù)，求出對應的函數(shù)值，即為函數(shù)的極大值或極小值。利用導數(shù)求函數(shù)極值的方法例題1求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$的極值。首先求出導數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$，然后令$f'(x)=0$解得$x=0$或$x=2$。接著判斷單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)$f(x)$在$(-infty,0)$上遞增，在$(0,2)$上遞減，在$(2,+infty)$上遞增，因此$x=0$是極大值點，$x=2$是極小值點。最后代入原函數(shù)求出極值，得極大值為$f(0)=4$，極小值為$f(2)=0$。求函數(shù)$f(x)=(x-1)^2(x-3)$的極值。首先求出導數(shù)$f'(x)=3x^2-10x+9$，然后令$f'(x)=0$解得$x=1$或$x=3$。接著判斷單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)$f(x)$在$(-infty,1)$上遞增，在$(1,3)$上遞減，在$(3,+infty)$上遞增，因此$x=1$是極大值點，$x=3$是極小值點。最后代入原函數(shù)求出極值，得極大值為$f(1)=4$，極小值為$f(3)=0$。解題思路例題2解題思路典型例題分析04導數(shù)在曲線形狀描述中的應用80%80%100%曲線的凹凸性與拐點通過二階導數(shù)的正負來判斷曲線的凹凸性，若在某區(qū)間內(nèi)二階導數(shù)大于0，則曲線在該區(qū)間內(nèi)為凹；若小于0，則為凸。拐點是曲線凹凸性發(fā)生改變的點，即二階導數(shù)在該點處改變符號。若函數(shù)在某點的左右兩側(cè)二階導數(shù)異號，則該點為拐點。凹凸性的定義拐點的定義拐點的判定單調(diào)性的判定極值的判定曲線形狀的判定利用導數(shù)研究曲線形狀若函數(shù)在某點的左右兩側(cè)一階導數(shù)異號，則該點為函數(shù)的極值點。進一步地，若在該點處二階導數(shù)大于0，則為極小值點；若小于0，則為極大值點。結(jié)合一階導數(shù)和二階導數(shù)的信息，可以判斷曲線的形狀，如上升、下降、凹、凸等。通過一階導數(shù)的正負來判斷函數(shù)的單調(diào)性，若在某區(qū)間內(nèi)一階導數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若小于0，則單調(diào)遞減。求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$的單調(diào)區(qū)間和極值點。例題1判斷函數(shù)$g(x)=x^4-4x^3+6x^2$的凹凸性并找出拐點。例題2分析函數(shù)$h(x)=sin(x)+cos(x)$在$[0,2pi]$區(qū)間內(nèi)的曲線形狀。例題3典型例題分析05相關定理及其證明費馬引理：設函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處可導，且$x_0$為$f(x)$的極值點，則$f'(x_0)=0$。證明假設$x_0$為$f(x)$的極大值點，則存在$delta>0$，當$xin(x_0-delta,x_0)$時，$f(x)leqf(x_0)$；當$xin(x_0,x_0+delta)$時，$f(x)leqf(x_0)$。根據(jù)導數(shù)的定義，有$lim_{{xtox_0^-}}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}geq0$和$lim_{{xtox_0^+}}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}leq0$。由于$f(x)$在$x_0$處可導，故左右導數(shù)相等，即$f'(x_0)=0$。0102030405費馬引理及其證明0102030405羅爾定理：如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導，且$f(a)=f(b)$，則至少存在一點$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。證明由于$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，$f(x)$在$[a,b]$上存在最大值和最小值。因為$f(a)=f(b)$，所以最大值和最小值至少有一個在$(a,b)$內(nèi)取得。設最大值或最小值在點$cin(a,b)$處取得，根據(jù)費馬引理，有$f'(c)=0$。羅爾定理及其證明010405060302拉格朗日中值定理：如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導，則至少存在一點$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。證明構(gòu)造輔助函數(shù)$g(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$。易證$g(a)=g(b)$，且$g(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導。根據(jù)羅爾定理，存在一點$cin(a,b)$，使得$g'(c)=0$。計算得$g'(c)=f'(c)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，故$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理及其證明柯西中值定理及其證明柯西中值定理：如果函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導，且對于所有$x\in(a,b)$，有$g'(x)eq0$，則存在一點$c\in(a,b)$，使得$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。010203證明構(gòu)造輔助函數(shù)$F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(